派生語

数学において、導関数は、関数の入力に対する出力の変化の感度を定量化する基本的なツールです。 選択された入力値における単一変数の関数の導関数は、存在する場合、その点における関数のグラフの接線の傾きです。 接線は、その入力値付近の関数の最良の線形近似です。 このため、導関数は、従属変数の瞬間的な変化と独立変数の瞬間的な変化の比である瞬間的な変化率として説明されることがよくあります。^[1]導関数を求めるプロセスは、微分と呼ばれます。

微分には複数の表記法がありますが、最も一般的に使用される 2 つはライプニッツ表記法とプライム表記法です。ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツにちなんで名付けられたライプニッツ表記法は、2 つの微分の比として表されますが、プライム表記法はプライム記号を追加して記述されます。高次の表記法は繰り返し微分を表し、通常、ライプニッツ表記法では微分に上付き文字を追加して表され、プライム表記法では追加のプライム記号を追加して表されます。高次の導関数は物理学に応用できます。たとえば、時間に関する移動物体の位置の 1 次導関数は物体の速度、つまり時間の経過に伴う位置の変化ですが、2 次導関数は物体の加速度、つまり時間の経過に伴う速度の変化です。

導関数は、複数の実変数の関数に一般化できます。この一般化では、導関数は、グラフが（適切な変換後）元の関数のグラフの最良の線形近似となる線形変換として再解釈されます。ヤコビ行列は、独立変数と従属変数の選択によって与えられた基底に関するこの線形変換を表す行列です。これは、独立変数に関する偏導関数で計算できます。複数の変数の実数値関数の場合、ヤコビ行列は勾配ベクトルに簡約されます。

実変数の関数が その定義域の点で微分可能であるとは、その定義域に⁠ ⁠を含む開区間が含まれ、極限が存在すること を意味します 。^{[2]これは、任意の正の}実数⁠ ⁠に対して、となる正の実数が存在し、となる任意の正の実数に対してが定義され、 縦棒は絶対値を表します。これは、極限 の (ε, δ) 定義の例です。^[3]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$ $${\displaystyle L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle h}$${\displaystyle |h|<\delta }$${\displaystyle h\neq 0}$${\displaystyle f(a+h)}$$${\displaystyle \left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,}$$

関数が⁠ ⁠で微分可能、つまり極限が存在する場合、この極限はにおけるの導関数と呼ばれます。 導関数の表記法は複数あります。^[4]におけるの導関数は⁠ ⁠と表記され、 「⁠ ⁠の素数」と読みます。または⁠ ⁠と表記され、「 ⁠ ⁠におけるの ⁠ ⁠に関する導関数」または「⁠ ⁠ ⁠による(または⁠ ⁠ ⁠上での)導関数」と読みます。以下の§ 表記法を参照してください。が定義域のすべての点で導関数を持つ関数である場合、すべての点をにおけるの導関数の値にマッピングすることによって関数を定義できます。この関数は と書かれ、 ⁠ ⁠の導関数と呼ばれます。関数は定義域のすべての点ではなく最大で導関数を持つ場合があります。が定義され、他の場所では定義されていないときはいつでも における値が等しい関数は⁠ ⁠の導関数とも呼ばれます。これは関数ではあるが、その定義域は の定義域よりも小さい可能性がある。^[5]${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle df}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle f'(a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

たとえば、 を二乗関数とします。すると、導関数の定義における商は^[6]です。 最後のステップの除算は である限り有効です。 が⁠ ⁠に近づくほど、この式は値 に近づきます。 極限が存在し、すべての入力に対して極限は です。したがって、二乗関数の導関数は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ $${\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={\frac {(a+h)^{2}-a^{2}}{h}}={\frac {a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}}{h}}=2a+h.}$$${\displaystyle h\neq 0}$${\displaystyle h}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle f'(x)=2x}$

微分の定義における比は、関数⁠ ⁠${\displaystyle f}$のグラフ上の2点、具体的には点とを通る直線の傾きです。を小さくすると、これらの点は互いに近づき、この直線の傾きは極限値、つまり におけるのグラフの接線の傾きに近づきます。言い換えれば、微分は接線の傾きです。^[7]${\displaystyle (a,f(a))}$${\displaystyle (a+h,f(a+h))}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

導関数を考える一つの方法は、関数の出力の微小な変化とその入力の微小な変化の比として考えることである。 ^[8]この直感を厳密にするためには、微小な量を操作するための規則のシステムが必要である。^[9]超実数システムは、無限量と微小な量を扱う方法である。超実数は、任意の有限個の項に対して形式のどの数よりも大きい数を含む実数の拡張である。そのような数は無限であり、その逆数は微小である。超実数を微積分学の基礎に適用することを非標準解析と呼ぶ。これは、微積分学の基本概念である微分や積分を微小数で定義する方法を提供し、それによってライプニッツ記法のに正確な意味を与える。したがって、任意の無限小⁠ ⁠に対しての導関数は、となり、ここで は標準部分関数を表し、これは各有限超実数を最も近い実数に「切り捨てる」。^[10]再び二乗関数を例にとると、 ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1+1+\cdots +1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$$${\displaystyle dx}$${\displaystyle \operatorname {st} }$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)\\&=\operatorname {st} \left(2x+dx\right)\\&=2x.\end{aligned}}}$$

が⁠ ⁠で微分可能である場合、 は においても連続でなければならない。^[11]例として、点を選び、 を⁠ ⁠未満のすべての場合に値 1 を返し、以上のすべての場合に異なる値 10 を返すステップ関数とします。この関数はにおいて導関数を持つことができません。が負の場合、 はステップの低い部分にあるため、 からへの割線は非常に急勾配になります。 がゼロに近づくにつれて、傾きは無限大に近づきます。 が正の場合、 はステップの高い部分にあるため、 からへの割線の傾きは 0 になります。その結果、割線はどの傾きにも近づかないため、差分商の極限は存在しません。ただし、関数がある点で連続していても、そこでは微分可能でない場合があります。たとえば、によって与えられる絶対値関数は⁠ ⁠で連続ですが、そこでは微分可能ではありません。 が正の場合、0 から への割線の傾きは1 です。が負の場合、 からへの割線の傾きは⁠ ⁠です。^[12] これは、 におけるグラフの「折れ線」または「尖点」として図で見ることができます。滑らかなグラフを持つ関数であっても、その接線が垂直な点では微分可能ではありません。たとえば、 で与えられる関数はでは微分可能ではありません。まとめると、導関数を持つ関数は連続ですが、導関数を持たない連続関数もあります。^[13]${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a+h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a+h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a+h}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a+h}$${\displaystyle f(x)=|x|}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle h}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f(x)=x^{1/3}}$${\displaystyle x=0}$

実際に登場する関数のほとんどは、すべての点またはほぼすべての点で導関数を持ちます。微積分学の歴史の初期には、多くの数学者が連続関数はほとんどの点で微分可能であると仮定していました。^[14]緩やかな条件下（たとえば、関数が単調関数またはリプシッツ関数の場合）では、これは当てはまります。しかし、1872 年にワイエルシュトラスは、どこでも連続だがどこでも微分不可能な関数の最初の例を発見しました。この例は現在、ワイエルシュトラス関数として知られています。^[15] 1931 年に、シュテファン・バナッハは、ある点で導関数を持つ関数の集合は、すべての連続関数の空間内の貧弱な集合であることを証明しました。非公式には、これは、ランダムな連続関数が 1 点でも導関数を持つことはほとんどないことを意味します。^[16]

関数の導関数を表す一般的な方法の 1 つに、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツが1675 年に導入したライプニッツ記法があります。これは、導関数を 2 つの微分、たとえば⁠ ⁠ ⁠の商として表します。^{[17] [18]}この記法は、方程式を従属変数 と独立変数の間の関数関係として捉える場合に、今でもよく使用されます。最初の導関数は⁠ ⁠で表され、「 ⁠ ⁠に関するの導関数」と読みます。^[19]この導関数は、関数への微分演算子の適用として扱うこともできます。より高次の導関数は、 の -次導関数の記法を使用して表されます。これらは、微分演算子の多重適用の略語です。たとえば、 ^[20]合成関数の導関数は連鎖律を使って表現できる： [ 21 ^]${\displaystyle dy}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \textstyle {\frac {dy}{dx}}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}f(x).}$${\textstyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle y=f(x)}$${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}f(x){\Bigr )}.}$${\displaystyle u=g(x)}$${\displaystyle y=f(g(x))}$${\textstyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.}$

微分法のもう一つの一般的な表記法は、関数 ⁠ ⁠ の記号にプライム記号を使用することです。これは、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュにちなんでプライム表記法として知られています。^[22] 1 次導関数は⁠ ⁠と書かれ、「 ⁠ ⁠ のプライム」または ⁠ ⁠ と書かれ、「⁠ ⁠プライム」と読みます。[ ^23]同様に、2 次導関数と 3 次導関数はそれぞれ ⁠ ⁠と⁠ ⁠と書くことができます。^[24]この点を超える高次の導関数の番号を示すために、著者によっては上付きローマ数字 を使用する一方、他の著者は ⁠ ⁠や⁠ ⁠のように番号を括弧内に入れます。^{[25]後者の表記法は、} ⁠ ⁠の⁠ ⁠番目の導関数の表記法に一般化されます。^[20]${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f''}$${\displaystyle f'''}$${\displaystyle f^{\mathrm {iv} }}$${\displaystyle f^{(4)}}$${\displaystyle f^{(n)}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$

ニュートン表記法またはドット表記法では、時間微分を表すために記号の上にドットが置かれます。 が⁠ ⁠の関数である場合、1 次および 2 次微分はそれぞれ ⁠ ⁠と⁠ ⁠と表記できます。 この表記法は、時間または弧の長さに関する微分にのみ使用されます。 これは通常、物理学および微分幾何学の微分方程式で使用されます。^[26]ただし、ドット表記法は高次の微分（次数 4 以上）では扱いにくくなり、複数の独立変数を扱うことができません。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\dot {y}}}$${\displaystyle {\ddot {y}}}$

もう一つの表記法はD 表記法で、これは微分演算子を記号⁠ ⁠${\displaystyle D}$で表します。^[20] 1 次導関数は と書かれ、高次の導関数は上付き文字で書かれるため、- 次導関数は⁠ ⁠となります。この表記法はオイラー表記法と呼ばれることもありますが、レオンハルト・オイラーはこの表記法を使用しておらず、ルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガストがこの表記法を導入したようです。^[27]偏微分を表すには、 で微分する変数を下付き文字で示します。たとえば、関数⁠ ⁠の場合、 に対する偏微分は ⁠ ⁠または⁠ ⁠と書くことができます。高次の偏微分は、 ⁠ ⁠や⁠ ⁠のように上付き文字または複数の下付き文字で示すことができます。^[28]${\displaystyle Df(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D^{n}f(x)}$${\displaystyle u=f(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle D_{x}u}$${\displaystyle D_{x}f(x,y)}$${\textstyle D_{xy}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$${\displaystyle \textstyle D_{x}^{2}f(x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y){\Bigr )}}$

原理的には、関数の導関数は定義から差分商を考慮し、その極限を計算することで計算できます。いくつかの単純な関数の導関数が分かれば、より複雑な関数の導関数を単純な関数から求める規則を使用して、他の関数の導関数をより簡単に計算できます。この導関数を求めるプロセスは微分化として知られています。^[29]

以下は最も一般的な基本関数の導関数の規則である。ここで、は実数、は自然対数の底で、およそ2.71828である。^[30]${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$

• べき乗の導関数:

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{a}=ax^{a-1}}$

• 指数関数、自然対数関数、一般底対数関数:

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ln(a)}$、 のために${\displaystyle a>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}}$、 のために${\displaystyle x>0}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}}$、 のために${\displaystyle x,a>0}$

• 三角関数:

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)}$

• 逆三角関数:

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$、 のために${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$、 のために${\displaystyle -1<x<1}$

  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

とが関数であるとすると、以下は基本関数の導関数から関数の導関数を導く最も基本的な規則の一部である。 ^[31]${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

• 定数ルール: が定数である場合、すべての⁠ ⁠に対して、 ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

  ${\displaystyle f'(x)=0.}$

• 和則:

  ${\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'}$すべての関数およびすべての実数および⁠ ⁠に対して。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

• 製品ルール:

  ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$すべての関数および⁠ ⁠に対して成り立ちます。特別なケースとして、この規則には、定数規則によりが定数である場合に成り立つという事実が含まれます。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha 'f=0\cdot f=0}$

• 商のルール:

  ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$g ≠ 0である すべての関数およびすべての入力に対して。${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

• 合成関数の連鎖律: ⁠ ⁠${\displaystyle f(x)=h(g(x))}$ならば、

  ${\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}$

によって 与えられる関数の導関数は 、ここで 2 番目の項は連鎖律を使用して計算され、3 番目の項は積の法則を使用して計算されました。基本関数、、、、およびの既知の導関数と定数 も使用されました。 ${\displaystyle f(x)=x^{4}+\sin \left(x^{2}\right)-\ln(x)e^{x}+7}$$${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln(x){\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos \left(x^{2}\right)-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x^{4}}$${\displaystyle \sin(x)}$${\displaystyle \ln(x)}$${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$${\displaystyle 7}$

高次の導関数は、関数を繰り返し微分した結果です。 が微分可能関数であるとすると、 の導関数は1 次導関数で、 ⁠ ⁠ と表記されます。の導関数は2 次導関数で、⁠ ⁠と表記され、 の導関数は3次導関数で、⁠ ⁠と表記されます。 このプロセスを続けると、存在する場合、⁠ ⁠番目の導関数は⁠ ⁠番目の導関数の導関数、つまり⁠ ⁠次の導関数になります。 上で説明したように、関数の導関数の一般化は⁠ ⁠と表記できます。^[32]連続する導関数 を持つ関数は⁠ ⁠ 回微分可能と呼ばれます。 -番目の導関数が連続する場合、関数は微分可能性クラス⁠ ⁠であると言われます。^{[33]無限の数の導関数を持つ関数は}無限微分可能または滑らかと呼ばれます。^[34]任意の多項式関数は無限微分可能です。繰り返し導関数をとると最終的には定数関数となり、その関数のそれ以降の導関数はすべてゼロになる。^[35]${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f''}$${\displaystyle f''}$${\displaystyle f'''}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{(n)}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}}$

高階微分の応用例の1つは物理学です。関数が時間における物体の位置を表すとします。その関数の1次微分は物体の時間に対する速度、2次微分は物体の時間に対する加速度、 ^[29]、3次微分はジャークです。 [ ^36]

実変数のベクトル値関数は、 実数をあるベクトル空間のベクトルに送信します。ベクトル値関数は、その座標関数 に分割することができ、つまり となります。これには、たとえば、または内のパラメトリック曲線が含まれます。座標関数は実数値関数であるため、上記の導関数の定義が適用されます。 の導関数は、座標が座標関数の導関数である接線ベクトルと呼ばれるベクトルとして定義されます。つまり、^[37] 極限が存在する場合です。分子の減算は、スカラーではなくベクトルの減算です。 の導関数が⁠ ⁠のすべての値に対して存在する場合、 は別のベクトル値関数です。^[37]${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t)}$${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1}(t),y_{2}(t),\dots ,y_{n}(t))}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ $${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {y} (t+h)-\mathbf {y} (t)}{h}},}$$${\displaystyle \mathbf {y} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {y} '}$

関数は複数の変数に依存することがあります。複数の変数を持つ関数の偏微分は、他の変数を一定に保ったまま、それらの変数のうちの1つに関して微分したものです。偏微分はベクトル解析と微分幾何学で使用されます。通常の微分と同様に、複数の表記法があります。関数の変数に関する偏微分は、次のようにさまざまな方法で表されます 。${\displaystyle f(x,y,\dots )}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle f_{x}}$、、、、 または、${\displaystyle f'_{x}}$${\displaystyle \partial _{x}f}$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$

他の可能性もある。^[38]これは、関数の-方向の変化率と考えることができる。 ^[39]ここで、 ∂ は丸められたdであり、偏微分記号と呼ばれる。文字dと区別するために、∂ は「ディー」ではなく「ダー」、「デル」、または「パーシャル」と発音されることがある。^[40]たとえば、⁠ ⁠とすると、関数 の両変数およびに関する偏微分はそれぞれ次のようになる。 一般に、点における方向の関数の偏微分は次のように定義される。^[41]${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y,\qquad {\frac {\partial f}{\partial y}}=x+2y.}$$${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})}{h}}.}$$

これは、複数の実変数の関数の研究の基本です。をそのような実数値関数とします。に対するすべての偏微分が点⁠ ⁠で定義されている場合、これらの偏微分は、におけるの勾配 と呼ばれるベクトルを定義します 。 がある領域のすべての点で微分可能である場合、勾配は点をベクトル にマップするベクトル値関数です。したがって、勾配はベクトル場を決定します。^[42]${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$$${\displaystyle \nabla f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a_{1},\ldots ,a_{n}),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})\right),}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})}$${\displaystyle \nabla f(a_{1},\dots ,a_{n})}$

が⁠ ⁠上の実数値関数である場合、 の偏微分は座標軸の方向におけるその変化を測定します。たとえば、 がおよび⁠ ⁠の関数である場合、その偏微分はおよび方向におけるの変化を測定します。ただし、 ⁠ ⁠対角線に沿った方向など、他の方向におけるの変化を直接測定するものではありません。これらは方向微分を使用して測定されます。ベクトル⁠ ⁠が与えられた場合、点 ⁠ におけるの方向の方向微分は次のようになります。^[43]${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y=x}$${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

のすべての偏微分が存在し、 ⁠ ⁠で連続である場合、それらは⁠ ⁠ 方向の方向微分を次の式で決定します。^[44]${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle D_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\sum _{j=1}^{n}v_{j}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}.}$$

が の開部分集合から⁠ ⁠への関数である場合、の任意の方向への方向微分は、その点およびその方向における への最良の線形近似です。しかし、⁠ ⁠の場合には、単一の方向微分では の挙動の完全な図を与えることはできません。全微分は、一度にすべての方向を考慮することにより完全な図を与えます。つまり、⁠ ⁠から始まる任意のベクトルに対して、線形近似式が成り立ちます。^[45] 一変数微分と同様に、は、この近似の誤差が可能な限り小さくなるように選択されます。におけるの全微分は、次の式を満たす唯一の線形変換です。^[45] ここでは⁠ ⁠のベクトルであるため、分母のノルムは 上の標準の長さです。しかし、は⁠ ⁠のベクトルであり、分子のノルムは 上の標準の長さです。^{[45] が}⁠ ⁠から始まるベクトルである場合、 は によるのプッシュフォワードと呼ばれます。^[46]${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle f(\mathbf {a} +\mathbf {v} )\approx f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} .}$$${\displaystyle f'(\mathbf {a} )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ $${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to 0}{\frac {\lVert f(\mathbf {a} +\mathbf {h} )-(f(\mathbf {a} )+f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} )\rVert }{\lVert \mathbf {h} \rVert }}=0.}$$${\displaystyle \mathbf {h} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {h} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle f}$

全微分が⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {a} }$で存在する場合、 のすべての偏微分と方向微分は⁠ ⁠で存在し、すべての⁠ ⁠に対して、は⁠ ⁠方向の の方向微分です。 が座標関数を使用して書かれ、 ⁠ ⁠となる場合、全微分は偏微分を使用して行列として表すことができます。 この行列はにおけるのヤコビ行列と呼ばれます。^[47]${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle f'(\mathbf {a} )\mathbf {v} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {a} }$ $${\displaystyle f'(\mathbf {a} )=\operatorname {Jac} _{\mathbf {a} }=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{ij}.}$$

導関数の概念は、他の多くの設定に拡張できます。共通点は、ある点における関数の導関数が、その点における関数の 線形近似として機能することです。

• 微分に関する重要な一般化は、複素変数の複素関数、例えば複素数 (の領域) から⁠ ⁠への関数に関するものである。このような関数の微分の概念は、定義で実変数を複素変数に置き換えることによって得られる。^{[48] を}複素数を⁠ ⁠と書くことで ⁠ ⁠と同一視する場合、からへの微分可能な関数は、からへの関数として確かに微分可能である(その偏微分がすべて存在するという意味で)。しかし、その逆は一般には真ではない。複素微分は、実微分が複素線型である場合にのみ存在し、これにより、コーシー–リーマン方程式と呼ばれる偏微分間の関係が課される–正則関数を参照。^[49]${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x+iy}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• もう一つの一般化は、微分可能または滑らかな多様体間の関数に関するものです。直感的に言えば、そのような多様体は、各点の近くでその接空間と呼ばれるベクトル空間によって近似できる空間です。典型的な例は、⁠ ⁠の滑らかな表面です。 ⁠ ⁠内の点における多様体間の（微分可能な）写像の微分は、 ⁠ ⁠ における の接空間から ⁠ ⁠ における の接空間への線型写像です。微分関数は、 ⁠ ⁠の接束間の写像になります。この定義は微分幾何学で使用されます。^[50]${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$
• 微分はバナッハ空間のようなベクトル空間間の写像に対しても定義することができ、その一般化はガトー微分とフレシェ微分である。^[51]
• 古典的な微分法の欠点の1つは、非常に多くの関数が微分不可能なことである。しかし、微分法の概念を拡張して、すべての連続関数と他の多くの関数を弱微分法と呼ばれる概念を使用して微分できるようにする方法がある。その考え方は、連続関数を超関数空間と呼ばれるより大きな空間に埋め込み、関数が「平均的に」微分可能であることだけを要求するというものである。^[52]
• 微分の性質は、代数学や位相幾何学における多くの類似のオブジェクトの導入と研究に影響を与えてきた。一例として微分代数が挙げられる。ここでは、環、イデアル、体など、抽象代数のいくつかのトピックの導出から構成される。^[53]
• 離散的には微分法に相当するものは差分である。微分積分学の研究は時間スケールの差分積分学と統合されている。^[54]
• 算術微分は素因数分解によって整数に対して定義される関数である。これは積の法則との類似性がある。^[55]

• 共変微分
• 導出
• 外部微分
• 機能的派生語
• 積分
• リー微分