若いタブロー

数学において、ヤングのタブロー（/ t æ ˈ b l oʊ、ˈ t æ b l oʊ / 、複数形：tableaux）は、表現論やシューベルト計算で有用な組合せオブジェクトである。これは、対称群や一般線型群の群表現を記述し、その特性を研究するため の便利な方法を提供する。

ヤングの表は、 1900年にケンブリッジ大学の数学者アルフレッド・ヤングによって導入されました。 ^{[1] [2]その後、1903年に}ゲオルク・フロベニウスによって対称群の研究に応用されました。その理論は、パーシー・マクマホン、WVD・ホッジ、G・デ・B・ロビンソン、ジャン＝カルロ・ロータ、アラン・ラスクー、マルセル＝ポール・シュッツェンベルガー、リチャード・P・スタンレーを含む多くの数学者によってさらに発展しました。

注: この記事では、Young ダイアグラムとタブローの表示に英語の規則を使用します。

ヤング図(特にドットを使用して表される場合はフェラーズ図とも呼ばれる) は、左揃えの行に並べられたボックスまたはセルの有限の集合であり、行の長さは非増加順である。各行のボックスの数をリストすると、図のボックスの総数である非負の整数nのパーティション λが得られる。ヤング図はλの形状であると言われ、そのパーティションと同じ情報を持つ。あるヤング図を別のヤング図に含めることは、すべてのパーティションの集合上の部分的な順序付けを定義し、これは実際にはヤングの格子と呼ばれる格子構造である。各列のヤング図のボックスの数をリストすると、λの共役または転置パーティションという別のパーティションが得られる。その形状のヤング図は、元の図をその主対角線に沿って反転させることによって得られる。

ヤング図のボックスに整数のペアでラベルを付ける場合、最初のインデックスで図の行を選択し、2 番目のインデックスで行内のボックスを選択するという点については、ほぼ普遍的な合意がある。しかし、これらの図、ひいてはタブローの表示には 2 つの異なる規則が存在する。1 つ目は各行を前の行の下に配置し、2 つ目は各行を前の行の上に積み重ねる。前者の規則は主に英語圏の人々が使用するのに対し、後者はフランス語圏の人々が好むことが多いため、これらの規則をそれぞれ英語表記法、フランス語表記法と呼ぶのが通例である。たとえば、対称関数に関する著書の中で、マクドナルドはフランス語表記法を好む読者に「この本を鏡で逆さまに読む」ようにアドバイスしている (Macdonald 1979、p. 2)。この命名法はおそらく冗談で始まったものであろう。英語表記法は行列に一般的に使用される表記法に対応し、フランス語表記法は直交座標の規則に近い。しかし、フランス語の表記法は、垂直座標を最初に配置することでこの慣例と異なります。右の図は、英語の表記法を使用して、数 10 の分割 (5, 4, 1) に対応するヤング図を示しています。列の長さを測る共役分割は、(3, 2, 2, 2, 1) です。

多くのアプリケーションでは、たとえばジャック関数を定義する場合、ボックスsの腕の長さ a _λ ( s ) を、図 λ 内のsの右側にあるボックスの数（英語表記）として定義すると便利です。同様に、脚の長さl _λ ( s ) は、sの下のボックスの数です。ボックスsのフックの長さは、ボックスs自体を含め、英語表記でsの右側またはs の下にあるボックスの数です。つまり、フックの長さはa _λ ( s ) + l _λ ( s ) + 1 です。

ヤング図表は、ヤング図表のボックスに何らかのアルファベットから取った記号を記入することで得られます。アルファベットは通常、完全に順序付けられた集合である必要があります。元々、そのアルファベットはインデックス付き変数x ₁、x ₂、x ₃ ...の集合でしたが、現在では簡潔にするために数字の集合が使用されるのが一般的です。対称群の表現への元々の適用では、ヤング図表にはn 個の異なるエントリがあり、図表のボックスに任意に割り当てられます。各行と各列のエントリが増加する場合、その図表は標準と呼ばれます。n 個のエントリに対する異なる標準ヤング図表の数は、反転数によって与えられます。

1、1、2、4、10、26、76、232、764、2620、9496、...（OEISのシーケンスA000085）。

他のアプリケーションでは、同じ数字がタブローに複数回出現すること（またはまったく出現しないこと）を許可するのが自然です。エントリが各行に沿って弱く増加し、各列に沿って厳密に増加する場合、タブローは半標準または列厳密 と呼ばれます。タブローに各数字が出現する回数を記録すると、タブローの重みと呼ばれるシーケンスが得られます。したがって、標準のヤング タブローは、重み (1,1,...,1) の半標準タブローとまったく同じであり、nまでのすべての整数が正確に 1 回出現する必要があります。

標準的なヤングの表では、整数 がより下の行に現れる場合、その整数は降下である。降下の合計は、表の主要指数と呼ばれる。 ^[3]${\displaystyle k}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle k}$

この定義にはいくつかのバリエーションがあります。たとえば、行厳密なタブローでは、エントリは行に沿って厳密に増加し、列に沿って弱く増加します。また、エントリが減少するタブローは、特に平面分割の理論で検討されてきました。ドミノタブローやリボンタブローなどの一般化もあり、複数のボックスをグループ化してからエントリを割り当てることができます。

歪んだ形状とは、 λのヤング図がμのヤング図を含むような一対の分割 ( λ、μ ) であり、 λ / μと表記される。λ = ( λ ₁、λ ₂、 ...)かつμ = ( μ ₁、μ ₂、 ...)の場合、図の包含はすべてのiについてμ _i  ≤  λ _iを意味する。歪んだ形状λ / μの歪んだ図は、 λとμのヤング図の集合論的差、すなわちλの図には属するがμの図には属さない正方形の集合である。形状λ / μの歪んだタブローは、対応する歪んだ図の正方形を埋めることで得られる。そのようなタブローは、エントリが各行に沿って弱く増加し、各列に沿って厳密に増加する場合、半標準的であり、さらに 1 から歪んだ図の正方形の数までのすべての数がちょうど 1 回出現する場合は標準的である。分割からヤング図への写像は単射であるが、歪んだ形状から歪んだ図への写像は単射ではない。^[4]そのため、歪んだ図の形状は、塗りつぶされた正方形の集合からのみで常に決定できるわけではない。歪んだ図表の多くの特性は塗りつぶされた正方形のみに依存するが、それらに対して定義された操作の中には、λとμの明示的な知識を必要とするものもある。そのため、歪んだ図表がこの情報を記録しておくことが重要である。2 つの異なる歪んだ図表は、同じ要素で塗りつぶされた同じ正方形の集合を占めながら、形状のみが異なる場合がある。^{[5]ヤング図表は、} μが空分割 (0) (0 の唯一の分割) である歪んだ図表と同一視できる。

正の整数要素を持つ形状λ / μの任意の歪んだ半標準タブローT は、 μから始めて、分割i をシーケンスのさらに後ろに置くことによって、分割のシーケンス (またはヤング図) を生成します。この分割は、 T内の値 ≤ i を含むすべてのボックスを追加することによって μの図から得られる図の 1 つです。この分割は最終的にλに等しくなります 。このようなシーケンス内の連続する形状の任意のペアは、図の各列に最大で 1 つのボックスを含む歪んだ形状です。このような形状は水平ストリップと呼ばれます。この分割のシーケンスはT を完全に決定し、実際に Macdonald (Macdonald 1979、p. 4) が行ったように、(歪んだ) 半標準タブローをそのようなシーケンスとして定義できます。この定義は、歪んだタブローを構成するデータに 分割λとμ を組み込んでいます。

ヤングの盤は、組合せ論、表現論、代数幾何学において数多くの応用があります。ヤングの盤を数えるさまざまな方法が研究され、シュア関数の定義や恒等式につながっています。

シュッツェンベルガーのタカンゲームやロビンソン・シェンステッド・クヌース対応など、タブローに関する多くの組み合わせアルゴリズムが知られています。ラスクーとシュッツェンベルガーは、すべての半標準ヤングタブローの集合上の結合積を研究し、プラクティックモノイド（フランス語：le monoïde plaxique ）と呼ばれる構造を与えました。

表現論では、サイズkの標準ヤングの盤は、k文字上の対称群の既約表現の基底を記述する。一般線型群GL _nの有限次元既約表現の標準単項式基底は、アルファベット {1, 2, ..., n }上の固定形状の半標準ヤングの盤の集合によってパラメータ化される。これは、グラスマン多様体の同次座標環に関するホッジの研究から始まり、ジャンカルロ ロータと共同研究者のデコンチーニとプロチェージ、アイゼンバッドによってさらに研究された、不変理論にとって重要な結果をもたらす。GL _nの既約表現のテンソル積を既約成分に分解すること (とりわけ) を記述するリトルウッド–リチャードソン規則は、特定の歪んだ半標準盤によって定式化される。

代数幾何学への応用は、グラスマン多様体と旗多様体上のシューベルト計算を中心に行われます。特定の重要なコホモロジー類はシューベルト多項式で表すことができ、ヤングの表式で記述することができます。

ヤング図は、複素数上の対称群の既約表現と一対一に対応している。これらは、既約表現が構築されるヤング対称化子を指定する便利な方法を提供する。表現に関する多くの事実は、対応する図から推測できる。以下では、表現の次元の決定と制限された表現の2つの例について説明する。どちらの場合も、表現のいくつかの特性はその図だけを使用して決定できることがわかる。ヤング図は、原子、分子、固体の量子化学研究における対称群の使用に関係している。^{[6] [7]}

ヤング図は、一般線型群 GL _nの既約多項式表現（最大でn個の空でない行を持つ場合）、特殊線型群 SL _nの既約表現（最大でn − 1 個の空でない行を持つ場合）、または特殊ユニタリ群 SU _nの既約複素表現（これも最大でn − 1 個の空でない行を持つ場合）をパラメータ化する。これらの場合、標準のタブローではなく、 nまでのエントリを持つ半標準のタブローが中心的な役割を果たします。特に、表現の次元を決定するのはそれらのタブローの数です。

仕切り10のボックスのフックの長さ= 5 + 4 + 1

nの分割λに対応する対称群S _nの既約表現π _λの次元は、表現の図から得られる異なる標準ヤング図の数に等しい。この数はフックの長さの公式によって計算できる。

形状λのヤング図Y ( λ )のボックスxのフックの長さ hook ( x )は、その右側の同じ行にあるボックスの数と、その下にある同じ列にあるボックスの数に 1 (ボックス自体の数) を加えた数です。フックの長さの公式により、既約表現の次元は、表現の図にあるすべてのボックスのフックの長さの積で割った n !になります。

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {n!}{\prod _{x\in Y(\lambda )}\operatorname {hook} (x)}}.}$

右の図は、分割図10 = 5 + 4 + 1のすべてのボックスのフックの長さを示しています。

${\displaystyle \dim \pi _{\lambda }={\frac {10!}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=288.}$

同様に、 nの分割λ (最大r個の部分を持つ) に対応するGL _rの既約表現W ( λ )の次元は、形状λの半標準ヤング表(1 からrまでの要素のみを含む) の数であり、フック長の公式によって与えられる。

${\displaystyle \dim W(\lambda )=\prod _{(i,j)\in Y(\lambda )}{\frac {r+ji}{\operatorname {hook} (i,j)}},}$

ここで、インデックスiはボックスの行を示し、jはボックスの列を示します。^[8]たとえば、パーティション(5,4,1)の場合、GL ₇の対応する既約表現の次元は次のようになります（ボックスを行でトラバースします）。

${\displaystyle \dim W(\lambda )={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 5}{7\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 1\cdot 5\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 1}}=66528.}$

n個の元を持つ対称群の表現S _{n は}、 n − 1個の元を持つ対称群の表現S _{n −1でもあります。しかし、} S _nの既約表現はS _{n −1}に対して既約ではない場合があります。代わりに、 S _{n −1}に対して既約であるいくつかの表現の直和である場合があります。これらの表現は、制限表現の因数と呼ばれます（誘導表現も参照）。

nの分割λに対応するS _nの与えられた既約表現の制限表現のこの分解を決定する問題は、次のように答えられます。 λ形状の図から取得できるすべてのヤング図の集合を、1 つのボックス (行と列の両方の端にある必要があります) を削除することによって形成します。次に、制限表現は、それらの図に対応するS _{n −1}の既約表現の直和として分解され、各表現は合計で正確に 1 回出現します。

• ロビンソン・シェンステッド通信
• シューア・ワイル双対性

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• FindStat データベースの半標準表エントリ
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