双極座標

双極座標は、アポロニウス円に基づく2次元直交 座標系です。^{[1] 2つの極（}双角座標）に基づく3番目のシステムもあります。

「双極」という用語は、楕円、双曲線、カッシーニの楕円など、2 つの特異点 (焦点) を持つ他の曲線を説明するためにも使用されることがあります。ただし、双極座標という用語は、ここで説明する座標にのみ使用され、楕円座標など、他の曲線に関連付けられたシステムには使用されません。

このシステムは、2 つの焦点 F ₁とF ₂に基づいています。右の図を参照すると、点Pのσ座標は角度F ₁ P F ₂に等しく、τ座標は距離d ₁とd _2の比の自然対数に等しくなります。   

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}$

デカルト座標系で焦点が（−a 、 0）と（a 、0）にあるとすると、点Pの座標は

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }},\qquad y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

座標τ の範囲は、 ( F ₁に近い点の場合)から ( F ₂に近い点の場合) です。座標σは2πを法としてのみ定義され、P が下半平面にある場合は鋭角F ₁ P F ₂の負として-πからπの範囲を取るのが最適です。 ${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle \infty}$  

xとyの式を組み合わせると、

${\displaystyle x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right)}$^{[2] [3]}

または

${\displaystyle x+iy=a\coth \left({\frac {\tau -i\sigma }{2}}\right).}$

この方程式は、σとτ がx+iyの解析関数の実部と虚部(焦点に対数分岐点がある) であることを示しており、これは (一般等角写像理論(コーシー-リーマン方程式) を適用して) これらの特定の曲線σとτ が直角に交差すること、つまり直交座標系であることを証明しています。

定数σの曲線は非同心円に対応する

2 つの焦点で交わる円です。定数σ の円の中心は、半径でy軸上にあります。正のσの円はx軸の上に中心があり、負のσの円は軸の下にあります。大きさ | σ |- π /2 が減少するにつれて、円の半径は減少し、中心は原点 (0, 0) に近づきます。原点 (0, 0) は、| σ | = π /2のときに到達します。(初等幾何学から、直径の反対側の端に 2 つの頂点がある円上のすべての三角形は直角三角形です。) ${\displaystyle a\cot \sigma }$${\displaystyle {\tfrac {a}{\sin \sigma }}}$

定数曲線は、異なる半径を持つ交差しない円である。 ${\displaystyle \tau }$

焦点を取り囲む円ですが、やはり同心円ではありません。定数τ の円の中心は、 x軸上にあり、半径です。正のτの円は平面の右側 ( x > 0) にあり、負のτ の円は平面の左側 ( x  < 0) にあります。τ = 0 の曲線はy軸 ( x = 0) に対応します。 τ の大きさが増加すると、円の半径は減少し、円の中心は焦点に近づきます。 ${\displaystyle a\coth \tau }$${\displaystyle {\tfrac {a}{\sinh \tau }}}$

デカルト座標から双極座標への移行は、次の式で行うことができます。

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}}$

そして

${\displaystyle \pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.}$

座標には次のアイデンティティもあります。

${\displaystyle \tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}}$

そして

${\displaystyle \tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}},}$

これは、式(1)と式(2)をそれぞれおよびについて解くことによって導出できる。 ${\displaystyle \cot \sigma }$${\displaystyle \coth \tau }$

双極座標のスケール係数を得るには、 の方程式を微分すると、 ${\displaystyle x+iy}$

${\displaystyle dx+i\,dy={\frac {-ia}{\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(\sigma +i\tau ){\bigr )}}}(d\sigma +i\,d\tau ).}$

この式にその複素共役を掛けると次の式が得られる。

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{{\bigl [}2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

正弦と余弦の積の三角関数の恒等式を用いると、次の式が得られます。

${\displaystyle 2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}=\cos \sigma -\cosh \tau ,}$

そこから

${\displaystyle (dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{(\cosh \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.}$

したがってσとτのスケール係数は等しく、次のように表される。

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}.}$

直交座標の一般公式から、多くの結果が次々と得られる。したがって、微小面積要素は

${\displaystyle dA={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}\,d\sigma \,d\tau ,}$

ラプラシアンは次のように与えられる 。

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).}$

、、の式は、直交座標の一般式にスケール係数を代入することで表すことができます。 ${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

双極座標の典型的な応用は、ラプラス方程式やヘルムホルツ方程式などの偏微分方程式を解くことです。これらの方程式では、双極座標によって変数の分離が可能になります。一例として、異なる直径を持つ 2 つの平行な円筒形導体を取り囲む 電界が挙げられます。

双極座標は、いくつかの 3 次元直交座標セットの基礎となります。

• 双極円筒座標は、双極座標をz軸、つまり平面外軸に沿って変換することによって生成されます。

• 双球座標は、双極座標をx軸、つまり焦点を結ぶ軸を中心に回転させることによって生成されます。

• トロイダル座標は、双極座標をy軸、つまり焦点を分ける軸を中心に回転させることによって生成されます。

• 楕円座標系

• Desmos を使用したインタラクティブ デモ https://www.desmos.com/calculator/nbvnucu4o5

• 「双極座標」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Korn GA およびKorn TM . (1961)科学者およびエンジニアのための数学ハンドブック、McGraw-Hill。