ループ量子重力

ループ量子重力理論（LQG）は、標準モデルの物質を、固有量子重力の場合に確立された枠組みに組み込んだ量子重力理論である。これは、重力を神秘的なメカニズム（力）として扱うのではなく、アルバート・アインシュタインの幾何学的定式化に直接基づいて量子重力理論を展開する試みである。理論として、LQGは、空間と時間の構造が、極めて微細な織物またはネットワークに織り込まれた有限のループで構成されていると仮定している。これらのループのネットワークは、スピンネットワークと呼ばれる。スピンネットワーク、またはスピンフォームの発展は、プランク長さ、約10 ⁻³⁵メートルのオーダーのスケールを持ち、それより小さいスケールは意味をなさない。したがって、物質だけでなく、空間自体も原子構造を好む。

世界中で約30の研究グループが関与する研究分野^[1]は、基本的な物理的仮定と量子空間の数学的記述を共有しています。研究は、より伝統的な標準的なループ量子重力と、スピンフォーム理論と呼ばれるより新しい共変ループ量子重力の2つの方向に発展してきました。ループ量子重力の直接的な結果として進歩した最もよく発達した理論は、ループ量子宇宙論（LQC）と呼ばれています。LQCは、ビッグバンの概念をより広範なビッグバウンス理論に取り入れて、初期宇宙の研究を前進させています。ビッグバウンス理論では、ビッグバンは、ビッグクランチと呼ばれる収縮期に続く膨張期の始まりであると想定されています。

1986年、アバハイ・アシュテカーは、アインシュタインの一般相対性理論を、他の基礎物理学、具体的にはヤン＝ミルズ理論に近い言語で再定式化した。^[2]その後まもなく、テッド・ジェイコブソンとリー・スモーリンは、ホイーラー＝デウィット方程式と呼ばれる量子重力の形式方程式が、新しいアシュテカー変数で書き直すと、ループでラベル付けされた解を持つことを認識した。カルロ・ロヴェッリとスモーリンは、これらのループ解の観点から、非摂動的で背景に依存しない量子重力理論を定義した。ホルヘ・プーリンとイェジ・レワンドフスキは、ループの交差が理論の一貫性にとって不可欠であり、理論は交差するループ、つまりグラフの観点から定式化される必要があることを理解した。

1994年、ロヴェッリとスモーリンは、面積と体積に関連する理論の量子演算子が離散スペクトルを持つことを示しました。 ^{[3]つまり、幾何学は量子化されています。この結果は、量子幾何学の状態の明確な基礎を定義し、それは}ロジャー・ペンローズのスピンネットワークによってラベル付けされることが判明しました。スピンネットワークは、スピンによってラベル付けされたグラフです。

力学の標準バージョンはトーマス・ティーマンによって確立され、彼は異常のないハミルトニアン演算子を定義し、数学的に一貫した背景に依存しない理論の存在を示しました。力学の共変バージョン、または「スピンフォーム」バージョンは、フランス、カナダ、英国、ポーランド、ドイツの研究グループによって数十年にわたって共同で開発されました。これは2008年に完成し、遷移振幅の族の定義につながりました。これは古典的な極限では、一般相対性理論の切断族に関連していることが示されます。^[4]これらの振幅の有限性は2011年に証明されました。 ^{[5] [6]これには正の}宇宙定数の存在が必要であり、これは宇宙の膨張の加速が観測されていることと一致しています。

LQG は形式的には背景独立であり、つまり LQG の方程式は空間と時間に埋め込まれておらず、依存もしていない (不変トポロジーを除く)。代わりに、プランク長の10 倍の距離に空間と時間が生じると予想される。LQG の背景独立性の問題には、まだ解決されていない微妙な点がいくつかある。たとえば、導出によってはトポロジーの固定選択が必要になるが、重力の一貫した量子理論にはトポロジーの変化が動的プロセスとして含まれるはずである。^[要出典]

物理学が展開する「容器」としての時空には、客観的な物理的意味はなく、重力相互作用は、世界を形成する場の 1 つとして表現される。これは、時空の関係主義的解釈として知られている。LQG では、一般相対性理論のこの側面が真剣に受け止められ、この対称性は、物理的状態が微分同相写像の生成元の下で不変のままであることを要求することによって維持される。この条件の解釈は、純粋に空間的な微分同相写像についてはよく理解されている。しかし、時間を含む微分同相写像 (ハミルトン制約) の理解は、一般相対性理論におけるダイナミクスおよびいわゆる「時間の問題」に関係するため、より微妙である。 ^[7]この制約を説明する、一般に受け入れられている計算フレームワークはまだ見つかっていない。^{[8] [9]}量子ハミルトン制約の妥当な候補は、Thiemann によって導入された演算子である。^[10]

制約条件は、元の位相空間における制約面を定義する。制約条件のゲージ運動はすべての位相空間に適用されるが、制約面をそのまま残すという特徴があり、したがってゲージ変換下の超曲面内の点の軌道は、完全にその内部の軌道となる。ディラック観測量は、制約方程式が課されるときにすべての制約条件と ポアソン可換な位相空間関数として定義される。${\displaystyle O}$

${\displaystyle \{G_{j},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{C_{a},O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=\{H,O\}_{G_{j}=C_{a}=H=0}=0,}$

つまり、それらは理論のゲージ変換に対して不変な制約面上で定義される量です。

そして、制約条件のみを解き、それに関するディラック観測量を決定すると、制約条件付きのアルノウィット・デザー・ミスナー（ADM）位相空間に戻ることができる。一般相対論のダイナミクスは制約条件によって生成され、空間微分同相写像とハミルトン制約条件の線形結合で3次元計量とその共役運動量のポアソン括弧を計算することで、時間発展（実際にはゲージ変換）を記述する6つのアインシュタイン方程式が得られることが示される。制約条件を消滅させて物理的な位相空間を与えるのは、他の4つのアインシュタイン方程式である。^[11]${\displaystyle G_{j}=0}$${\displaystyle H,C_{a}}$

正準量子重力における技術的問題の多くは、制約条件に関係している。正準一般相対論はもともと計量変数で定式化されたが、量子演算子に制約条件を適用するには、正準変数に対する非線形依存性が強いため、数学的に克服できない困難があるように思われた。方程式は、アシュテカーの新しい変数の導入によって大幅に簡素化された。アシュテカー変数は、ゲージ理論の変数に近い新しい一対の正準変数で正準一般相対論を記述する。最初のステップは、密度化されたトライアド（トライアドは単に でラベル付けされた 3 つの直交ベクトル場であり、密度化されたトライアドは で定義される）を使用して空間計量に関する情報をエンコードすることである。 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\displaystyle E_{i}^{a}}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}.}$

（ここで は平坦な空間計量であり、上記の式は、 を基底 で表すと局所的に平坦であることを表しています）。（計量ではなくトライアドで一般相対論を定式化することは新しいことではありませんでした。）密度化されたトライアドは一意ではなく、実際、内部インデックス に関して空間内の局所的な回転を実行できます。正準共役変数は、 によって外在曲率に関連付けられています。しかし、計量定式化を使用する場合と同様の問題が、理論を量子化しようとすると発生します。アシュテカーの新しい洞察は、新しい構成変数を導入することでした。 ${\displaystyle \delta ^{ij}}$${\displaystyle q^{ab}}$${\displaystyle E_{i}^{a}}$${\displaystyle i}$${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$

は複素接続として振る舞い、 はを介し​​ていわゆるスピン接続と関連しています。ここではカイラルスピン接続と呼ばれます。これは共変微分 を定義します。は の共役運動量であることが判明しており、これらは一緒に Ashtekar の新しい変数を形成します。 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$

アシュテカー変数の制約、ガウスの定理、空間微分同相制約、および（稠密化された）ハミルトン制約の表現は次のようになります。

${\displaystyle G^{i}={\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0}$

${\displaystyle C_{a}={\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-A_{a}^{i}({\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b})=V_{a}-A_{a}^{i}G^{i}=0,}$

${\displaystyle {\tilde {H}}=\epsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0}$

それぞれ、ここで は接続の場の強度テンソルであり、ここで はベクトル制約と呼ばれます。上記の空間内の局所的な回転不変性は、ここでガウスの定理によって表現されるゲージ不変性の元です。これらの制約は、計量定式化の制約とは異なり、基本変数の多項式であることに注意してください。この劇的な単純化により、制約を量子化する道が開かれたようです。(アシュテカーの形式論の導出については、 記事「自己双対パラティーニ作用」を参照してください)。${\displaystyle F_{ab}^{i}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle V_{a}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

アシュテカーの新しい変数では、配置変数 が与えられているので、波動関数 を考慮するのが自然です。これが接続表現です。これは、配置変数と波動関数 を持つ通常の量子力学に類似しています。配置変数は、次のようにして量子演算子に昇格されます。 ${\displaystyle A_{a}^{i}}$${\displaystyle \Psi (A_{a}^{i})}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {A}}_{a}^{i}\Psi (A)=A_{a}^{i}\Psi (A),}$

（ に類似）そして、３つ組は（関数的）導関数であり、 ${\displaystyle {\hat {q}}\psi (q)=q\psi (q)}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E_{i}^{a}}}}\Psi (A)=-i{\delta \Psi (A) \over \delta A_{a}^{i}}.}$

（ に類似）。量子論に移ると、制約は運動学的ヒルベルト空間（制約のないヤン・ミルズ・ヒルベルト空間）上の演算子となる。を導関数で置き換えるときにとの順序が異なると、異なる演算子が生じることに注意する。この選択は因子順序と呼ばれ、物理的推論によって選択される。正式には、それらは次のように表される。 ${\displaystyle {\hat {p}}\psi (q)=-i\hbar d\psi (q)/dq}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\tilde {E}}}$${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {C}}_{a}\vert \psi \rangle =0}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}\vert \psi \rangle =0.}$

これらすべての方程式を適切に定義し、解くには、まだ問題が残っています。たとえば、アシュテカーが使用したハミルトニアン制約は、元のハミルトニアンではなく、高密度バージョンでした。つまり、彼は を使用しました。この量を量子演算子に昇格させるには、深刻な困難がありました。さらに、アシュテカー変数はハミルトニアンを簡素化するという利点がありますが、複雑です。理論を量子化する場合、複素一般相対性理論ではなく、実一般相対性理論を確実に回復することは困難です。 ${\textstyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H}$

ガウスの法則のポアソン括弧の古典的な結果は、接続部で ${\textstyle G(\lambda )=\int d^{3}x\lambda ^{j}(D_{a}E^{a})^{j}}$

${\displaystyle \{G(\lambda ),A_{a}^{i}\}=\partial _{a}\lambda ^{i}+g\epsilon ^{ijk}A_{a}^{j}\lambda ^{k}=(D_{a}\lambda )^{i}.}$

量子ガウスの法則は

${\displaystyle {\hat {G}}_{j}\Psi (A)=-iD_{a}{\delta \lambda \Psi [A] \over \delta A_{a}^{j}}=0.}$

量子ガウスの法則をぼかして量子状態に対するその作用を調べると、量子状態に対する制約の作用は、無限小（パラメータが小さいという意味で）ゲージ変換によって引数をシフトすることと同等であることが分かる。 ${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \left[1+\int d^{3}x\lambda ^{j}(x){\hat {G}}_{j}\right]\Psi (A)=\Psi [A+D\lambda ]=\Psi [A],}$

そして最後の恒等式は、制約が状態を消滅させるという事実から来ています。したがって、制約は量子演算子として、その消滅が古典的に課したのと同じ対称性を課しています。つまり、関数は接続のゲージ不変関数でなければならないことを示しています。同じ考えは他の制約にも当てはまります。 ${\displaystyle \Psi [A]}$

したがって、古典理論における制約条件を解くこと（初期データの許容条件を解くことと同等）とゲージ軌道を探すこと（「発展」方程式を解くこと）の2段階のプロセスは、量子理論では量子方程式の解を探すという1段階のプロセスに置き換えられます。これは、量子レベルで制約条件を解き、同時にゲージ変換の量子生成器であるためゲージ不変な状態を探すためです（ゲージ不変関数はゲージ軌道に沿って一定であり、したがってゲージ軌道を特徴付けます）。^[12]古典レベルでは、許容条件と発展方程式を解くことは、アインシュタインの場の方程式をすべて解くことと同等であったことを思い出してください。これは、正準量子重力における量子制約方程式の中心的な役割を強調しています。 ${\displaystyle C_{I}=0}$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle {\hat {C}}_{I}\Psi =0}$${\displaystyle {\hat {C}}_{I}}$

特にガウスの法則と空間微分同相制約の解の空間をうまく制御できないことが、ロヴェッリとスモーリンがゲージ理論と量子重力におけるループ表現を検討するきっかけとなった。^[13]

LQGにはホロノミーの概念が含まれています。ホロノミーとは、閉ループの周りを 平行移動した後のスピノルまたはベクトルの初期値と最終値がどれだけ異なるかを表す尺度であり、次のように表されます。

${\displaystyle h_{\gamma }[A]}$。

ホロノミーの知識は、ゲージ同値性を除き、接続の知識と同等である。ホロノミーはエッジと関連付けることもできる。ガウスの法則のもとでは、これらは次のように変換される。

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \beta }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \beta }(y).}$

閉ループの場合、を仮定すると、 ${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \alpha =\beta }$

${\displaystyle (h'_{e})_{\alpha \alpha }=U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)(h_{e})_{\gamma \sigma }U_{\sigma \alpha }(x)=[U_{\sigma \alpha }(x)U_{\alpha \gamma }^{-1}(x)](h_{e})_{\gamma \sigma }=\delta _{\sigma \gamma }(h_{e})_{\gamma \sigma }=(h_{e})_{\gamma \gamma }}$

または

${\displaystyle \operatorname {Tr} h'_{\gamma }=\operatorname {Tr} h_{\gamma }.}$

閉ループの周りのホロノミーの軌跡は次のように記述される。

${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$

これはウィルソンループと呼ばれる。したがってウィルソンループはゲージ不変である。ホロノミーの明示的な形式は

${\displaystyle h_{\gamma }[A]={\mathcal {P}}\exp \left\{-\int _{\gamma _{0}}^{\gamma _{1}}ds{\dot {\gamma }}^{a}A_{a}^{i}(\gamma (s))T_{i}\right\}}$

ここで、はホロノミーが評価される曲線であり、は曲線に沿ったパラメータであり、小さい値の因子が左側に現れることを意味するパス順序付けを表し、代数を 満たす行列である。${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$

${\displaystyle [T^{i},T^{j}]=2i\epsilon ^{ijk}T_{k}.}$

パウリ行列は上記の関係を満たします。これらの関係を満たす行列の集合の例は、さらに無限に多く存在します。各集合は の行列で構成され、これらのいずれも 2 つ以上の低次元の例に「分解」できるとは考えられません。これらは代数の異なる既約表現と呼ばれます。最も基本的な表現はパウリ行列です。ホロノミーは、使用される既約表現に応じて 半整数でラベル付けされます。${\displaystyle (N+1)\times (N+1)}$${\displaystyle N=1,2,3,\dots }$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle N/2}$

ウィルソンループの使用はガウスゲージ制約を明示的に解決します。空間微分同相制約を扱うにはループ表現が必要です。ウィルソンループを基底として、任意のガウスゲージ不変関数は次のように展開されます。

${\displaystyle \Psi [A]=\sum _{\gamma }\Psi [\gamma ]W_{\gamma }[A].}$

これはループ変換と呼ばれ、量子力学における運動量表現に類似している（位置と運動量空間を参照）。QM表現は、番号でラベル付けされた状態の基底を持ち、次のように展開される 。${\displaystyle \exp(ikx)}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \psi [x]=\int dk\psi (k)\exp(ikx).}$

そして、展開の係数と連動する。${\displaystyle \psi (k).}$

逆ループ変換は次のように定義される。

${\displaystyle \Psi [\gamma ]=\int [dA]\Psi [A]W_{\gamma }[A].}$

これはループ表現を定義します。接続表現の演算子が与えられると、 ${\displaystyle {\hat {O}}}$

${\displaystyle \Phi [A]={\hat {O}}\Psi [A]\qquad Eq\;1,}$

ループ表現において対応する演算子を次のように 定義する。${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]={\hat {O}}'\Psi [\gamma ]\qquad Eq\;2,}$

ここで、通常の逆ループ変換によって定義される。 ${\displaystyle \Phi [\gamma ]}$

${\displaystyle \Phi [\gamma ]=\int [dA]\Phi [A]W_{\gamma }[A]\qquad Eq\;3.}$

上の演算子の作用を上の演算子の作用で表した変換式は、の右辺をの右辺と等しくし、を に代入することによって得られる。すなわち、 ${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$${\displaystyle Eq\;2}$${\displaystyle Eq\;3}$${\displaystyle Eq\;1}$${\displaystyle Eq\;3}$

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]W_{\gamma }[A]{\hat {O}}\Psi [A],}$

または

${\displaystyle {\hat {O}}'\Psi [\gamma ]=\int [dA]({\hat {O}}^{\dagger }W_{\gamma }[A])\Psi [A],}$

ここで、 は逆の因数順序を持つ演算子 を意味します（共役の下で演算子の積が逆になる単純な量子力学を思い出してください）。この演算子のウィルソンループへの作用は、接続表現での計算として評価され、結果はループに関する操作としてのみ並べ替えられます（ウィルソンループへの作用に関しては、選択された変換された演算子は、波動関数 への作用に使用されるものと比較して逆の因数順序を持つ演算子です）。これにより、演算子 の物理的な意味が与えられます。たとえば、 が空間微分同相写像に対応する場合、これは の接続フィールドを の場所に保持しながら、代わりに 上で空間微分同相写像を実行するものと考えることができます。したがって、 の意味は上の空間微分同相写像、つまり の引数です。 ${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle {\hat {O}}}$${\displaystyle \Psi [A]}$${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle {\hat {O}}^{\dagger }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle W_{\gamma }[A]}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\hat {O}}'}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

ループ表現では、ループの空間微分同相写像に対して不変なループの関数を考慮することによって空間微分同相写像制約が解決されます。つまり、結び目不変量が使用されます。これにより、結び目理論と量子重力 の間に予期せぬつながりが生まれます。${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$${\displaystyle \gamma }$

交差しないウィルソンループの集合は、アシュテカーの量子ハミルトン制約を満たす。項の特定の順序と導関数の置き換えを使用すると、量子ハミルトン制約のウィルソンループへの作用は次のようになる。 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {H}}}^{\dagger }W_{\gamma }[A]=-\epsilon _{ijk}{\hat {F}}_{ab}^{k}{\frac {\delta }{\delta A_{a}^{i}}}{\frac {\delta }{\delta A_{b}^{j}}}W_{\gamma }[A].}$

導関数をとると、ループの接線ベクトル が下がります。つまり、 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\hat {F}}_{ab}^{i}{\dot {\gamma }}^{a}{\dot {\gamma }}^{b}.}$

しかし、はインデックスに対して反対称なので、これは消えます（これは、がどこでも不連続ではなく、したがって接線ベクトルが一意であることを前提としています）。 ${\displaystyle F_{ab}^{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \gamma }$

ループ表現に関しては、ループに不連続性があり、結び目不変である場合、波動関数は消えます。このような関数は、ガウスの法則、空間微分同相制約、および（形式的には）ハミルトン制約を解きます。これにより、量子一般相対性理論のすべての方程式に対する正確な（形式的にのみ）解の無限集合が得られます！^[13]これにより、このアプローチに大きな関心が寄せられ、最終的にLQGにつながりました。 ${\displaystyle \Psi [\gamma ]}$

最も簡単な幾何学的量は面積です。表面が で特徴付けられるような座標を選択しましょう。表面の小さな平行四辺形の面積は、各辺の長さと辺の間の角度の積です。1 つの辺がベクトルで与えられ、もう 1 つがベクトルで与えられるとします。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle x^{3}=0}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \sin \theta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\vec {u}}}$${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle A=\|{\vec {u}}\|\|{\vec {v}}\|\sin \theta ={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}}={\sqrt {\|{\vec {u}}\|^{2}\|{\vec {v}}\|^{2}-({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})^{2}}}}$

と が張る空間には、とで表わされる無限小平行四辺形があります。（添え字​​と は1から2まで）を使用すると、表面積は次のよう になります。${\displaystyle x^{1}}$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{1}dx^{1}}$${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {e}}_{2}dx^{2}}$${\displaystyle q_{AB}^{(2)}={\vec {e}}_{A}\cdot {\vec {e}}_{B}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {\det \left(q^{(2)}\right)}}}$

ここで、 と は に誘導される計量の行列式である。後者は、添え字が1から2までの間で書き直すことができる。これはさらに次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle \det(q^{(2)})=q_{11}q_{22}-q_{12}^{2}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \det(q^{(2)})=\epsilon ^{AB}\epsilon ^{CD}q_{AC}q_{BD}/2}$${\displaystyle A\dots D}$

${\displaystyle \det(q^{(2)})={\epsilon ^{3ab}\epsilon ^{3cd}q_{ac}q_{bc} \over 2}.}$

逆行列の標準的な式は

${\displaystyle q^{ab}={\epsilon ^{bcd}\epsilon ^{aef}q_{ce}q_{df} \over 2!\det(q)}.}$

これと の式には類似点があります。しかし、アシュテカー変数ではです。したがって、 ${\displaystyle \det(q^{(2)})}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}^{bi}=\det(q)q^{ab}}$

${\displaystyle A_{\Sigma }=\int _{\Sigma }dx^{1}dx^{2}{\sqrt {{\tilde {E}}_{i}^{3}{\tilde {E}}^{3i}}}.}$

正準量子化の規則によれば、三つ組は量子演算子に昇格されるはずである。 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{3}}$

${\displaystyle {\hat {\tilde {E}}}_{i}^{3}\sim {\delta \over \delta A_{3}^{i}}.}$

この領域は、2つの関数微分の積と平方根を含んでいるにもかかわらず、明確に定義された量子演算子に昇格することができる。^[14] ( -番目の表現)を置くと、 ${\displaystyle A_{\Sigma }}$${\displaystyle N=2J}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle \sum _{i}T^{i}T^{i}=J(J+1)1.}$

この量は面積スペクトルの最終式において重要です。結果は次のようになります。

${\displaystyle {\hat {A}}_{\Sigma }W_{\gamma }[A]=8\pi \ell _{\text{Planck}}^{2}\beta \sum _{I}{\sqrt {j_{I}(j_{I}+1)}}W_{\gamma }[A]}$

ここで、合計は表面を貫通するウィルソンループのすべての辺にわたります。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle \Sigma }$

領域の体積の公式は次のように表される。 ${\displaystyle R}$

${\displaystyle V=\int _{R}d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}=\int _{R}dx^{3}{\sqrt {{\frac {1}{3!}}\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}}}.}$

体積の量子化は、面積の場合と同じように行われます。導関数が取られるたびに、接線ベクトルが下がり、体積演算子が交差しないウィルソン ループに作用すると、結果は消えます。したがって、体積がゼロでない量子状態には交差が伴う必要があります。反対称和が体積の式に引き継がれることを考えると、少なくとも 3 つの非共面線との交差が必要です。体積演算子が消えないためには、少なくとも 4 つの価頂点が必要です。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{a}}$

ゲージ群が である実数表現を仮定すると、ウィルソンループは、異なるウィルソンループを関連付ける恒等式が存在するため、過剰完備基底である。これは、ウィルソンループが行列（ホロノミー）に基づいており、これらの行列が恒等式を満たすために発生する。任意の2つの行列とが与えられると、 ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$${\displaystyle \mathbb {A} }$${\displaystyle \mathbb {B} }$

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} )\operatorname {Tr} (\mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )+\operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} ^{-1}).}$

これは、交差する 2つのループと${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle W_{\gamma }[A]W_{\eta }[A]=W_{\gamma \circ \eta }[A]+W_{\gamma \circ \eta ^{-1}}[A]}$

ここで、はループを反対方向に通過することを意味し、 はループを一周してから に沿って進むことによって得られるループを意味します。下の図を参照してください。行列がユニタリであることを考えると、が成り立ちます。また、行列トレースの巡回特性 (つまり) を考えると、 が成り立ちます。これらの恒等式を互いに組み合わせて、ループを追加して複雑さが増すさらなる恒等式を作成できます。これらの恒等式は、いわゆるマンデルシュタム恒等式です。スピン ネットワークは、交差するウィルソン ループの線形結合であり、マンデルシュタム恒等式によって導入される過剰完全性に対処するように設計されており (3 価交差では過剰完全性が完全に排除されます)、実際にすべてのゲージ不変関数の基底を構成します。 ${\displaystyle \eta ^{-1}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \gamma \circ \eta }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle W_{\gamma }[A]=W_{\gamma ^{-1}}[A]}$${\displaystyle \operatorname {Tr} (\mathbb {A} \mathbb {B} )=\operatorname {Tr} (\mathbb {B} \mathbb {A} )}$${\displaystyle W_{\gamma \circ \eta }[A]=W_{\eta \circ \gamma }[A]}$

上で述べたように、ホロノミーはテストスピン半粒子を伝播する方法を示します。スピンネットワーク状態は、空間内のパスをトレースし、融合および分割するスピン半粒子のセットに振幅を割り当てます。これらはスピンネットワークによって記述されます。エッジはスピンによってラベル付けされ、頂点には「絡み合うもの」があり、スピンが再ルーティングされるさまざまな方法を合計する方法を規定します。再ルーティングの合計は、ガウスゲージ変換の下で絡み合うものの形が不変になるように選択されます。 ${\displaystyle \gamma }$

正準量子重力理論の長い歴史において、ハミルトン制約を量子演算子（ホイーラー・デウィット方程式）として数学的に厳密に定式化することは困難な問題であった。1996年にようやく数学的によく定義されたハミルトン制約がループ表現で定式化された。 ^{[10]その構築の詳細については、} LQGのハミルトン制約の論文を参照のこと。これは、ループ表現で記述されたガウスの法則と空間微分同相写像制約の量子バージョンとともに、LQG（現代の正準量子一般相対性理論）の中心的な方程式である。

これらの制約によって消滅する状態 (物理状態) を見つけ、対応する物理的な内積と観測可能な値を見つけることが、LQG の技術的側面の主な目標です。

ハミルトニアン演算子の重要な側面は、頂点にのみ作用することです (この結果、アシュテカーの演算子と同様に、ティーマンのハミルトニアン演算子は交差しないループを消滅させますが、形式的なものではなく、厳密な数学的意味を持ちます)。より正確には、その作用は少なくとも価数 3 以上の頂点でゼロ以外になり、新しいスピン ネットワークの線形結合が生まれます。元のグラフは、各頂点の線の追加と、頂点の隣接リンクのラベルの変更によって変更されています。^{[引用が必要]}

理論物理学における重要な課題は、量子時空の理論である LQG を、基本的な力と粒子を記述する素粒子物理学の標準モデルと統合することです。この取り組みにおける大きな障害は、カイラルフェルミオンをLQG フレームワークに 組み込むときに発生するフェルミオン倍増問題です。

電子やクォークなどのカイラル フェルミオンは、その「利き手」またはカイラリティによって特徴付けられる基本粒子です。この特性により、粒子とその鏡像は弱い相互作用の下で異なる動作をします。この非対称性は、標準モデルが数多くの物理現象を説明する上で基礎となっています。

しかし、カイラルフェルミオンをLQGに統合しようとすると、しばしば偽の鏡像粒子の出現につながる。例えば、単一の左利きフェルミオンの代わりに、理論は左利きと右利きの両方のバージョンの存在を予測する。^[15]この「倍増」は標準モデルの観測されたカイラリティと矛盾し、その予測力を混乱させる。

フェルミオンの倍増問題は、量子重力の一貫した理論を構築する上で大きな障害となります。最小スケールでの宇宙の記述における標準モデルの正確さは、カイラルフェルミオンの固有の特性に大きく依存しています。この問題を解決しなければ、物質とその相互作用を量子重力の統一されたフレームワークに組み込むことは依然として大きな課題となります。

したがって、フェルミオンの倍増問題を解決することは、宇宙の最も基本的なレベルでの理解を深め、重力と量子の世界を統合する完全な理論を開発するために不可欠です。

ループ量子重力（LQG）では、スピン ネットワークは 3 次元超曲面上の重力場の「量子状態」を表します。すべての可能なスピン ネットワーク（または、より正確には「S ノット」、つまり微分同相写像の下でのスピン ネットワークの同値類）の集合は可算であり、LQGヒルベルト空間の基底を構成します。

物理学において、スピンフォームは、量子重力のファインマンの経路積分（関数積分）記述を得るために合計する必要がある構成の 1 つを表す、2 次元の面から構成される位相構造です。ループ量子重力と密接に関連しています。

このセクションについては、^[16]とその中の参考文献を参照してください。ハミルトン制約は「時間」発展を生み出します。ハミルトン制約を解くと、量子状態が「時間」の中で初期のスピンネットワーク状態から最終的なスピンネットワーク状態にどのように発展するかがわかります。ハミルトン制約を解く1つのアプローチは、ディラックのデルタ関数と呼ばれるものから始まります。異なるアクションシーケンスにわたるその合計は、初期のスピンネットワークを最終的なスピンネットワークに送る「時間」発展における「相互作用頂点」の異なる履歴の合計として視覚化できます。ハミルトン演算子が作用するたびに、頂点に新しいエッジが追加されます。

すると、スピン フォーム記述の基礎となる 2 つの複合体 (エッジに沿って結合し、頂点で結合する面の組み合わせセット) が自然に生じます。表面を掃き出す初期スピン ネットワークを前進させると、ハミルトン制約演算子のアクションは、頂点から始まる新しい平面表面を生成することです。スピン ネットワーク状態の頂点に対するハミルトン制約のアクションを使用して、各「相互作用」に振幅を関連付けることができます (ファインマン図に類似)。下の図を参照してください。これにより、標準的な LQG を経路積分記述に直接リンクする方法が開かれます。スピン ネットワークが量子空間を記述するのと同じように、これらの経路積分、つまり履歴の合計に寄与する各構成は、「量子時空」を記述します。石鹸の泡に似ていることと、ラベルの付け方から、ジョン バエズはこれらの「量子時空」に「スピン フォーム」という名前を付けました。

しかし、この特定のアプローチには重大な困難があります。たとえば、ハミルトン演算子は自己随伴ではなく、実際には通常の演算子でもありません(つまり、演算子はその随伴と交換しません)。そのため、スペクトル定理を使用して指数を一般に定義することはできません。最も深刻な問題は、が相互に交換できないことです。この場合、形式的な量は (一般化された) 射影を定義することさえできないことが示されます。マスター制約 (以下を参照) はこれらの問題に悩まされることはなく、そのため、正準理論を経路積分定式化に結び付ける方法を提供します。 ${\displaystyle {\hat {H}}(x)}$${\textstyle \int [dN]e^{i\int d^{3}xN(x){\hat {H}}(x)}}$

経路積分を定式化する別の方法があることがわかったが、ハミルトン形式との関連は明確ではない。1つの方法は、BF理論から始めることである。これは一般相対性理論よりも単純な理論であり、局所的自由度を持たず、したがって場の位相的側面のみに依存する。BF理論は、位相的場の理論として知られているものである。驚くべきことに、一般相対性理論は、制約を課すことによってBF理論から得られることが判明している。^[17] BF理論は場を含み、その場を2つの四面体の（反対称）積 とすると、${\displaystyle B_{ab}^{IJ}}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle B_{ab}^{IJ}={1 \over 2}\left(E_{a}^{I}E_{b}^{J}-E_{b}^{I}E_{a}^{J}\right)}$

（テトラッドはトライアドに似ているが、時空が 4 次元である）場合、一般相対性理論が回復される。場が 2 つのテトラッドの積で与えられるという条件は、単純性制約と呼ばれる。位相的場の理論のスピン フォーム ダイナミクスはよく理解されている。この単純な理論のスピン フォーム「相互作用」振幅が与えられた場合、一般相対性理論の経路積分を得るための単純性条件を実装しようとする。スピン フォーム モデルを構築するという自明ではない作業は、量子理論でこの単純性制約をどのように課すべきかという問題に帰着する。この最初の試みは、有名なバレット-クレイン モデルであった。^[18]しかし、このモデルには問題があることが示され、たとえば、正しい古典的極限を保証するのに十分な自由度がないように見えた。^{[19]単純性制約は量子レベルで強く課されすぎており、量子電磁}力学のグプタ-ブロイラー形式におけるローレンツ ゲージ条件と同様に、期待値の意味でのみ課されるべきであると主張されてきた。現在では、単純性条件をより弱い意味で課すことを動機として、新しいモデルが提唱されています。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }{\hat {A}}^{\mu }}$

ここでのもう 1 つの難しさは、スピン フォームが時空の離散化に基づいて定義されていることです。これは、局所的な自由度を持たないため、位相場理論では問題になりませんが、一般相対論では問題になります。これは、問題の三角化依存性として知られています。

古典的な単純さの制約を課すことで BF 理論から一般相対性理論が回復されるのと同様に、適切な量子単純さの制約を課すことで量子 BF 理論から量子重力が回復されると期待されます。

この問題に関しては、Engle、Pereira、Rovelli ^[20]、 FreidelとKrasnov ^[21]、LivineとSpeziale ^[22]によって、より良い挙動を伴うスピンフォーム相互作用振幅の定義において進歩が遂げられてきました。

EPRL-FKスピンフォームとLQGの標準定式化を結び付ける試みがなされた。^[23]

以下を参照してください。

古典的極限とは、物理理論が古典力学を近似する能力のことである。これは、非古典的な振る舞いを予測する物理理論で用いられる。^{[要出典]量子重力の候補理論はどれも、}量子理論の古典的極限としてアインシュタインの一般相対性理論を再現できなければならない。これは、量子場の理論の特徴である異なるセクターを持つために保証されるものではない。これは、統計システムの熱力学的極限で生じる異なる位相に類似している。異なる位相が物理的に異なるのと同様に、量子場の理論の異なるセクターも異なる。LQG は非物理的セクター、つまり半古典的極限で一般相対性理論が回復されないセクター、あるいは物理的セクターが存在しないセクターに属することが判明するかもしれない。

さらに、物理ヒルベルト空間には、量子異常を回避しながら得られた量子理論が古典理論に戻ることができることを保証するために十分な半古典状態が含まれていなければなりません。そうでなければ、物理ヒルベルト空間には古典理論には対応するものがない制約があり、量子理論の自由度は古典理論よりも少ないことを意味します。 ${\displaystyle H_{phys}}$${\displaystyle \hbar \to 0}$

Ashtekar らによって定義されたループ表現 (すなわち、正しいループ代数を再現するヒルベルト空間と関連演算子の特定の具体的な実現) の一意性を証明する定理は、2 つのグループ (Lewandowski、Okolow、Sahlmann、Thiemann ^[24]と Christian Fleischhack ^[25] ) によって与えられています。この結果が確立される前は、同じループ代数を呼び出す演算子を持つヒルベルト空間の他の例 (使用された実現と同等ではない他の実現) が存在するかどうかはわかっていませんでした。これらの一意性定理は、他には存在しないことを意味します。そのため、LQG に正しい半古典的極限がない場合、これらの定理は量子重力のループ表現の終わりを意味します。

LQG が半古典的な極限でアインシュタインの一般相対性理論を与えることを証明しようとすると、いくつかの困難があります。

1. 無限小空間微分同相写像に対応する演算子は存在しない（理論が空間幾何学が離散的性質を持つことを予測しているため、凝縮物質の状況と比較して、無限小空間「変換」の生成器を持たないことは驚くべきことではない）。代わりに有限空間微分同相写像で近似する必要があり、そのため古典理論のポアソン括弧構造は正確には再現されない。この問題は、いわゆるマスター制約（以下を参照）の導入によって回避できる。^[26]
2. 量子状態の離散的な組み合わせの性質と古典理論の場の連続的な性質を調和させるという問題がある。
3. 空間微分同相写像とハミルトン拘束条件を含むポアソン括弧の構造から、深刻な問題が生じる。特に、（スミアリングされた）ハミルトン拘束条件の代数は閉じない。これは、比例係数が定数ではなく、非自明な位相空間依存性を持つ無限小空間微分同相写像（これは、上で述べたように、量子論には存在しない）の合計に比例する。そのため、リー代数を形成しない。しかし、マスター拘束条件の導入により、状況は改善される。^[26]
4. これまでに開発された半古典的な仕組みは、グラフを変更しない演算子にのみ適していますが、Thiemann のハミルトン制約はグラフを変更する演算子です。つまり、この制約によって生成される新しいグラフには、コヒーレント状態が依存しない自由度があり、そのため量子変動は抑制されません。また、これまでのところ、これらのコヒーレント状態は運動学的レベルでのみ定義されているという制限があり、現在では、これらをおよびのレベルにまで引き上げる必要があります。ある意味で問題 3 を解決するには、Thiemann のハミルトン制約がグラフを変更する必要があることが示されます。ただし、マスター制約代数は自明であるため、グラフを変更するという要件を解除することができ、実際にグラフを変更しないマスター制約演算子が定義されています。現在わかっている限りでは、この問題はまだ解決されていません。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Diff}}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{Phys}}$
5. 古典的な一般相対論の観測量を定式化することは、その非線形性と時空微分同相不変性のため、困難な問題である。観測量を計算するための体系的な近似スキームが最近開発された。^{[27] [28]}

理論の半古典的限界を調べようとする際の困難さと、理論が間違った半古典的限界を持っていることとを混同すべきではありません。

上記の問題 2 に関しては、いわゆる織り状態について考えてみましょう。幾何学的量の通常の測定はマクロ的であり、プランク離散性は平滑化されます。T シャツの生地も同様です。遠くから見ると滑らかな曲面の 2 次元表面ですが、よく見ると実際には数千の 1 次元のリンクされた糸で構成されていることがわかります。LQG で示される空間のイメージも同様です。それぞれがプランク スケールの多数のノードとリンクによって形成された大規模なスピン ネットワークについて考えてみましょう。マクロ スケールで調べると、3 次元の連続したメトリック ジオメトリとして現れます。

低エネルギー物理学と接触するには、物理​​的内積とディラック観測量の両方に対する近似スキームを開発することが必須です。集中的に研究されてきたスピンフォームモデルは、前述の物理的内積に対する近似スキームへの道として考えることができます。

マルコプロウらは、背景に依存しない量子重力理論における低エネルギー限界の問題を解決するために、ノイズのないサブシステムの考え方を採用した。 ^{[29] [30]この考え方は、}標準モデルの物質がLQGのいくつかのバージョンからの創発的な自由度と同一視される可能性につながった（以下のセクション「LQGと関連研究プログラム」を参照）。

ワイトマンが1950年代に強調したように、ミンコフスキー場の場の理論では点関数は ${\displaystyle n-}$

${\displaystyle W(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|\phi (x_{n})\dots \phi (x_{1})|0\rangle ,}$

理論を完全に決定します。特に、これらの量から散乱振幅を計算することができます。背景に依存しない散乱振幅のセクションで後述するように、背景に依存しないコンテキストでは、点関数は状態を参照し、重力ではその状態が特定の形状に関する情報を自然にエンコードし、これらの量の式に表示できます。主要な順序で、LQG 計算は、有効低エネルギー量子一般相対性理論で計算された点関数と適切な意味で一致することが示されています。 ${\displaystyle n-}$${\displaystyle n-}$

ループ量子重力（LQG）のためのティーマンのマスター制約プログラムが、問題の制約の2乗を含む単一のマスター制約に関して、無限の数のハミルトン制約方程式を課す古典的に同等な方法として提案されました。マスター制約の使用に対する最初の反対意見は、一見すると観測可能なものに関する情報をエンコードしていないように思われたことです。マスター制約は制約の2乗であるため、任意の量でポアソン括弧を計算すると、結果は制約に比例し、したがって制約が課されると消え、特定の位相空間関数を選択しません。しかし、条件 ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \{O,\{O,M\}\}_{M=0}=0,}$

は位相空間上で少なくとも2回微分可能な関数であり、問​​題の制約条件に関して弱いディラック観測量であることと同等である。したがって、マスター制約条件は観測量に関する情報を捉えている。その重要性から、これはマスター方程式として知られている。^[31]${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$

マスター制約ポアソン代数が正直なリー代数であることは、グループ平均化と呼ばれる方法を使用して、洗練された代数的量子化（RAQ）と呼ばれるものを介して、無限の数のハミルトン制約、その物理的な内積、およびディラック観測量の解を構築するための可能性を開きます。^[32]

量子マスター制約を（正規化の問題は別として）次のように定義する。

${\displaystyle {\hat {M}}:=\int d^{3}x{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}^{\dagger }(x){\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x).}$

明らかに、

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$

すべてに対して はを意味します。逆に、の 場合${\displaystyle x}$${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$

${\displaystyle 0=\left\langle \Psi ,{\hat {M}}\Psi \right\rangle =\int d^{3}x\left\|{\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \right\|^{2}\qquad Eq\;4}$

暗示する

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi =0}$。

まず、演算子 の行列要素、つまり二次形式を計算します。は、グラフが変化する微分同相不変の二次形式であり、運動学的ヒルベルト空間 上には存在できず、 上で定義される必要があります。マスター制約演算子 は上で稠密に定義されているため、 はにおける正の対称演算子です。したがって、に関連付けられた二次形式は閉じることができます。 の閉包は、のフリードリヒ拡大と呼ばれる、一意の自己随伴演算子の二次形式です。簡単にするために、 を として再ラベルします。 ${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle Q_{M}}$${\displaystyle Q_{M}}$${\displaystyle H_{Kin}}$${\displaystyle H_{Diff}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle H_{Diff}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle H_{Diff}}$${\displaystyle Q_{M}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle Q_{M}}$ ${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle {\hat {\overline {M}}}}$${\displaystyle {\hat {M}}}$

内積、すなわち式4の存在は余分な解が存在しないことを意味することに注意すること。 つまり、${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle {\widehat {\left({\frac {H}{\sqrt[{4}]{\det(q(x))}}}\right)}}(x)\Psi \not =0,}$

しかし、そのために。 ${\displaystyle {\hat {M}}\Psi =0}$

また、空間微分同相制約の二乗の加重積分も含む、拡張マスター制約 (後述) と呼ばれるものの二次形式を構築することも可能です(グラフが変化しないため、これが可能です)。 ${\displaystyle Q_{M_{E}}}$${\displaystyle H_{Kin}}$${\displaystyle Q_{M_{E}}}$

マスター制約のスペクトルは、有限ではあるが、背景依存量子場理論の無限真空エネルギーと性質が似ている通常または因子順序付け効果のためにゼロを含まない場合があります。この場合、 「通常順序付け定数」が古典的極限で消えることを条件として、を に置き換えることが物理的に正しいことがわかります。つまり、 ${\displaystyle {\hat {M}}}$${\displaystyle {\hat {M}}':={\hat {M}}-\min(spec({\hat {M}})){\hat {1}}}$

${\displaystyle \lim _{\hbar \to 0}\min(spec({\hat {M}}))=0,}$

したがって、これはの有効な量子化です。 ${\displaystyle {\hat {M}}'}$${\displaystyle M}$

プリミティブ形式の制約はむしろ特異であるため、テスト関数で積分してスミア制約を取得しました。ただし、上記のマスター制約の式は、2 つのプリミティブ制約の積 (空間で積分されているとはいえ) を含む、さらに特異であるように見えます。制約を 2 乗することは、対応する演算子の紫外線挙動を悪化させる可能性があるため危険であり、したがって、マスター制約プログラムには注意して取り組む必要があります。

そうすることで、マスター制約プログラムは、非自明な制約代数、自由場理論および相互作用場理論を含むいくつかのモデルシステムで満足のいくテストを受けました。^{[33] [34] [35] [36 ] [37]} LQGのマスター制約は、真の正の自己随伴演算子として確立され、LQGの物理的なヒルベルト空間は空でないことが示されました。^[38] LQGが量子一般相対性理論の実行可能な理論となるためには、この一貫性テストに合格する必要があります。

マスター制約は、物理的な内積を近似し、より厳密な経路積分を定義する試みに用いられてきた。^{[39] [40] [41] [42]}

LQGに対する無矛盾離散化アプローチ^{[43] [44]}は、マスター制約プログラムを応用して正準理論の物理的ヒルベルト空間を構築したものである。

マスター制約は、他の制約を組み込むように簡単に一般化できます。これは拡張マスター制約と呼ばれ、 と表記されます。ハミルトン制約と空間微分同相制約の両方を単一の演算子として課す拡張マスター制約を定義できます。 ${\displaystyle M_{E}}$

${\displaystyle M_{E}=\int _{\Sigma }d^{3}x{H(x)^{2}-q^{ab}V_{a}(x)V_{b}(x) \over {\sqrt {\det(q)}}}}$。

この単一の制約をゼロに設定することは、のすべての場合において およびと等価である。この制約は、運動学的ヒルベルト空間において空間微分同相写像とハミルトン制約を同時に実現する。物理的な内積は次のように定義される。 ${\displaystyle H(x)=0}$${\displaystyle V_{a}(x)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \langle \phi ,\psi \rangle _{\text{Phys}}=\lim _{T\to \infty }\left\langle \phi ,\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}\psi \right\rangle }$

（ として）。この式のスピンフォーム表現は、-パラメータを離散的なステップに分割し、次のように書くこと で得られる。${\textstyle \delta ({\hat {M_{E}}})=\lim _{T\to \infty }\int _{-T}^{T}dte^{it{\hat {M}}_{E}}}$${\displaystyle t}$

${\textstyle e^{it{\hat {M}}_{E}}=\lim _{n\to \infty }\left[e^{it{\hat {M}}_{E}/n}\right]^{n}=\lim _{n\to \infty }[1+it{\hat {M}}_{E}/n]^{n}.}$

スピンフォーム記述は、スピンネットワークに を適用することで得られ、その結果、グラフとラベルが変更された新しいスピンネットワークの線形結合が生まれます。明らかに、 の値を有限の整数に切り捨てることで近似値が作成されます。拡張マスター制約の利点は、運動学レベルで作業していることであり、これまでのところ、半古典的なコヒーレント状態にアクセスできるのはここだけです。さらに、このマスター制約演算子のグラフを変更しないバージョンも見つかります。これは、これらのコヒーレント状態に適した唯一の演算子タイプです。 ${\displaystyle [1+it{\hat {M}}_{E}/n]}$${\displaystyle n}$

マスター制約プログラムは、代数量子重力（AQG）として知られる重力の完全な組み合わせ処理へと進化しました。^[45]グラフ非変化マスター制約演算子は、代数量子重力の枠組みに適応されています。AQGはLQGに触発されていますが、AQGには基本的にトポロジーや微分構造がないため、LQGとは大きく異なります。AQGはより一般的な意味で背景に依存しておらず、トポロジーの変化について何か言うことができる可能性があります。この量子重力の新しい定式化では、AQGの半古典的状態が常にすべての現在の自由度の変動を制御します。これにより、AQGの半古典的解析はLQGの解析よりも優れており、正しい半古典的極限を確立し、よく知られている低エネルギー物理学との接点を提供することで進歩が遂げられています。^{[46] [47]}

ブラックホール熱力学は、熱力学の法則とブラックホールの 事象の地平線の存在を調和させようとする研究分野である。一般相対性理論のノーヘア予想は、ブラックホールは質量、電荷、角運動量のみで特徴付けられ、したがってエントロピーを持たないと述べている。したがって、エントロピーがゼロでない物体をブラックホールに落とすことで、熱力学の第二法則に違反する可能性があると思われる。 ^[48]スティーブン・ホーキングとジェイコブ・ベッケンシュタインの研究は、各ブラックホールにブラックホールエントロピーを割り当てることで、熱力学の第二法則を維持できることを示した。

${\displaystyle S_{\text{BH}}={\frac {k_{\text{B}}A}{4\ell _{\text{P}}^{2}}},}$

ここで、はブラックホールの事象の地平線の面積、はボルツマン定数、 はプランク長である。^{[49]ブラックホールのエントロピーは}ベッケンシュタイン限界（ベッケンシュタイン限界が等式になる）によって得られる最大エントロピーでもあるという事実は、ホログラフィック原理につながる主な観察であった。^[48]${\displaystyle A}$${\displaystyle k_{\text{B}}}$${\textstyle \ell _{\text{P}}={\sqrt {G\hbar /c^{3}}}}$

ノーヘア定理の適用における見落としは、ブラックホールのエントロピーを説明する関連する自由度は本質的に古典的なものでなければならないという仮定である。もしそれらが純粋に量子力学的で、エントロピーがゼロでないとしたらどうなるだろうか。これは、ブラックホールのエントロピーの LQG 導出で実現されていることであり、背景独立性の結果として見ることができる。つまり、古典的なブラックホール時空は、重力場の量子状態の半古典的な限界から生じるが、同じ半古典的な限界を持つ量子状態は多数存在する。具体的には、LQG ^[50]では、量子幾何学的解釈をミクロ状態に関連付けることが可能である。これらは、ブラックホールの面積、および地平線のトポロジー (つまり球状) と一致する地平線の量子幾何学である。LQG は、エントロピーの有限性と地平線の面積の比例性について幾何学的な説明を提供する。^{[51] [52]}これらの計算は回転するブラックホールにも一般化されている。^[53]${\displaystyle A}$

完全な量子論（スピンフォーム）の共変定式化から、エネルギーと面積（第1法則）の正しい関係、ウンルー温度、ホーキングエントロピーを生み出す分布を導くことが可能である。^{[54]計算は}動的地平線の概念を利用し、非極限ブラックホールに対して行われる。

この方向での理論の最近の成功は、すべての非特異ブラックホールのエントロピーを理論から直接、 Immirziパラメータとは独立に計算することである。^{[54] [55]}結果は予想された式 であり、 はエントロピー 、 はブラックホールの面積であり、ベッケンシュタインおよびホーキングによって経験的根拠に基づいて導かれた。 これは、一般的な非特異ブラックホールの場合、この式を基本理論から導出した唯一の既知の例である。 この計算の以前の試みは困難を極めた。問題は、ループ量子重力理論ではブラックホールのエントロピーは事象の地平線の面積に比例すると予測されていたが、その結果が理論における重要な自由パラメータ、前述のImmirziパラメータに依存していたことである。 しかし、Immirziパラメータの計算方法は知られていないため、ベッケンシュタインおよびホーキングによるブラックホールのエントロピーの計算との一致を要求することで修正された。 ${\displaystyle S=A/4}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$

ブラックホールの地平線の量子幾何学の詳細な研究は、ループ量子重力を用いて行われた。^[52]ループ量子化は、導出中に生じる別の定数を打ち消すためにイミルジパラメータの値を選択しない限り、ベケンシュタインとホーキングによって最初に発見されたブラックホールのエントロピーの結果を再現しない。しかし、それはブラックホールのエントロピーと放射に対する高次の補正の計算につながった。

地平線の領域の変動に基づくと、量子ブラックホールはホーキングスペクトルからの偏差を示し、これは蒸発する原始ブラックホールのホーキング放射からのX線を観測した場合に観測されるであろう。^[56]量子効果は、ホーキング放射スペクトルの上に非常に顕著な離散的で混合されていない周波数のセットに集中している。^[57]

2014年、カルロ・ロヴェッリとフランチェスカ・ヴィドットは、すべてのブラックホールの中にプランク星が存在すると提唱した。^[58] LQGに基づくこの理論では、星がブラックホールに崩壊すると、エネルギー密度がプランクエネルギー密度に達し、反発力が生じて星が形成されるとしている。さらに、そのような星の存在は、ブラックホールファイアウォールとブラックホール情報パラドックスを解決するだろう。

一般的な文献や技術文献では、ループ量子宇宙論のLQG関連のトピックが広く言及されています。LQCは主にマーティン・ボヨワルドによって開発されました。これは、ビッグバン前のビッグバウンスを予測したことでサイエンティフィック・アメリカンで普及しました。^[59]ループ量子宇宙論（LQC）は、収縮宇宙論と膨張宇宙論の分岐の間に「量子橋」を予測するループ量子重力（LQG）の方法を模倣した方法を使用して量子化された古典的な一般相対性理論の対称性を低減したモデルです。

LQC の成果としては、ビッグバン特異点の解明、ビッグバウンスの予測、インフレーションの自然メカニズムの解明などが挙げられます。

LQC モデルは LQG の特徴を共有しているため、便利なトイ モデルです。ただし、得られた結果には、切り捨てられた古典理論を量子化すると、完全な理論で大きな量子変動を引き起こす可能性のある自由度が人為的に抑制されるため、完全な理論の真の動作が示されない可能性があるという通常の制限があります。LQC での特異点回避はこれらの制限モデルでのみ利用可能なメカニズムによるものであり、完全な理論での特異点回避は LQG のより微妙な特徴によって実現できると主張されています。^{[60] [61]}

プランク長が非常に小さいため、量子重力効果を測定するのは困難です。しかし、最近、ジャック・パーマーなどの物理学者は、主に天体物理学的観測と重力波検出器から量子重力効果を測定する可能性を検討し始めました。この小さなスケールでの変動のエネルギーは、より高いスケールで目に見える空間摂動を引き起こします。

ループ量子重力は、背景に依存しない言語で定式化される。時空は事前に想定されず、理論の状態自体によって構築される。ただし、散乱振幅は -点関数 (相関関数) から導出され、従来の量子場理論で定式化されたこれらは、背景時空の点の関数である。背景に依存しない形式と、与えられた時空における量子場理論の従来の形式との関係は明らかではなく、完全な背景に依存しない理論から低エネルギー量を回復する方法も明らかではない。背景に依存しない形式から理論の - 点関数を導出し、それらを量子一般相対論の標準的な摂動展開と比較し、ループ量子重力が正しい低エネルギー極限を生み出すことを確認したいと考えるだろう。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

この問題に対処する戦略が提案されている。^[62]境界振幅、すなわち有限時空領域上の経路積分を、場の境界値の関数として調べることによってである。^{[63] [64]}従来の量子場の理論では、この境界振幅は明確に定義されており^{[65] [66]}、理論の物理的情報をコード化している。量子重力でも同様であるが、完全に背景に依存しない方法でコード化されている。^[67]すると、-点関数の一般的な共変定義は、-点関数の引数である物理的点間の距離が、検討対象の時空領域の境界上の重力場の状態によって決まるという考えに基づくことができる。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

スピンフォームを使用することで、背景に依存しない散乱振幅の計算が進歩しました。これは、理論から物理的情報を抽出する方法です。重力子散乱振幅の正しい動作を再現し、古典的な重力を回復したという主張がなされています。「私たちは、空間も時間もない世界からニュートンの法則を計算しました。」 – カルロ・ロヴェッリ。

重力の量子理論の中には、スピン 2 の量子場が量子化されて重力子を生じるとするものがある。弦理論では、一般的には古典的に固定された背景の上に量子化された励起から始める。そのため、この理論は背景依存的であると説明される。光子のような粒子と時空形状の変化 (重力子) は、どちらも弦の世界面上の励起として説明される。弦理論の背景依存性は、クォークの世代数を決定するなど、物理的な結果をもたらす可能性がある。対照的に、ループ量子重力は一般相対性理論のように明らかに背景独立であり、弦理論で必要な背景を排除する。ループ量子重力は弦理論のように、量子場理論の非繰り込み発散を克服することも目的としている。

LQG は、背景やその背景に存在する励起を導入しないため、重力子を構成要素として使用しません。代わりに、ある種の半古典的限界または弱場限界を回復し、「重力子」のようなものが再び現れることが期待されます。対照的に、重力子は弦理論で重要な役割を果たし、超弦の最初の (質量のない) 励起レベルに含まれます。

LQG は、3 次元と 4 次元で定式化され、超対称性やカルツァ・クライン余剰次元がないという点で弦理論と異なります。一方、後者は両方が成立することを必要とします。弦理論の超対称性やカルツァ・クライン余剰次元の予測を確認する実験的証拠は、現在までにありません。2003 年の論文「量子重力に関する対話」^[68]で、カルロ・ロヴェッリは、LQG が 4 次元で定式化され、超対称性がないという事実を、ライバルの弦理論や M 理論よりも現在の実験結果と一致する最も簡潔な説明を表す理論の強みと見なしています。弦理論の支持者は、とりわけ、ループ量子重力が困難に陥った適切な限界において、弦理論が一般相対性理論や量子場理論の確立された理論を実証的に再現するという事実をしばしば指摘します。その意味で、弦理論と確立された物理学とのつながりは、数学的レベルではより信頼性が高く、推測的ではないと考えられます。ループ量子重力は宇宙の物質（フェルミオン）については何も語りません。

LQG は 4 次元 (超対称性の有無にかかわらず) で定式化されており、M 理論は超対称性と 11 次元を必要とするため、両者を直接比較することはできませんでした。実験的証拠によってその存在が証明されれば、主流の LQG 形式を高次元超重力、超対称性を持つ一般相対論、およびカルツァ・クライン余剰次元に拡張することは可能です。したがって、これらのアプローチを比較するために、高次元超重力ループ量子化を利用できることが望ましいでしょう。これを試みる一連の論文が発表されています。^{[69] [70] [ 71] [72] [73] [74] [75] [76]}最近では、Thiemann (および卒業生) が、高次元の超重力におけるブラックホールエントロピーの計算に向けて進歩を遂げました。これらの結果を対応する超弦計算と比較することは有用です。^{[77] [78]}

いくつかの研究グループが LQG を他の研究プログラムと組み合わせようと試みてきた。Johannes Aastrup、Jesper M. Grimstrup らによる研究では、非可換幾何学を正準量子重力およびアシュテカー変数と組み合わせ、^[79] Laurent Freidel、Simone Speziale らによる研究では、スピノルおよびツイスター理論をループ量子重力と組み合わせ、^{[80] [81]} Lee Smolin らによる研究では、Verlindeエントロピー重力およびループ重力と組み合わせた。 ^{[82] Stephon Alexander、Antonino Marciano、および Lee Smolin は、重力をカイラルとして記述するアシュケター変数[83]および 4 次元の}ヤン–ミルズ理論場^[84]を用いた LQG で、弱い力のカイラリティの起源を説明しようと試みてきた。サンダンス・ビルソン＝トンプソン、ハケットら^{[85] [86]は}、 LQGの自由度を創発的性質として標準モデルを導入しようと試みた（ノイズのないサブシステムの考え方を採用し、制約システムに対するより一般的な状況でフォティーニ・マルコプロウ＝カラマラらによって導入された概念である）^[87]

さらに、LQGは因果動的三角測量^[88]や漸近安全重力^[89]との哲学的比較、またスピンフォームは群場理論やAdS/CFT対応^[90]との比較が行われている。スモーリンとウェンは、LQGをストリングネット液体、テンソル、スモーリンとフォティーニのマルコプロウ・カラマラ 量子グラフと組み合わせることを提案している。一貫した離散化アプローチがある。また、プルリンとガンビーニは、経路積分と正準アプローチを量子重力に結び付ける枠組みを提供している。彼らは、スピンフォームと正準ループ表現アプローチを調和させるのに役立つかもしれない。クリス・ダストンとマティルデ・マルコリによる最近の研究では、トップスピンネットワークを介したトポロジー変化が導入されている。^[91]

物理学における主要な未解決問題の一部は理論的なものであり、つまり、既存の理論では特定の観察された現象や実験結果を説明できないと思われるものです。その他の未解決問題は実験的なものであり、つまり、提案された理論をテストしたり、現象をより詳細に調査するための実験を作成することが困難であることを意味します。

これらの問題の多くは LQG にも当てはまります。たとえば、

• 量子力学と一般相対性理論は、完全に一貫した理論（おそらく量子場理論）として実現できるでしょうか？
• 時空は基本的に連続的なものでしょうか、それとも離散的なものでしょうか?
• 一貫した理論は、仮想的な重力子によって媒介される力を伴うのでしょうか、それとも時空自体の離散構造の産物（ループ量子重力の場合など）でしょうか?
• 非常に小さいスケールや非常に大きいスケール、あるいは量子重力理論から生じる他の極端な状況において、一般相対性理論の予測からの逸脱はありますか?

LQG 理論は、弦理論と同様に、量子重力の問題に対する 1 つの可能な解決策です。ただし、両者には大きな違いがあります。たとえば、弦理論は、余分な次元やこれまで観測されていない追加の粒子や対称性を仮定することで、すべての既知の力と粒子を単一の実体の現れとして理解する統一にも取り組んでいます。これとは対照的に、LQG は量子論と一般相対性理論のみに基づいており、その範囲は重力相互作用の量子的な側面を理解することに限定されています。一方、LQG の結果は根本的に、空間と時間の性質を根本的に変え、暫定的ではありますが詳細な量子時空の物理的および数学的描像を提供するという点で革新的です。

現在、一般相対論を回復する半古典的な極限は存在しないことが示されており、これは、プランクスケールでの時空の LQG の記述が正しい連続体極限(可能な量子補正を伴う一般相対論によって記述される) を持つことが証明されていないことを意味する。具体的には、理論のダイナミクスはハミルトン制約にエンコードされているが、候補となるハミルトンが存在しない。^[92]その他の技術的な問題には、制約代数と物理的内積ベクトル空間のオフシェル閉包を見つけること、量子場の理論の物質場への結合、摂動論における重力子の再正規化の運命(2 ループを超える紫外線発散につながるファインマン図の1 ループ ファインマン図を参照) などがある。^[92]

ループ量子宇宙論と呼ばれるプログラムの一環として、裸の特異点の観測、^[93]および二重特殊相対論に関する提案はあるものの、ループ量子重力理論が標準モデルや一般相対論ではなされていない予測を行うという実験的観測は存在しない（これは現在の量子重力理論のすべてを悩ませている問題である）。上述の半古典的限界がないため、LQGは一般相対論による予測をまだ再現していない。

別の批判としては、一般相対性理論は有効な場の理論である可能性があり、そのため量子化は基本的な自由度を無視しているというものがあります。

ESAのINTEGRAL衛星は、異なる波長の光子の偏光を測定し、空間の粒度の限界を^10-48m未満、つまりプランクスケールの13桁下に置くことに成功した^{[94] 。 [説明が必要]}

• 人気の書籍:
  • ロドルフォ・ガンビーニとホルヘ・プルリン、「ループ量子重力をみんなに」、World Scientific、2020年。
  • カルロ・ロヴェッリ、「現実は見た目通りではない」、ペンギン、2016年。
  • マーティン・ボヨワルド、『Once Before Time: A Whole Story of the Universe』、 2010年。
  • カルロ・ロヴェッリ「時間とは何か？」空間とは何ですか？、ディ・レンツォ・エディターレ、ローマ、2006年。
  • リー・スモーリン、『量子重力への三つの道』、2001年。
• 雑誌記事:
  • Lee Smolin、「空間と時間の原子」、Scientific American、2004 年 1 月。
  • マーティン・ボヨワルド、「跳ね回る宇宙を追う」、サイエンティフィック・アメリカン、2008年10月。
• より簡単な入門書、解説書、批評書:
  • Abhay Ashtekar、「重力と量子」、電子プリントはgr-qc/0410054（2004）として入手可能。
  • John C. Baezと Javier P. Muniain、「ゲージ場、結び目、量子重力」、World Scientific (1994)。
  • Carlo Rovelli、「量子重力に関する対話」、e-プリントはhep-th/0310077（2003）として入手可能。
  • Carlo RovelliとFrancesca Vidotto、「Covariant Loop Quantum Gravity」、ケンブリッジ (2014)。ドラフトはオンラインで入手可能。
• より高度な入門/解説作品:
  • Carlo Rovelli、『Quantum Gravity』、Cambridge University Press (2004)、草稿はオンラインで入手可能。
  • アベイ・アシュテカール、「正準重力における新たな視点」、ビブリオポリス（1988年）。
  • Abhay Ashtekar、「非摂動正準重力に関する講義」、World Scientific (1991)。
  • ロドルフォ・ガンビーニとホルヘ・プルリン著『ループ、結び目、ゲージ理論、量子重力』ケンブリッジ大学出版局（1996年）。
  • T. ティーマン「LQG – ストリング: ループ量子重力ストリング理論の量子化」(2004)。
  • セラダ、マリアーノ; ゴンザレス、ディエゴ; モンテシノス、マーセド (2016)。「BF 重力」。古典重力と量子重力。33 (21): 213001。arXiv : 1610.02020。Bibcode : 2016CQGra..33u3001C。doi : 10.1088/0264-9381/33/21/213001。S2CID 119605468  。
• トピックレビュー
  • ロヴェッリ、カルロ(2011)。 「ザコパネがループ重力について講義」。arXiv : 1102.3660 [gr-qc]。
  • Rovelli, Carlo (1998). 「ループ量子重力」. Living Reviews in Relativity . 1 (1): 1. arXiv : gr-qc/9710008 . Bibcode :1998LRR.....1....1R. doi : 10.12942/lrr-1998-1 . PMC  5567241. PMID  28937180 .
  • ティエマン、トーマス (2003)。「ループ量子重力に関する講義」。量子重力。物理学講義ノート。第 631 巻。pp. 41–135。arXiv : gr - qc/0210094。Bibcode : 2003LNP...631...41T。doi :10.1007 / 978-3-540-45230-0_3。ISBN 978-3-540-40810-9. S2CID  119151491。
  • Ashtekar, Abhay ; Lewandowski, Jerzy (2004). 「背景に依存しない量子重力: 現状報告」.古典重力と量子重力. 21 (15): R53–R152. arXiv : gr-qc/0404018 . Bibcode :2004CQGra..21R..53A. doi :10.1088/0264-9381/21/15/R01. S2CID  119175535.
  • Carlo Rovelliと Marcus Gaul、「ループ量子重力と微分同相写像不変性の意味」、電子プリントは gr-qc/9910079 として入手可能。
  • Lee Smolin、「背景独立性のケース」、電子プリントは hep-th/0507235 として入手可能。
  • Alejandro Corichi、『Loop Quantum Geometry: A primer』、電子プリントは『Loop Quantum Geometry: A primer』として入手可能。
  • Alejandro Perez、「ループ量子重力とスピンフォーム入門」、電子プリントは「ループ量子重力とスピンフォーム入門」として入手可能。
• 基礎研究論文:
  • ロジャー・ペンローズ、「角運動量：組み合わせ的時空へのアプローチ」 『量子理論とその先』テッド・バスティン編、ケンブリッジ大学出版、1971年。
  • Rovelli, Carlo ; Smolin, Lee (1988). 「結び目理論と量子重力」. Physical Review Letters . 61 (10): 1155–1158. Bibcode :1988PhRvL..61.1155R. doi :10.1103/PhysRevLett.61.1155. PMID  10038716.
  • Rovelli, Carlo ; Smolin, Lee (1990). 「量子一般相対論のループ空間表現」.核物理学. B331 (1): 80–152. Bibcode :1990NuPhB.331...80R. doi :10.1016/0550-3213(90)90019-a.
  • Carlo RovelliとLee Smolin、「量子重力における面積と体積の離散性」、Nucl. Phys.、B442 (1995) 593–622、電子プリントはarXiv :gr-qc/9411005 として入手可能。
  • ティエマン、トーマス (2007)。「ループ量子重力: 内部の視点」。基礎物理学へのアプローチ。物理学講義ノート。第 721 巻。pp. 185–263。arXiv : hep - th/0608210。Bibcode : 2007LNP ...721..185T。doi : 10.1007/978-3-540-71117-9_10。ISBN 978-3-540-71115-5. S2CID  119572847。

• ループ量子重力入門 カルロ・ロヴェッリによるオンライン講義
• カルロ・ロヴェッリとフランチェスカ・ヴィドットによる共変ループ量子重力
• 「ループ量子重力」カルロ・ロヴェッリ著、Physics World、2003年11月
• 量子泡とループ量子重力
• Abhay Ashtekar: 準人気記事。空間、時間、一般相対性理論、LQG に関する初心者向けの優れた人気記事です。
• ループ量子重力: リー・スモーリン
• リー・スモーリンによるループ量子重力オンライン講義
• スピンネットワーク、スピンフォーム、ループ量子重力
• Wired 誌、ニュース:弦理論を超えて
• 2006年4月のサイエンティフィック・アメリカン特別号「時間の問題」には、リー・スモーリンのLQG記事「空間と時間の原子」が掲載されています。
• 2006 年 9 月、エコノミスト誌の記事「ループするループ」
• ガンマ線大面積宇宙望遠鏡: フェルミ ガンマ線宇宙望遠鏡 2008 年 6 月 18 日アーカイブ、Wayback Machineより
• ゼノンと現代科学の出会い。ZK Silagadze 著 Acta Physica Polonica B の記事。
• ビッグバン以前の宇宙は空に痕跡を残したのか？ - 「ループ量子重力」理論に基づくモデルによれば、我々の宇宙より前に存在していた親宇宙が痕跡を残した可能性がある（ニューサイエンティスト、2008年4月10日）
• オダウド、マット（2019年10月15日）。「ループ量子重力の説明」。PBS Space Time – YouTube経由。