コンプトン波長

コンプトン波長は粒子の量子力学的特性であり、その粒子の静止エネルギーと同じエネルギーを持つ光子の波長として定義されます（質量エネルギー等価性を参照）。これは、アーサー・コンプトンが電子による光子の散乱（コンプトン散乱と呼ばれるプロセス）を説明する際に1923年に導入されました。

質量を持つ粒子の標準コンプトン波長λは、 hがプランク定数、cが光速であるとして次の ように表される 。対応する周波数fは次のように表され 、角周波数ωは次のように表される。 ${\displaystyle m}$$${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mc}},}$$$${\displaystyle f={\frac {mc^{2}}{h}},}$$$${\displaystyle \omega ={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.}$$

CODATA 2022の電子のコンプトン波長の値は2.426 310 235 38 (76) × 10 ⁻¹²  m . ^[1]他の粒子は異なるコンプトン波長を持っています。

換算コンプトン波長 ƛ (棒グラフのλ、以下では と表記) は、コンプトン波長を2 πで割ったものとして定義されます。 ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {\lambda}}={\frac {\lambda}{2\pi}}={\frac {\hbar}{mc}},}$

ここでħは換算プランク定数です。

逆換算コンプトン波長は量子スケールにおける質量の自然な表現であり、量子力学の基本方程式の多くに現れます。^[要出典]換算コンプトン波長は、自由粒子の 相対論的クライン・ゴルドン方程式に現れます。$${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .}$$

これはディラック方程式に現れます（以下はアインシュタインの総和規則を採用した明示的に共変な形式です）。 $${\displaystyle -i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.}$$

シュレーディンガー方程式には縮約コンプトン波長も存在しますが、方程式の従来の表現ではそれがすぐには分かりません。以下は、水素のような原子内の電子に対するシュレーディンガー方程式の従来の表現です。 $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .}$$

を で割り、微細構造定数で書き直すと、次の式が得られます。 ${\displaystyle \hbar c}$$${\displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\bar {\lambda }}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .}$$

縮約コンプトン波長は量子スケールでの質量の自然な表現であり、クライン・ゴルドン方程式やシュレーディンガー方程式などの慣性質量に関する方程式で使用されます。^{[2] : 18–22}

質量と相互作用する光子の波長に関する方程式では、非縮小コンプトン波長を使用します。質量mの粒子の静止エネルギーはE = mc ²です。この粒子のコンプトン波長は、同じエネルギーの光子の波長です。周波数 fの光子の場合、エネルギーは次のように与えられ 、これをλ について解くとコンプトン波長の式が得られます。 $${\displaystyle E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},}$$

コンプトン波長は、量子力学と特殊相対性理論を考慮すると、粒子の位置を測定する際の基本的な制限を表しています。^[3]

この制限は粒子の質量mに依存します。その仕組みを理解するには、光を粒子に反射させることで粒子の位置を測定できることに注目してください。ただし、位置を正確に測定するには短波長の光が必要です。短波長の光は高エネルギーの光子で構成されています。これらの光子のエネルギーがmc ^{2 を}超えると、位置を測定中の粒子に当たったときに、衝突によって同じタイプの新しい粒子を作成するのに十分なエネルギーが発生する可能性があります。^[要出典]これにより、元の粒子の位置に関する疑問は無意味になります。

この議論は、換算コンプトン波長が、粒子の生成と消滅を記述できる量子場理論が重要になる限界値であることも示している。上記の議論は、次のようにもう少し正確にすることができる。粒子の位置を精度Δ x以内で測定したいとしよう。位置と運動量の不確定性関係は 、粒子の運動量の不確定性は 以下を満たすと述べている 。$${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},}$$$${\displaystyle \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.}$$

運動量とエネルギーの相対論的関係 E ² = ( pc ) ² + ( mc ² ) ²を用いると、Δ p がmc を超えるとエネルギーの不確実性はmc ²より大きくなり、これは同じ種類の別の粒子を生成するのに十分なエネルギーです。しかし、このより大きなエネルギーの不確実性を排除する必要があります。物理的には、これは各粒子の運動量の不確実性をmc以下に保つために 1 つ以上の追加粒子を生成することによって排除されます。特に、不確実性が最小となるのは、散乱光子の限界エネルギーが入射観測エネルギーに等しいときです。したがって、 Δ xには基本的な最小値があります。 $${\displaystyle \Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).}$$

したがって、位置の不確実性は、縮小コンプトン波長ħ / mcの半分よりも大きくなければなりません。

物理学における典型的な原子の長さ、波数、面積は、電子の換算コンプトン波長( )${\textstyle {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm { FM}}}$と電磁微細構造定数 ( ) に関連付けることができます。${\textstyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$

ボーア半径はコンプトン波長と次の関係があります。 $${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)={\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}$$

古典的な電子の半径は陽子の半径の約3倍で、次のように表されます。 $${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}$$

線形波数の次元を持つリュードベリ定数は次のように表されます。 $${\displaystyle {\frac {1}{R_{\infty }}}={\frac {2\lambda _{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 91.1~{\textrm {nm}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=2{\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 14.5~{\textrm {nm}}}$$

これにより、次のシーケンスが生成されます。 $${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}{\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}.}$$

フェルミオンの場合、縮小コンプトン波長が相互作用の断面積を決定します。たとえば、電子による光子のトムソン散乱の断面積は^{[明確化が必要]} に等しく 、これは鉄 56 原子核の断面積とほぼ同じです。ゲージボソンの場合、コンプトン波長が湯川相互作用の有効範囲を決定します。光子には質量がない ため、電磁気学の範囲は無限です。$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {T} }={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{\text{e}}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2},}$$

プランク質量は、コンプトン波長とシュワルツシルト半径が プランク長( )に近いときに、それらの値が等しくなる質量の順序です。シュワルツシルト半径は質量に比例しますが、コンプトン波長は質量の逆数に比例します。プランク質量とプランク長は次のように定義されます。 ${\displaystyle r_{\rm {S}}=2GM/c^{2}}$${\displaystyle l_{\rm {P}}}$

$${\displaystyle m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}}$$ $${\displaystyle l_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}.}$$

コンプトン波長の幾何学的起源は、波束の運動を記述する半古典的方程式を用いて実証されている。^[4]この場合、コンプトン波長は量子空間を記述する計量である量子計量の平方根に等しい。 ${\displaystyle {\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }}$

• ド・ブロイ波長
• プランク-アインシュタインの関係

• 物理学における長さのスケール: コンプトン波長