等力点

ユークリッド幾何学では、三角形の等力点とは三角形に関連付けられた点であり、これらの点の 1 つを中心とする反転により、その三角形が正三角形に変換され、等力点から三角形の頂点までの距離は三角形の反対側の辺の長さに反比例するという特性がある。互いに相似な三角形は、平面内の対応する位置に等力点を持つため、等力点は三角形の中心であり、他の三角形の中心とは異なり、等力点はメビウス変換でも不変である。それ自体が正三角形である三角形は、その重心(および重心、内心、外心) に一意の等力点を持つ。すべての非正三角形には 2 つの等力点がある。等力点は、 Joseph Neuberg (1885)によって初めて研究され、命名された 。^[1]

等力点は、もともと点のペア間の距離の比（または積）の特定の等式から定義されました。と が三角形の等力点である場合、3つの距離の積は等しくなります。類似の等式は^[2]にも当てはまります。積の公式と同様に、距離と は対応する三角形の辺の長さと に反比例します。${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle ABC,}$${\displaystyle AS\cdot BC=BS\cdot AC=CS\cdot AB}$${\displaystyle S'.}$${\displaystyle AS,}$ ${\displaystyle BS,}$${\displaystyle CS}$${\displaystyle BC,}$ ${\displaystyle AC,}$${\displaystyle AB.}$

${\displaystyle S}$は、三角形に関連付けられたアポロニウスの3つの円の共通交点です。3つの円はそれぞれ三角形の1つの頂点を通り、他の2つの頂点との距離の比率が一定です。^[3]したがって、線は、アポロニウスの3組の円のそれぞれに共通の根軸です。線分の垂直二等分線はルモワーヌ線であり、アポロニウスの3つの円の中心を含みます。^[4]${\displaystyle S'}$${\displaystyle ABC,}$${\displaystyle SS'}$${\displaystyle SS'}$

三角形の等力点とはまた、平面の変換、特に反転とメビウス変換（複数の反転の積）に関する特性によって定義される。三角形を等力点に関して反転すると、元の三角形が正三角形に変換される。 [ ^5]三角形の外接円 に関して反転すると、三角形は不変のままであるが、一方の等力点が他方の等力点に変換される。[ ^3] より一般的には、等力点はメビウス変換に対して同変である。つまり、変換の等力点の順序付けられていないペアは、そのペアに適用された同じ変換に等しい。個々の等力点は、の外接円の内部を変換された三角形の外接円の内部に写像するメビウス変換によって固定され、外接円の内部と外部を交換する変換によって交換される。^[6]${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$${\displaystyle ABC}$${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABC}$${\displaystyle ABC}$${\displaystyle \{S,S'\}.}$${\displaystyle ABC}$

アポロニウスの円の交点であると同時に、各等力点は別の 3 つの円の交点でもある。最初の等力点は、3 つの円が 2 つの点のペアを通る交点であり、これらの円のそれぞれが三角形の外接円と交差して、頂角 2π/3 のレンズを形成する。同様に、2 番目の等力点は、外接円と交差して頂角 π/3 のレンズを形成する 3 つの円の交点である。^[6]${\displaystyle AB,}$ ${\displaystyle AC,}$${\displaystyle BC,}$${\displaystyle ABC}$

最初の等力点と三角形の頂点が作る角度は、次の式を満たします。同様に、2番目の等力点が作る角度は、次の式を満たします。 ^[6]${\displaystyle ASB=ACB+\pi /3,}$ ${\displaystyle ASC=ABC+\pi /3,}$${\displaystyle BSC=BAC+\pi /3.}$${\displaystyle AS'B=ACB-\pi /3,}$ ${\displaystyle AS'C=ABC-\pi /3,}$${\displaystyle BS'C=BAC-\pi /3.}$

等力点のペダル三角形は、三角形の3辺それぞれに垂線を下ろして形成される三角形が正三角形であり、^[5]三角形の各辺を反射して形成される三角形も同様である。 ^[7]三角形に内接するすべての正三角形の中で、最初の等力点のペダル三角形が面積が最小となる。^[8]${\displaystyle S}$${\displaystyle ABC,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle ABC,}$

等力点は三角形の2つのフェルマー点の等角共役点であり、逆もまた同様である。^[9]${\displaystyle ABC,}$

ノイベルグ立方体は両方の等力点を含む。^[4]

円が3つの円弧に分割されている場合、円弧の端点の最初の等力点は、3つの円弧のそれぞれが、その点から始まるブラウン運動によって最初に到達する円弧である可能性が等しいという性質を持つ、円内の唯一の点です。つまり、等力点とは、3つの円弧の調和測度が等しい点です。^[10]

複素平面上の三角形の頂点を零点とする一変量多項式が与えられたとき、 の等力点は多項式の零点である。 は の定数倍であることに注意する。ここでは の次数である。この構成は、等力点を の次数の多項式に一般化している。つまり、上記の判別式の零点はメビウス変換で不変である。 ここで、式は の極微分であり、極は^{[11]である。}${\displaystyle P(z)=z^{3}+az^{2}+bz+c}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle I(z)=(a^{2}-3b)z^{2}+(ab-9c)z+b^{2}-3ac.}$${\displaystyle I(z)}$${\displaystyle \mathrm {判別式} _{u}(nP(u)+(zu)P'(u)),}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P.}$${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle nP(u)+(zu)P'(u)}$${\displaystyle P(u)}$${\displaystyle z.}$

同様に、およびを上記のように定義すると、の（一般化）等力点はの臨界値です。ここでは、緩和パラメータを持つ緩和ニュートン法に現れる式です。同様の構成は、多項式の代わりに有理関数に対しても存在します。^[11]${\displaystyle P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P}$${\displaystyle f(z)=z-nP(z)/P'(z)。}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle n.}$

三角形の頂点を通るアポロニウスの円は、直線と頂点によって形成される2つの角度の2つの（内角と外角の）二等分線を見つけ、これらの二等分線を直線と交差させることによって作図できます。これらの2つの交点間の線分がアポロニウスの円の直径です。等力点は、これらの円を2つ作図し、その2つの交点を見つけることによって見つけることができます。^[3]${\displaystyle A}$${\displaystyle ABC}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle BC.}$

コンパスと定規を使った別の作図法では、頂点を直線（を中心とし、を通る円の交点）で反射させ、三角形の辺の内側に正三角形を作図します（この三角形の頂点は、半径が である 2 つの円の交点です）。直線は、同様に作図された直線とと最初の等力点で交差します。2 番目の等力点は同様に作図できますが、正三角形は内側ではなく外側に立てられます。^[12]${\displaystyle A'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle A''}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle A'A''}$${\displaystyle B'B''}$${\displaystyle C'C''}$

あるいは、最初の等力点の位置は、その三線座標から計算することができる。これは^[13] 2番目の等力点は、同様の式で三線座標を使用し、代わりに$${\displaystyle \sin(A+\pi /3):\sin(B+\pi /3):\sin(C+\pi /3).}$$${\displaystyle -\pi /3}$${\displaystyle \pi /3.}$

ウィキメディア・コモンズには、等力点に関連するメディアがあります。

• クラーク・キンバリング著『三角形の中心百科事典』の等力点X(15)とX(16)
• Weisstein、Eric W.「等動力学点」。MathWorld。