有効質量（ばね-質量系）

実際のばね-質量系では、ばねは無視できない質量を持つ。${\displaystyle m}$バネのすべての長さが同じ速度で動くわけではないため${\displaystyle v}$吊り下げられた質量として${\displaystyle M}$（例えば、質量と完全に反対の点）${\displaystyle M}$バネのもう一方の端では、全く動いていない）、その運動エネルギーは等しくない${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$。 そのような、${\displaystyle m}$単純に追加することはできません${\displaystyle M}$振動周波数とバネの有効質量を決定するために、${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }}$は、${\displaystyle M}$システムの動作を正確に予測するため。

均一な線密度を持つ重いバネ（非理想バネ）を使用した場合のバネ-質量系におけるバネの実効質量は$\textstyle {\frac {1}{3}}}$ばねの質量に依存し、ばね-質量系の方向とは無関係です（つまり、水平、垂直、斜めの系はすべて同じ有効質量を持ちます）。これは、外部加速度が平衡点周りの運動周期に影響を与えないためです。

ばねの有効質量は、その運動エネルギーを求めることで決定できます。ばねの微小質量要素の場合$\displaystyle \mathrm {d} m}$ポジションで${\displaystyle s}$（ダミー変数）速度で移動する${\displaystyle u(s)}$その運動エネルギーは次のようになります。 $${\displaystyle \mathrm {d} K={\tfrac {1}{2}}\mathrm {d} m\,u^{2}}$$

ばねの全運動エネルギーを求めるには、すべての質量要素の運動エネルギーを合計する必要があり、次の積分が必要です。 $${\displaystyle K=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m}$$

均一な伸びを仮定すると、ばねの質量分布は均一であり、${\displaystyle \mathrm {d} m={\frac {m}{y}}\mathrm {d} s}$、 どこ${\displaystyle y}$は速度測定時のバネの長さです。したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}K&=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\left({\frac {m}{y}}\right)\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}u^{2}\mathrm {d} s\end{aligned}}}$$

ばねの各質量要素の速度は、それが取り付けられている位置からの長さに正比例します（ブロックに近いほど速度が大きくなり、天井に近いほど速度が小さくなります）。${\displaystyle u(s)={\frac {s}{y}}v}$そこから次のことが導き出される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y}}\int _{0}^{y}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\int _{0}^{y}s^{2}\,\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{y^{3}}}v^{2}\left[{\frac {s^{3}}{3}}\right]_{0}^{y}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {m}{3}}v^{2}\end{aligned}}}$$

予想された元の運動エネルギー式と比較すると${\textstyle {\frac {1}{2}}mv^{2},}$この場合のバネの実効質量は${\textstyle {\frac {m}{3}}}$この結果は、レイリー卿にちなんでレイリー値として知られています。

バネの重力ポテンシャルエネルギーを求めるには、同様の手順に従います。 $${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,gs=\int _{0}^{y}{\frac {m}{y}}gs\;\mathrm {d} s\\[1ex]&=mg\,{\frac {1}{y}}\int _{0}^{y}s\;\mathrm {d} s=mg\,{\frac {1}{y}}\left[{\frac {s^{2}}{2}}\right]_{0}^{y}\\[1ex]&={\frac {m}{2}}gy\end{aligned}}}$$

この結果を用いると、システムの全エネルギーは変位を用いて表すことができる。${\displaystyle y}$バネが伸びていない状態から（上向きを正とし、一定のポテンシャル項を無視し、ポテンシャルエネルギーの原点を${\displaystyle y=0}$):

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m}{3}}v^{2}+{\tfrac {1}{2}}Mv^{2}+{\tfrac {1}{2}}ky^{2}+{\tfrac {1}{2}}mgy+Mgy\\[1ex]&={\tfrac {1}{2}}\left(M+{\tfrac {m}{3}}\right)v^{2}+{\tfrac {1}{2}}ky^{2}+\left(M+{\tfrac {m}{2}}\right)gy\end{aligned}}}$$

ご了承ください${\displaystyle g}$ここに、ばねに沿った重力加速度を示します。この式を時間で微分すると、運動方程式は次のようになります。

$${\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-ky-\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}$$

平衡点${\displaystyle y_{\mathrm {eq} }}$加速度をゼロにすることで求めることができる。

$${\displaystyle y_{\mathrm {eq} }=-{\frac {\left(M+{\frac {m}{2}}\right)g}{k}}}$$

定義する${\displaystyle {\bar {y}}=y-y_{\mathrm {eq} }}$運動方程式は次のようになる。

$${\displaystyle \left(M+{\frac {m}{3}}\right)\ a=-k{\bar {y}}=-k(y-y_{\mathrm {eq} })}$$

これは、角周波数を持つ単振動子の式です。 $${\displaystyle \omega ={\sqrt {{\frac {k}{M+{\frac {m}{3}}}}\,}}}$$したがって、理想的なバネ よりも角周波数が小さい。また、その周期は次式で与えられる。 $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {{\frac {M+{\frac {m}{3}}}{k}}\,}}}$$ これは理想的なバネよりも大きい。どちらの式も極限では理想的なケースに帰着する。${\displaystyle {\frac {m}{M}}\to 0}$。

したがって、ばねの実効質量に荷重の質量を加えることで、標準式で使用する必要のあるシステムの「実効総質量」が得られます。${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$振動周期を決定するため。

最後に、初期値問題の解は次のとおりです。 $${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\ddot {y}}&=&-\omega ^{2}(y-y_{\mathrm {eq} })\\{\dot {y}}(0)&=&{\dot {y}}_{0}\\y(0)&=&y_{0}\end{matrix}}\right.}$$ 以下のように与えられます。 $${\displaystyle y(t)=(y_{0}-y_{\text{eq}})\cos(\omega t)+{\frac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\sin(\omega t)+y_{\text{eq}}}$$ これは単振動です。

上記のように、ばねの実効質量は、ばねに沿った重力加速度などの「外部」要因に依存しません。実際、不均一な重いばねの場合、実効質量は線密度のみに依存します。${\displaystyle \lambda (s)}$その全長に沿って：

$${\displaystyle {\begin{aligned}K&=\int \limits _{\mathrm {spring} }{\frac {1}{2}}u^{2}\;\mathrm {d} m\\&=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}u^{2}\!(s)\,\lambda (s)\;\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{y}{\frac {1}{2}}\left({\frac {s}{y}}v\right)^{2}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\\&={\frac {1}{2}}\left(\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)v^{2}\end{aligned}}}$$

したがって、バネの実効質量は次のようになります。

$${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\,\mathrm {d} s}$$

この結果はまた、${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }\leqslant m}$、 と${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}$これは、質量が支持点から最も遠い端にのみ集中している非物理的なバネの場合に発生する現象である。

考慮すべき特別なケースは3つあります。

• ${\displaystyle \lambda (s)=0}$これはバネに質量がない理想的なケースであり、${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m=0}$。
• ${\displaystyle \lambda (s)={\frac {m}{y}}}$は均質なケース（均一なバネ）であり、方程式にレイリーの値が現れる。${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {m}{3}}}$。
• ${\displaystyle \lambda (s)=m\,\delta (s-y)}$、 どこ${\displaystyle \delta (x)}$はディラックのデルタ関数であり、すべての質量が に位置する極端なケースです。${\displaystyle s=y}$、 その結果${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }=m}$。

対応するラグランジアンを求めるには、事前にバネの重力ポテンシャルエネルギーを求める必要がある。 $${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int \limits _{\mathrm {spring} }\mathrm {d} m\,g\,s\\&=\int _{0}^{y}\lambda (s)\,g\,s\;\mathrm {d} s\\&=\left(\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y\end{aligned}}}$$

積分の単調性により、次のことが成り立つ。 $${\displaystyle 0\leqslant m_{\mathrm {eff} }=\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\leqslant \int _{0}^{y}\lambda (s)\;\mathrm {d} s=m}$$

ラグランジアンは次のようになる。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}(y,{\dot {y}})={\frac {1}{2}}\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s^{2}}{y^{2}}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right){\dot {y}}^{2}-{\frac {1}{2}}ky^{2}-\left(M+\int _{0}^{y}{\frac {s}{y}}\lambda (s)\;\mathrm {d} s\right)g\,y}$$

上記の計算では、ばねの剛性係数はその長さに依存しないと仮定しています。しかし、実際のばねではそうではありません。${\displaystyle {\frac {M}{m}}}$変位は弾性変形を引き起こすほど大きくはない。実際、${\displaystyle {\frac {M}{m}}\ll 1}$有効質量は${\displaystyle m_{\mathrm {eff} }={\frac {4}{\pi ^{2}}}m}$上田淳一と貞本義郎は^{[ 1 ]}、${\displaystyle {\frac {M}{m}}}$増加${\displaystyle 7}$垂直ばね-質量系におけるばねの実効質量はレイリーの値よりも小さくなる。${\displaystyle {\frac {m}{3}}}$そして最終的には約負の値に達する${\displaystyle {\frac {M}{m}}\approx 38}$この有効質量の予期せぬ挙動は、弾性残効（荷重が取り除かれた後もバネが元の長さに戻らない現象）によって説明できる。

振り子の微分方程式を考えてみましょう。

$${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\omega _{0}}^{2}\sin \theta =0}$$

どこ${\displaystyle \omega _{0}}$は振動の固有振動数（および小さな振動の場合は角振動数）です。${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}}$は${\displaystyle {\frac {g}{\ell }}}$理想的な振り子では、${\displaystyle {\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}}$複合振り子では、${\displaystyle \ell }$は振り子の長さです。${\displaystyle m}$はシステム全体の質量であり、${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$支点からの距離${\displaystyle O}$（振り子が吊り下げられている点）から振り子の重心まで、そして${\displaystyle I_{O}}$これは、支点を通る軸に関するシステムの慣性モーメントです。

一方の端から揺れる均質な棒と、もう一方の端に取り付けられたおもりからなるシステムを考えます。${\displaystyle \ell }$棒の長さは、${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$棒の質量、そして${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$おもりの質量、したがって線密度は次のように与えられる。${\displaystyle \lambda (s)=m_{\mathrm {bob} }\delta (s-\ell )+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{\ell }}}$、 と${\displaystyle \delta (\cdot )}$ディラックのデルタ関数。システムの全質量は${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}$調べるには${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$解決しなければならない${\displaystyle (m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} })r_{\mathrm {CM} }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}}$重心の定義により（これは一般の場合には積分方程式になります）、${\displaystyle \int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,{\big (}s-r_{\mathrm {CM} })\;\mathrm {d} s=0}$（ただし、同次の場合、これは以下のように単純化される）その解は以下で与えられる。${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {1}{2}}m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }}}\ell }$システムの慣性モーメントは、2 つの慣性モーメントの合計です。${\displaystyle I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}$（一般の場合、積分方程式は次のようになる）${\displaystyle I_{O}=\int _{0}^{\ell }\lambda (s)\,s^{2}\;\mathrm {d} s}$したがって、式は次のように簡略化できます。

$${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\mathrm {CM} }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}}$$

最終的な式は、おもりの質量と、${\displaystyle m_{\mathrm {bob} }}$棒の質量、${\displaystyle m_{\mathrm {rod} }}$しかし、その比率に基づいてのみ、${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}$また、初期状態ではバネ-質量系と同じ構造、つまり理想的な場合と補正値（レイリー値）の積になっていることにも注意してください。${\displaystyle {\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1}$最後の補正項は次のように近似できます。

$${\displaystyle {\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}\approx 1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}-{\frac {1}{18}}\left({\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)^{2}+\cdots }$$

両方の結果を比較してみましょう。

• ばね-質量系の場合：$${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {k}{m_{\mathrm {bob} }}} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {spring} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}}$$
• 振り子の場合：$${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=\underbrace {\frac {g}{\ell }} _{\text{Ideal case}}\underbrace {\frac {1}{1+{\frac {1}{3}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}}} _{\text{Correction with Rayleigh's value}}\underbrace {\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\right)} _{\text{Rest of the correction}}}$$

• 単振動（SHM）の例。
• 質量が減少

• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1405121418180 2012年2月16日にWayback Machineにアーカイブされました
• http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1509031308350 2012年2月16日にWayback Machineにアーカイブされました
• https://web.archive.org/web/20110929231207/http://hk.knowledge.yahoo.com/question/article?qid=6908120700201
• https://web.archive.org/web/20080201235717/http://www.goiit.com/posts/list/mechanics-effective-mass-of-spring-40942.htm
• http://www.juen.ac.jp/scien/sadamoto_base/spring.html
• 「振動するバネの実効質量」米国物理学ジャーナル、38、98（1970）
• 「振動するバネの実効質量」『ザ・フィジックス・ティーチャー』45巻、100ページ（2007年）