ラジカル軸

ユークリッド幾何学では、2 つの非同心円の根軸は、円に対するべき乗が等しい点の集合です。このため、根軸は2 つの円のべき乗線またはべき乗二等分線とも呼ばれます。詳細:

中心がM ₁、M ₂、半径がr ₁、r _{2の2つの円c 1 、c 2について}、点_Pの円に対するべき乗は

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=|PM_{1}|^{2}-r_{1}^{2},\qquad \Pi _{2}(P)=|PM_{2} |^{2}-r_{2}^{2}.}$

点Pが根軸に属する場合、

${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)。}$

円が2つの点を共有する場合、根軸は円の共通割線
です。 点Pが円の外側にある場合、Pは両方の円に対して等しい接線距離を持ちます。
半径が等しい場合、根軸はM ₁、M ₂の線分の二等分線です。いずれの場合も、根軸はM
1 、M 2 に垂直な線です。${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}.}$

表記について

ラジカル軸という表記は、フランスの数学者M. シャスルによってaxe radicalとして使われました。^[1]
JV ポンスレはchorde idealeを使用しました。^[2]
J. プルッカーはChordaleという用語を導入しました。^[3]
J. シュタイナーはラジカル軸を等冪直線(ドイツ語: Linie der gleichen Potenzen ) と呼び、これがべき乗直線( Potenzgerade )につながりました。^[4]

を点の位置ベクトルとします。このとき、根号直線の定義方程式は次のように表すことができます。 ${\displaystyle {\vec {x}}、{\vec {m}}_{1}、{\vec {m}}_{2}}$${\displaystyle P,M_{1},M_{2}}$

${\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2}\quad \leftrightarrow \quad 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^ {2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0}$

正しい方程式から得られるものは

• 根軸の点集合は実際には直線であり、円の中心を通る直線に垂直です。

(は根軸に対する法線ベクトルです !) ${\displaystyle {\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}}$

この方程式を で割ると、ヘッセ行列の正規形が得られます。中心の位置ベクトルを挿入すると、中心から根軸までの距離が得られます。 ${\displaystyle 2|{\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}|}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}}$、

と。${\displaystyle d=|M_{1}M_{2}|=|{\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}|}$

(が の間にない場合は負の値になることがあります。) ${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

円が 2 点で交差する場合、根号線は共通点を通ります。円と円が互いに接しているだけの場合、根号線は共通接線になります。

• 交差する 2 つの円の根軸は、それらの共通の割線です。

2 つの接触する円の根軸はそれらの共通接線です。

交差しない2 つの円の根軸は、2 つの便利な等力円の共通割線です (下記の「直交円」を参照)。

• 円の外側の点と 2 つの接点については、方程式が成り立ち、中心と半径の円上に存在します。円は直交します。したがって、次のようになります。${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle S_{i},T_{i}}$${\displaystyle |PS_{i}|^{2}=|PT_{i}|^{2}=\Pi _{i}(P)}$${\displaystyle S_{i},T_{i}}$${\displaystyle c_{o}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\sqrt {\Pi _{i}(P)}}}$${\displaystyle c_{o}}$${\displaystyle c_{i}}$

が根軸の点である場合、4 つの点は円 上にあり、円 は与えられた円と直交します。${\displaystyle P}$${\displaystyle S_{1},T_{1},S_{2},T_{2}}$${\displaystyle c_{o}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

• 根軸は、与えられた円と直交するすべての円の中心で構成されます。

前のセクションで説明した、与えられた2つの円と直交する円の束を構築する方法は、2つの直交する円のシステムの構築に拡張できます。^{[5] [6]}

2つの離れた円（前のセクションと同様）を、その中心と半径、根軸とします。これで、すべての円は、線 上に中心があり、 線とともに根軸も持つと決定されます 。 がそのような円である場合、その中心は 中心から中心までの距離と半径です。前のセクションの結果から、次の式が得られます。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle M_{1},M_{2},r_{1},r_{2}}$${\displaystyle g_{12}}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle g_{12}}$${\displaystyle \gamma _{2}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle \rho _{2}}$

${\displaystyle d_{1}={\frac {\delta ^{2}+r_{1}^{2}-\rho _{2}^{2}}{2\delta }}\quad }$、ここで固定されます。${\displaystyle d_{1}>r_{1}}$

この式は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \delta _{2}=\delta -d_{1}}$

${\displaystyle \delta _{2}^{2}=d_{1}^{2}-r_{1}^{2}+\rho _{2}^{2}}$。

半径が与えられている場合、この方程式から新しい中心の (固定) 根軸までの 距離が求められます。図では、新しい円の色は紫です。緑色の円 (図を参照) はいずれも根軸上に中心があり、円と直交するため、すべての新しい円 (紫) とも直交します。(赤色の) 根軸を y 軸、線をx 軸として選択すると、2 つの円の線には次の方程式が成り立ちます。 ${\displaystyle \rho _{2}}$${\displaystyle \delta _{2}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$

紫：${\displaystyle \ \ \ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$

緑：${\displaystyle \ x^{2}+(y-y_{g})^{2}=y_{g}^{2}+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}\ .}$

（緑色の円の中心です。） ${\displaystyle \;(0,y_{g})}$

特性:
a)任意の 2 つの緑色の円は、円の直交系の極である点で x 軸上で交差します。つまり、x 軸は緑色の円の根線です。b )紫色の円には共通点がありません。ただし、実平面を複素平面の一部と見なすと、任意の 2 つの紫色の円は y 軸 (共通の根軸) 上で点で交差します 。 ${\displaystyle P_{1/2}={\big (}\pm {\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}},0{\big )}}$
${\displaystyle Q_{1/2}={\big (}0,\pm i{\sqrt {d_{1}^{2}-r_{1}^{2}}}{\big )}}$

特殊なケース:
a)緑の円が原点で x 軸を共通接線として互いに接し、紫色の円が y 軸を共通接線として接している場合 。このような円のシステムは、共軸放物線円と呼ばれます(下記参照)。b )中心、つまりに縮小すると、方程式はより単純な形になり、 が得られます 。 ${\displaystyle d_{1}=r_{1}}$
${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle r_{1}=0}$${\displaystyle M_{1}=P_{1}}$

結論：
a)任意の実数円の束 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \;c(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ :}$

には次の性質があります: y 軸は の根軸です。${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$

円が点で交差する場合。${\displaystyle w>0}$${\displaystyle c(\xi _{1}),c(\xi _{2})}$${\displaystyle P_{1/2}=(0,\pm {\sqrt {w}})}$

共通点がない場合。${\displaystyle w<0}$

の場合、それらは で接し、y 軸はそれらの共通接線になります。${\displaystyle w=0}$${\displaystyle (0,0)}$

b)任意の実数に対して、2本の円の束 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle c_{1}(\xi ):\;(x-\xi )^{2}+y^{2}-\xi ^{2}-w=0\ ,}$

${\displaystyle c_{2}(\eta ):\;x^{2}+(y-\eta )^{2}-\eta ^{2}+w=0\ }$

直交する円のシステムを形成します。つまり、任意の 2 つの円は直交して交差します。${\displaystyle c_{1}(\xi ),c_{2}(\eta )}$

c) b)の方程式から、座標フリー表現が得られます。

与えられた点、その中点、線分の二等分線に対して、 2つの方程式 ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle g_{12}}$

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\ ,}$

${\displaystyle |XN|^{2}=|ON|^{2}+|OP_{1}|^{2}=|NP_{1}|^{2}}$

では、と の間ではなく で${\displaystyle M}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle g_{12}}$

システムの極によって一意に決定される円の直交システムを説明します。${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

システムの軸も規定する必要がある。システムは放物線状である。 ${\displaystyle P_{1}=P_{2}=O}$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$

${\displaystyle |XM|^{2}=|OM|^{2}\ ,\quad |XN|^{2}=|ON|^{2}}$

と、 延々と続く。${\displaystyle M}$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle a_{2}}$

定規とコンパスによる作図:

直交円の系は、その極によって一意に決定されます。 ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

1. 軸（根軸）は、直線と極の線分の二等分線です。${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle g_{12}}$
2. から までの円（図の緑色） の中心は にあります。これらは簡単に描くことができます。 点の場合、半径は です。${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle g_{12}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \;r_{N}=|NP_{1}|\;}$
3. 2 本目の鉛筆 (図の青色) で中心が の円を描くには、ピタゴラスの定理を適用して半径を決定します(図を参照)。${\displaystyle M}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$${\displaystyle r_{M}}$${\displaystyle \;r_{M}^{2}=|OM|^{2}-|OP_{1}|^{2}\;}$

軸を追加で選択する必要が ある場合、システムは放物線状であり、簡単に描画できます。${\displaystyle P_{1}=P_{2}}$

定義とプロパティ:

2つの円とそのべき乗関数があるとする。すると、任意の${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2}}$${\displaystyle \lambda \neq 1}$

• ${\displaystyle \Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)=0}$

は円の方程式である（下記参照）。このような円の系は、円によって生成される共軸円と呼ばれる。（ の場合、方程式は の根軸を記述する。）^{[7] [8]}${\displaystyle c(\lambda )}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

のべき乗関数は ${\displaystyle c(\lambda )}$

${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)={\frac {\Pi _{1}(x,y)-\lambda \Pi _{2}(x,y)}{1-\lambda }}}$。

のノルム方程式（ の係数は）はです。 ${\displaystyle x^{2},y^{2}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle c(\lambda )}$${\displaystyle \ \Pi (\lambda ,x,y)=0}$

簡単な計算で次のようになります。

• ${\displaystyle c(\lambda ),c(\mu ),\ \lambda \neq \mu \ ,}$と同じ根軸を持ちます。${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

無限大に移動することを許容すると、 が同軸円のシステムのメンバーであることがわかります。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle c_{1}=c(0),\;c_{2}=c(\infty )}$

(E):が2 点で交差する場合、任意の円はも含み、直線はそれらの共通の根軸です。このような系は楕円 と呼ばれます。(P):が で接する場合、任意の円は点にも接します。共通の接線が 2 つの共通の根軸です。このような系は放物線と呼ばれます。(H):に共通の点がない場合は、系の任意のペアも同様です。任意の円のペアの根軸は の根軸です。この系は双曲 と呼ばれます。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle c(\lambda )}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$
${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle P}$
${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

詳細:

次のような座標を導入する

${\displaystyle c_{1}:(x-d_{1})^{2}+y^{2}=r_{1}^{2}}$

${\displaystyle c_{2}:(x-d_{2})^{2}+y^{2}=d_{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$、

すると、y 軸は根軸になります (上記参照)。

べき乗関数を計算すると、正規化された円の方程式が得られます。 ${\displaystyle \Pi (\lambda ,x,y)}$

${\displaystyle c(\lambda ):\ x^{2}+y^{2}-2{\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}\;x+d_{1}^{2}-r_{1}^{2}=0\ .}$

平方完成と代入 （中心のx座標）により、方程式の中心形式が得られる。 ${\displaystyle \delta _{2}={\tfrac {d_{1}-\lambda d_{2}}{1-\lambda }}}$

${\displaystyle c(\lambda ):\ (x-\delta _{2})^{2}+y^{2}=\delta _{2}^{2}+r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}$。

円の場合、2つの点がある ${\displaystyle r_{1}>d_{1}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$

${\displaystyle P_{1}={\big (}0,{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )},\quad P_{2}={\big (}0,-{\sqrt {r_{1}^{2}-d_{1}^{2}}}{\big )}}$

共通して、同軸円のシステムは楕円です。

円 の場合、 共通点があり、システムは放物線状になります。 ${\displaystyle r_{1}=d_{1}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$${\displaystyle P_{0}=(0,0)}$

円の場合、共通点はなく、システムは双曲的です。 ${\displaystyle r_{1}<d_{1}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},c(\lambda )}$

代替方程式:
1)円の共軸系の定義方程式では、べき乗関数の倍数も使用できます。
2)円の 1 つの方程式を、目的の根軸の方程式に置き換えることができます。根軸は、無限に大きい半径を持つ円として考えることができます。 例:

${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}\ -\ \lambda \;2(x-x_{2})\ =0\ \Leftrightarrow }$

${\displaystyle (x-(x_{1}+\lambda ))^{2}+y^{2}=(x_{1}+\lambda )^{2}+r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-2\lambda x_{2}}$、

最初の円とともに直線を 根軸とするすべての円を表します。3 ) 2 つの円が等しい状態を表すために、次の形式がよく使用されます。 ${\displaystyle x=x_{2}}$

${\displaystyle \mu \Pi _{1}(x,y)+\nu \Pi _{2}(x,y)=0\;.}$

しかし、この場合、パラメータによる円の表現は一意ではありません。 ${\displaystyle \mu ,\nu }$

応用：
a) 円の反転とメビウス変換は角度と一般化された円を保存します。したがって、円の直交系はこれらのマッピングの研究で重要な役割を果たします。^{[9] [10]}
b)電磁気学では、同軸円は磁力線として現れます。^[11]

• 3 つの円があり、そのうちの 2 つが同心円でない場合、根軸は 3 つあります。円の中心が直線上にない場合、根軸は共通点、つまり 3 つの円の根軸中心で交差します。2 つの円を中心とする直交円は、3 番目の円 (根軸円)にも直交します。${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$${\displaystyle g_{12},g_{23},g_{31}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$

証明: 根軸には、円に対して等しい接線距離を持つすべての点が含まれます。と の交点は、3 つの円すべてに対して同じ接線距離を持ちます。したがって、 も根軸の点です。${\displaystyle g_{ik}}$${\displaystyle c_{i},c_{k}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g_{12}}$${\displaystyle g_{23}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g_{31}}$

この特性により、中心が で交わらない 2 つの円の根軸を作成できます。与えられた中心と同一線上になく、 と交差する 3 番目の円を描きます。根軸を描くことができます。 交点は3 つの円の根中心で、 上にあります。が に垂直になる直線が根軸です 。${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle M_{1},M_{2}}$${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle g_{13},g_{23}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle g_{12}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$${\displaystyle g_{12}}$

追加構築方法:

与えられた円に対して同じ力を持つすべての点は、と同心円上にあります。これを等力円と呼びます。この特性は、2 つの円の根軸の追加構築方法に使用できます。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$

交差しない 2 つの円については、に関して同じ累乗を持つ 2 つの等累乗円を描くことができます(図を参照)。詳細:累乗が十分に大きい場合、円には 根軸上にある 2 つの共通点があります。 ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle \Pi _{1}(P_{1})=\Pi _{2}(P_{2})}$${\displaystyle c'_{1},c'_{2}}$${\displaystyle g_{12}}$

一般に、2 つの互いに交わらない非同心円は、双極座標系の円と揃えることができます。その場合、根軸は単にこの座標系の -軸になります。座標系の 2 つの焦点を通る軸上のすべての円は、2 つの円と直交します。すべての中心が特定の直線上にあり、すべてのペアが同じ根軸を持つ円の最大の集合は、同軸円の束として知られています。 ${\displaystyle y}$

円が通常の方法で三線座標で表されている場合、その根心は特定の行列式として便利に与えられます。具体的には、 X = x  :  y  :  z を、辺の長さがa = | BC |、b = | CA |、c = | AB |である三角形ABCの平面上の可変点として表し、円を次のように表します。

( dx + ey + fz )( ax + by + cz ) + g ( ayz + bzx + cxy ) = 0

( hx + iy + jz )( ax + by + cz ) + k ( ayz + bzx + cxy ) = 0

( lx + my + nz )( ax + by + cz ) + p ( ayz + bzx + cxy ) = 0

すると、根の中心は点となる

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}g&k&p\\e&i&m\\f&j&n\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\f&j&n\\d&h&l\end{bmatrix}}:\det {\begin{bmatrix}g&k&p\\d&h&l\\e&i&m\end{bmatrix}}.}$

3次元における2つの非同心球の根軸平面も同様に定義されます。根軸平面は、2つの球への接線の長さが同じになる点の軌跡です。^[12] この軌跡が平面であるという事実は、根軸が直線であるという事実から3次元での回転によって生じます。

同じ定義は、任意の次元のユークリッド空間内の超球面にも適用でき、2 つの非同心超球面の根基超平面が得られます。

• RA ジョンソン (1960)。『上級ユークリッド幾何学: 三角形と円の幾何学に関する初等論文』 (1929 年版の Houghton Mifflin 編集の再版)。ニューヨーク: Dover Publications。pp. 31–43。ISBN 978-0-486-46237-0。

• C. スタンレー オギルヴィ(1990)。『幾何学への遠足』ドーバー、pp. 17–23。ISBN 0-486-26530-7。
• HSM Coxeter、SL Greitzer (1967)。Geometry Revisited。ワシントン D.C .：アメリカ数学協会。pp. 31–36, 160–161。ISBN 978-0-88385-619-2。
• クラーク・キンバリング、「三角形の中心と中心三角形」、Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv、1–295。

ウィキメディア・コモンズには、ラジカル軸に関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W.「ラジカル線」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「弦定理」。MathWorld。
• Cut-the-knotのアニメーション