代数タイル

代数タイルは、代数的思考の方法や代数の概念を学生がよりよく理解できるようにする数学的な教具です。これらのタイルは、小学校、中学校、高校、大学レベルの入門代数の学生に具体的なモデルを提供することが証明されています。また、刑務所の受刑者の一般教育開発(GED) テストの準備にも使用されています。 ^[1]代数タイルは、代数の概念に対する代数的アプローチと幾何学的アプローチの両方を可能にします。代数タイルは、抽象的な操作以外の代数問題を解く別の方法を学生に提供します。 ^[1]全米数学者協会( NCTM ) は、数学のカリキュラムと評価基準において、代数の規則の暗記と代数の記号操作の強調を減らすことを推奨しています。NCTM 1989基準によると、「モデルを互いに関連付けると、それぞれの理解が向上します」。^[2]

この線形方程式は、 紙の左側に1 つの正のタイルと 8 つの負の単位タイル、右側に 6 つの正の単位タイルを配置してモデル化できます。辺の等価性を維持するには、各アクションを両側で実行する必要があります。 ^[1]たとえば、両側に 8 つの正の単位タイルを追加できます。^[1]左側から単位タイルのペアを 0 個削除すると、正のタイルが 1 つ残ります。右側には 14 個の正の単位タイルがあるため、 となります。 ${\displaystyle x-8=6}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=14}$

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  代数タイルモデル${\displaystyle x-6=2}$
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  代数タイルモデル${\displaystyle x-6+6=2+6}$
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  代数タイルモデル${\displaystyle x=8}$

この方程式は、左側に1つの正のタイルと7つの正の単位タイル、右側に10の正の単位タイルを使用してモデル化できます。両辺に同じ数のタイルを追加するのではなく、両辺から同じ数のタイルを減算することができます。たとえば、両辺から7つの正の単位タイルを削除できます。これにより、左側に1つの正のタイルが残り、右側に3つの正の単位タイルが残ります。^[1]${\displaystyle x+7=10}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x=3}$

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  代数タイルモデル${\displaystyle x+7=10}$
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  代数タイルモデル${\displaystyle x=3}$

代数タイルを使用して単項式を単項式で乗算する場合、生徒はまず長方形を設定します。長方形の長さは 1 つの単項式、次に長方形の幅はもう 1 つの単項式です。これは代数タイルを使用して整数を乗算する場合と同様です。長方形の辺が代数タイルで表されたら、どの代数タイルが長方形を埋めるかを考えます。たとえば、x×x の場合、長方形を完成させる唯一の代数タイルは x ²であり、これが答えです。

代数タイルを使用した二項式の乗算は、単項式の乗算に似ています。^{二項式の乗算は、長さと幅を因数とする長方形を作成することと考えることもできます。[2]}単項式の場合と同様に、長方形の辺を因数として設定し、代数タイルで長方形を埋めていきます。^{[2]代数タイルを使用して}多項式を乗算するこの方法は、面積モデル^{[3]として知られており、}単項式と二項式を互いに乗算する場合にも適用できます。二項式の乗算の例は (2x+1)×(x+2) であり、生徒が最初に行うステップは、長方形の長さを表すために 2 つの正の x タイルと 1 つの正の単位タイルを設定し、次に幅を表すために 1 つの正の x タイルと 2 つの正の単位タイルを用意することです。これらの 2 列のタイルは、特定のタイルで埋めることができる長方形のような空間を作成します。この例の場合、長方形は 2 つの正の x ²タイル、5 つの正の x タイル、および 2 つの正の単位タイルで構成されます。したがって、解は 2x ² +5x+2 です。

代数タイルを使用して因数分解するには、まずタイルのセットを用意し、それを生徒が長方形に組み合わせる必要があります。このため、長方形を作るためにゼロのペアを追加する必要がある場合があります。例として、1 つの正の x ²タイル、3 つの正の x タイル、2 つの正の単位タイルが与えられたとします。生徒は、右上隅に x ^{2タイル、x 2}タイルの右側に 2 つの x タイル、x 2 タイルの下に 1 つの x タイル^{、右下隅に 2 つの単位タイルを配置して長方形を形成します。この長方形の側面に代数タイルを配置すると、}長さには 1 つの正の x タイルと 1 つの正の単位タイルが必要であり、幅には 1 つの正の x タイルと 2 つの正の単位タイルが必要であることがわかります。これは、2 つの因数がと であることを意味します。^{[1]ある意味では、これは}多項式 を掛け合わせる手順の逆です。 ${\displaystyle x+1}$${\displaystyle x+2}$

• Kitt, Nancy A. および Annette Ricks Leitze。「自家製の代数タイルを使用して代数と初等代数の概念を育成する」。MATHEMATICS TEACHER 2000。462-520。
• スタイン、メアリー・ケイ他著『標準に基づいた数学指導の実施』ニューヨーク：ティーチャーズ・カレッジ・プレス、2000年。
• ラーソン、ロナルド E.、代数 1。イリノイ：マクドゥーガル・リテル、1998 年。

• 国立バーチャルマニピュレータ図書館