数学的な美しさ

数学的美とは、数学の抽象性、純粋さ、単純さ、深さ、秩序から生まれる美的喜びである。数学者は、数学（または少なくとも数学のある側面）を美しいと表現したり、数学を芸術形式（ GHハーディ^[1]の立場）または少なくとも創造的な活動として表現したりすることで、この喜びを表現することがある。

音楽と詩を比較します。

数学者は、特に魅力的な証明方法を「エレガント」と表現することが多い。^[2]文脈によっては、次のことを意味する場合がある。

• 追加の仮定や以前の結果を最小限に抑えた証明。
• 非常に簡潔な証明。
• 驚くべき方法で結果を導き出す証明（例えば、一見無関係な定理や定理の集合から）。
• 新しい独自の洞察に基づいた証明。
• 類似した一連の問題を解決するために簡単に一般化できる証明方法。

エレガントな証明を求める際、数学者は結果を証明する複数の独立した方法を探すことがある。最初に見つかった証明はしばしば改善できるからである。最も多くの異なる証明が発見された定理はおそらくピタゴラスの定理であり、現在までに何百もの証明が発表されている。^{[3]さまざまな方法で証明された別の定理は、}二次相互法則である。実際、カール・フリードリヒ・ガウスだけでもこの定理の8つの異なる証明を持っており、そのうち6つを発表した。^[4]

逆に、論理的には正しいが、面倒な計算、過度に複雑な方法、非常に慣習的なアプローチ、または多数の強力な公理や以前の結果を伴う結果は、通常、エレガントであるとは見なされず、醜い、または不器用であるとさえ言われることがあります。

数学者の中には、一見無関係に見える2つの数学の分野を結びつける数学的結果に美しさを感じる者がいる。^{[5]こうした結果はしばしば}「深い」と表現される。ある結果が深いかどうかについて普遍的な合意を得ることは難しいが、いくつかの例は他の例よりもよく引用される。その一例がオイラーの恒等式である。^[6]

$${\displaystyle \displaystyle e^{i\pi }+1=0\,.}$$

このエレガントな表現は、おそらく5つの最も重要な数学定数（e、i、 π 、 1、 0 ）と、最も一般的な2つの数学記号（ + 、 = ）を結び付けています。オイラーの恒等式はオイラーの公式の特殊なケースであり、物理学者リチャード・ファインマンはこれを「我々の宝石」であり「数学で最も注目すべき公式」と呼びました。^[7]現代の例としては、楕円曲線とモジュラー形式の間に重要な関係を確立するモジュラ性定理（この研究によりアンドリュー・ワイルズとロバート・ラングランズにウルフ賞が授与されました）や、弦理論を介してモンスター群をモジュラー関数に結び付ける「怪物の密造酒」 （これによりリチャード・ボルチャーズにフィールズ賞が授与されました）などがあります。

深い結果の他の例としては、数学的構造への予期せぬ洞察が挙げられる。例えば、ガウスの定理エグレギウムは、ガウス曲率が表面の等長変換に対して不変であることを述べた深い定理である。別の例としては、微積分学の基本定理^[8]（およびそのベクトル版であ​​るグリーン定理やストークスの定理）がある。

深いの反対は自明です。自明な定理とは、他の既知の結果から明白かつ直接的な方法で導き出せる結果、または空集合などの特定のオブジェクトの特定の集合にのみ適用される結果のことです。場合によっては、定理の記述が独創的であるために、証明がかなり明白であっても、深いとみなされることがあります。

1940年のエッセイ 『数学者の弁明』の中で、GHハーディは美しい証明や結果には「必然性」、「意外性」、「経済性」が備わっていると示唆した。^[9]

1997 年、ジャン・カルロ・ロータは、意外性が美しさの十分条件であるという意見に反対し、反例を提示しました。

数学の定理の多くは、最初に発表されたときは驚くべきものであるように思われる。例えば、約20年前（1977年）には、高次元球面上の非等価な微分可能構造の存在の証明は驚くべきものと考えられていたが、当時も今も、そのような事実を美しいと呼ぼうとする人は誰もいなかった。^[10]

対照的に、モナスティルスキーは2001年に次のように書いている。

ミルナーの7次元球面上のさまざまな微分構造の美しい構築に類似した発明を過去に見つけることは非常に困難です...ミルナーの元の証明はあまり構成的ではありませんでしたが、後にE.ブリースコーンはこれらの微分構造が非常に明確で美しい形で記述できることを示しました。^[11]

この不一致は、数学的美の主観的な性質と数学的結果との関連性の両方を示しています。この場合、異質な球体の存在だけでなく、それらの特定の実現も示しています。

経験的研究とは別の純粋数学への関心は、古代ギリシャ人を含むさまざまな文明の経験の一部であり、「数学をその美しさのために行いました」。^[12]数理物理学者がアインシュタインの一般相対性理論に感じる美的喜びは、（ポール・ディラックなどによって）その「偉大な数学的美しさ」に起因するとされています。^[13]数学の美しさは、物体の物理的現実が数学モデルによって表現されるときに体験されます。 1800年代初頭に多項式方程式を解くことだけを目的として開発された群論は、物質の構成要素である素粒子を分類する有益な方法となりました。同様に、結び目の研究は、弦理論とループ量子重力への重要な洞察を提供します。^[要出典]

^{数学を理解}するためには、数学を実践しなければならないと信じている^人もいます。 ^{[14 ]}

たとえば、数学サークルは放課後の補習プログラムで、学生は講義やアクティビティを通じて数学に取り組む。運動学習で数学を教えることで学生の参加を促す教師もいる。一般的な数学サークルの授業では、学生はパターンの発見、観察、探索を利用して独自の数学的発見をする。たとえば、数学の美しさは、 2年生と3年生向けに設計された対称性に関する数学サークルのアクティビティで生まれる。このアクティビティでは、学生は正方形の紙を折り、折った紙の端に沿って好きなデザインを切り取って、独自の雪の結晶を作る。紙を広げると、対称的なデザインが現れる。小学校の日常的な数学の授業では、対称性を芸術的な方法で提示し、学生は数学で美的に心地よい結果を見ることができる。^[要出典]

^教師の中には、数学を美しく表現するために数学教具を使うことを好む人もいます^{。教具の例には、}代数タイル、キュイズネールロッド、パターンブロックなどがあります。たとえば、代数タイルを使って平方完成法を教えることができます。キュイズネールロッドは分数を教えるのに使え、パターンブロックは幾何学を教えるのに使えます。数学教具を使うと、生徒は数式を書いてもすぐにはわからない概念的な理解を得ることができます。^[15]

経験における美しさのもう一つの例は、折り紙の使用です。折り紙は、紙を折る芸術であり、美的特質と多くの数学的つながりを持っています。折り紙を広げた部分の折り目のパターンを観察することで、紙を折る数学を学ぶことができます。^[16]

組合せ論、つまり数え上げの研究には、数学的に美しいと感じる芸術的な表現があります^{。組合せ論}の概念を説明する視覚的な例は数多くあります。組合せ論のコースで視覚的な表現とともに取り上げられるトピックやオブジェクトには、四色定理、ヤングのタブロー、パーミュトヘドロン、 グラフ理論、 集合の分割などがあります。^[17]

セミール・ゼキと彼の同僚が行った脳画像実験^[18]によると、数学的美しさの経験は、神経相関として脳の内側眼窩前頭皮質（mOFC）のA1領域で活動し、この活動は宣言された美しさの強度とパラメータ的に関連している。活動の位置は、音楽や喜びや悲しみなど、他のソースからの美しさの経験と相関する活動の位置と似ている。さらに、数学者は、同僚からの矛盾した意見を考慮して、数式の美しさの判断を修正することに抵抗しているようだ。^[19]

^数学者の中には、^数学を行うことは発明よりも発見に近いと考える人もいます。たとえば、

科学的な発見者、詩人、画家、音楽家は、自分の発見や詩や絵がすでに出来上がっていた、つまり、それが外部からやって来たのであって、意識的に内部から作り出したのではない、と言わない人はいないでしょう。

— ウィリアム・キングドン・クリフォード、王立研究所での講演「精神発達のいくつかの条件」より

これらの数学者は、数学の詳細かつ正確な結果は、我々が住む宇宙に何ら依存することなく、真実であると合理的に考えることができると信じている。例えば、彼らは、自然数の理論は、特定の文脈を必要としない方法で、根本的に有効であると主張する。数学者の中には、数学の美しさは真実であるというこの見解をさらに推し進め、場合によっては神秘主義になっている者もいる。

プラトンの哲学では、私たちが住む物理的な世界と、数学を含む不変の真理を含む抽象的な世界の2つの世界があった。彼は、物理的な世界はより完璧な抽象世界の単なる反映であると信じていた。^[20]

ハンガリーの数学者ポール・エルデシュ^[21]は、神が数学の最も美しい証明をすべて書き記した架空の本について語った。エルデシュは、ある証明に特別な感謝の意を表したいときは、「これはその本からのものだ！」と叫んだという。

20世紀フランスの哲学者アラン・バディウは、存在論は数学であると主張した。 ^[22]バディウはまた、数学、詩、哲学の間に深いつながりがあると信じている。

多くの場合、数学を広範に利用してきた自然哲学者やその他の科学者は、美と物理的真実との間で推論を飛躍させ、それが誤りであることが判明した。例えば、ヨハネス・ケプラーは生涯のある段階で、太陽系の当時知られていた惑星の軌道の比率は、5つのプラトン立体の同心円状の配置に対応するように神によって配置され、各軌道は1つの多面体の外接球と別の多面体の内接球上にあると信じていた。プラトン立体はちょうど5つあるため、ケプラーの仮説は6つの惑星の軌道しか収容できず、その後の天王星の発見によって反証された。

GHハーディ^[23]は 数学的証明の美しさを、一般性、真剣さ、深み、意外性、必然性、経済性（シンプルさ）の6つの次元で分析した。ポール・アーネスト^[24]は概念、定理、証明、理論を含むあらゆる数学的対象に対して7つの次元を提案している。これらは、1.経済性、単純さ、簡潔さ、簡潔さ、エレガントさ。2.一般性、抽象性、力。3.驚き、創意工夫、賢さ。4.パターン、構造、対称性、規則性、視覚的デザイン。5.論理性、厳密さ、緊密な推論と演繹、純粋な思考。6.相互接続性、リンク、統一性。7.適用性、モデリング力、経験的一般性である。彼は、個々の数学者や数学者のコミュニティがこのリストから好ましい選択をするだろうと主張している。ハーディのように、いくつかを拒否する人もいる（ハーディは応用数学は醜いと主張した）。しかし、レンチュヤ・サとその同僚^[25]は、20のよく知られた方程式の美しさについて、英国の数学者と大学生、中国の数学者の見解を比較し、彼らの見解の間には高い一致があることを発見した。

1970年代に、アブラハム・モールズとフリーダー・ネイケは、美しさ、情報処理、情報理論の関係を分析した。^{[26] [27]} 1990年代に、ユルゲン・シュミットフーバーは、アルゴリズム情報理論に基づいて、観察者に依存する主観的美の数学的理論を定式化した。主観的に比較可能な対象の中で最も美しい対象は、観察者がすでに知っていることに比べて短いアルゴリズム記述（すなわち、コルモゴロフ複雑性）を持つ。 ^{[28] [29] [30]}シュミットフーバーは、美しいことと興味深いことを明確に区別している。後者は、主観的に知覚される美しさの第一次導関数に対応している。観察者は、繰り返しや対称性、フラクタル自己相似性などの規則性を発見することによって、観察の予測可能性と圧縮性を継続的に改善しようとする。観察者の学習プロセス（予測型人工ニューラルネットワークなど）によってデータ圧縮が改善され、観察シーケンスを以前よりも少ないビット数で記述できるようになると、データの一時的な興味深さは圧縮の進行に対応し、観察者の内部好奇心報酬に比例する。^{[31] [32]}

音楽における数学の使用例としては、ヤニス・クセナキスの確率音楽、トゥールの『ラテラルス』におけるフィボナッチ数列、ヨハン・セバスティアン・バッハの対位法、ポリリズム構造（イーゴリ・ストラヴィンスキーの『春の祭典』など）、エリオット・カーターのメトリック変調、アルノルド・シェーンベルクに始まるセリアリズムにおける置換理論、カールハインツ・シュトックハウゼンの『讃美歌』におけるシェパード音の応用などが挙げられる。また、デイヴィッド・ルーウィンの理論的著作における音楽の変換への群論の応用も含まれる。

視覚芸術における数学の使用例としては、カオス理論やフラクタル幾何学のコンピューター生成アートへの応用、レオナルド・ダ・ヴィンチの対称性研究、ルネサンス美術の遠近法理論の発展における射影幾何学、オプ・アートのグリッド、ジャンバッティスタ・デッラ・ポルタのカメラ・オブスクラにおける光学幾何学、分析的キュービズムや未来派における多重遠近法などが挙げられます。

神聖幾何学は独自の分野であり、最もよく知られている神秘的なシンボルや宗教的なモチーフを含む無数の芸術形式を生み出し、イスラム建築において特に豊かな歴史を持っています。また、カバラの セフィロト（生命の樹）やメタトロンの立方体の研究など、瞑想や黙想の手段、そして描くという行為そのものも提供します。

オランダのグラフィックデザイナー、MCエッシャーは、数学にインスピレーションを得た木版画、リトグラフ、メゾチントを制作しました。これらの作品には、不可能な構造、無限の探求、建築、視覚的なパラドックス、モザイク模様などが特徴的です。

南アフリカの彫刻家ジョンティ・ハーウィッツを含む一部の画家や彫刻家は、アナモルフォーシスの数学的原理を用いて歪んだ作品を制作している。

イギリスの構成主義芸術家ジョン・アーネストは、群論にインスピレーションを得てレリーフや絵画を制作した。^[33]アンソニー・ヒルやピーター・ロウなど、構成主義やシステム学派の他の多くのイギリスの芸術家も、数学モデルや構造をインスピレーションの源として描いている。^{[34]コンピュータ生成アートは、数学的}アルゴリズムに基づいている。

バートランド・ラッセルは数学的な美意識を次の言葉で表現しました。

数学は、正しく見れば、真実だけでなく、最高の美も備えている。彫刻のように冷たく厳粛な美であり、人間の弱い本性のどこにも訴えかけず、絵画や音楽の華麗な装飾もなく、崇高な純粋さを持ち、最高の芸術だけが示すことができる厳密な完璧さを持ち合わせている。最高の卓越性の試金石である真の歓喜の精神、高揚感、人間を超えた感覚は、詩と同じように数学の中に見出すことができる。^[35]

ポール・エルデシュは数学の言い表せないことに対する見解を次のように述べた。「なぜ数字は美しいのか？それは、なぜベートーベンの第九交響曲が美しいのかと尋ねるようなものです。理由がわからないと、誰も説明できません。数字が美しいことはわかっています。数字が美しくなければ、何も美しくありません。」^[36]

• セルッチ、カルロ（2015）「数学的美、理解、発見」、科学の基礎、20（4）：339–355、doi：10.1007/s10699-014-9378-7、S2CID  120068870
• マーティン・ガードナー (2007 年 4 月 1 日)。「美は真実か、真実は美か?」。サイエンティフィック・アメリカン。
• スチュワート、イアン（2007年）。『美は真実である理由：対称性の歴史』ニューヨーク：ベーシックブックス、ペルセウスブックスグループの一員。ISBN 978-0-465-08236-0. OCLC  76481488.
• Zeki, S. ; Romaya, JP; Benincasa, DMT; Atiyah, MF (2014)、「数学的美の経験とその神経相関」、Frontiers in Human Neuroscience、8 :68、doi : 10.3389/fnhum.2014.00068、PMC  3923150、PMID  24592230

• 数学、詩、そして美
• 数学は美しいか？ cut-the-knot.org
• ジャスティン・マリンズ.com
• エドナ・サン・ヴィンセント・ミレイ（詩人）：ユークリッドだけが美を裸で見つめた
• テレンス・タオ、「良い数学とは何か？」
• Mathbeautyブログ
• インターネット アーカイブの美的アピールコレクション
• 数学的ロマンスジム・ホルト2013年12月5日発行のニューヨーク・レビュー・オブ・ブックス誌に掲載されたエドワード・フレンケル著『愛と数学：隠された現実の核心』の書評