適切な加速

一方向の場合、つまり物体の加速度が観測者の時空スライス内でその速度と平行または反平行である場合、固有加速度αと座標加速度aはローレンツ因子γを介してα = γ ³ aの関係にあります^{[ 7 ]}。したがって、固有速度 w=dx/dτ の変化は、マップ時間 t にわたる固有加速度の積分、つまりαが一定の場合Δ w = α Δ tとなります。低速の場合、これは座標速度と座標加速度にマップ時間を掛けた関係、つまり Δ v = a Δ tに帰着します。

一定の一方向固有加速度の場合、ラピディティηと経過固有時間Δτの間、およびローレンツ因子γと移動距離Δxの間にも同様の関係が存在する。具体的には以下のとおりである。 $${\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t}}=c{\frac {\Delta \eta }{\Delta \tau }}=c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x}},}$$ ここで、様々な速度パラメータは次のように関連付けられる。 $${\displaystyle \eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}}\right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right).}$$

これらの式は、高速での加速移動の結果について説明しています。たとえば、目的地までの半分まで乗客を「1 g」（10  m/s ²または約 1.0 光年/年 2 乗）で加速し、残りの半分で「1 g」で減速して、可能な限り短い時間で地点 A から地点 B まで地球のような人工重力を提供する宇宙船を想像してみてください。 ^{[ 8 ] [ 9 ]} 地図距離が Δ x _ABの場合、上記の最初の式は、中間点ローレンツ因子（単位静止値から増加）γ _mid = 1 + α (Δ x _AB /2)/c ²を予測します。したがって、旅行者の時計での往復時間はΔ τ = 4( c / α ) cosh ⁻¹ ( γ _mid )となり、その間に地図上の時計で経過した時間はΔ t = 4( c / α ) sinh[cosh ⁻¹ ( γ _mid )]となります。

この想像上の宇宙船は、プロキシマ・ケンタウリへの往復を約7.1年（地球時間で約12年）、天の川銀河の中心にあるブラックホールへの往復を約40年（地球時間で約54,000年）、アンドロメダ銀河への往復を約57年（地球時間で500万年以上）で実現できる可能性がある。残念ながら、右図に示す最大ペイロード対打ち上げ質量比が示すように、1Gの加速度を何年も維持するのは言うほど簡単ではない。

上記の式は、力と等価原理についてもいくらかの視点を与えてくれます。時間を秒単位で、空間を垂直軸に沿った距離単位で記述するために、計量のためのローカルブックキーパー座標^{[ 4 ]} (例えば、全地球測位システムが情報を提供するようなローカルローレンツ四分座標^{[ 5 ]} ) を考えます。上記の式に移動物体の静止質量 m を掛け、ローレンツ因子γ = d t /d τで割ると、空間的な成分は、計量を記述するために使用される座標の観点から、その物体の運動量の変化率を表します。 

これはさらに、加速度と力の固有成分と幾何学的成分に分解できます。時間的成分に光速cを掛け、座標速度をv = d x /d tと定義すると、エネルギー変化率の式も得られます。

${\displaystyle {\frac {dE}{dt}}={\vec {v}}\cdot {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}}$（時間的）そして${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum {\vec {f_{o}}}+\sum {\vec {f_{g}}}=m({\vec {a_{o}}}+{\vec {a_{g}}})}$（宇宙のような）。

ここでa _oは固有力による加速度であり、a _gはデフォルトでは座標系の選択により物体に適用される幾何学的加速度です。低速では、これらの加速度が組み合わさってa = d ² x /d t ²のような座標加速度が生成されますが、任意の速度での 単方向運動では、a _oの大きさは、a _gがゼロのときにα = γ ³ aとなる上記のセクションのように、固有加速度αの大きさになります。一般に、これらの加速度と力を表現するのは複雑になる場合があります。 

しかしながら、この分解を用いて上記の接続係数（Γ）項を幾何学的力の観点から記述すると、任意の座標系の観点から見た物体の運動（少なくとも低速においては）は局所的にニュートン力学的であると見なすことができる。これは、例えば遠心力や重力などにおいて既に一般的な手法である。したがって、等価原理は、ニュートンの法則の局所的な有用性を加速座標系などにも拡張するものである。

球状の惑星や恒星の中心から一定の半径に保持された低速観測者にとって、座標加速度a_シェルは、固有加速度a _oと近似的に次の関係にある。 $${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\sqrt {\frac {r}{r-r_{s}}}}{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {r}}}$$ ここで、惑星または恒星のシュワルツシルト半径はr _s = 2 GM / c ²です。シェル観測者の半径がシュワルツシルト半径に近づくと、落下を防ぐために必要な適切な加速度a _{oは許容範囲を超えます。}

一方、r ≫ r _{sの場合、下方への加速を防ぐためには、} GMm / r ²の上向きの固有力のみが必要となる。地球表面では、これは次のようになる。 $${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{o}-g{\hat {r}}}$$ ここで、gは重力による下向きの加速度9.8  m/s²^であり、${\displaystyle {\hat {r}}}$は、重力体の中心から半径方向外向きの単位ベクトルである。したがって、下方への加速を防ぐためには、mg の外向きの固有力が必要となる。

このセクションの時空方程式により、固有加速度と座標加速度の間のすべての偏差を単一の計算で扱うことができます。たとえば、クリストッフェル記号を計算してみましょう: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{\Gamma _{tt}^{t},\Gamma _{tr}^{t},\Gamma _{t\theta }^{t},\Gamma _{t\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{t},\Gamma _{rr}^{t},\Gamma _{r\theta }^{t},\Gamma _{r\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{t},\Gamma _{\theta r}^{t},\Gamma _{\theta \theta }^{t},\Gamma _{\theta \phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{t},\Gamma _{\phi r}^{t},\Gamma _{\phi \theta }^{t},\Gamma _{\phi \phi }^{t}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{r},\Gamma _{tr}^{r},\Gamma _{t\theta }^{r},\Gamma _{t\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{r},\Gamma _{rr}^{r},\Gamma _{r\theta }^{r},\Gamma _{r\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{r},\Gamma _{\theta r}^{r},\Gamma _{\theta \theta }^{r},\Gamma _{\theta \phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{r},\Gamma _{\phi r}^{r},\Gamma _{\phi \theta }^{r},\Gamma _{\phi \phi }^{r}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\theta },\Gamma _{tr}^{\theta },\Gamma _{t\theta }^{\theta },\Gamma _{t\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\theta },\Gamma _{rr}^{\theta },\Gamma _{r\theta }^{\theta },\Gamma _{r\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\theta },\Gamma _{\theta r}^{\theta },\Gamma _{\theta \theta }^{\theta },\Gamma _{\theta \phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\theta },\Gamma _{\phi r}^{\theta },\Gamma _{\phi \theta }^{\theta },\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\phi },\Gamma _{tr}^{\phi },\Gamma _{t\theta }^{\phi },\Gamma _{t\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\phi },\Gamma _{rr}^{\phi },\Gamma _{r\theta }^{\phi },\Gamma _{r\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\phi },\Gamma _{\theta r}^{\phi },\Gamma _{\theta \theta }^{\phi },\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\phi },\Gamma _{\phi r}^{\phi },\Gamma _{\phi \theta }^{\phi },\Gamma _{\phi \phi }^{\phi }\right\}\end{array}}\right)}$$ 遠方座標シュワルツシルト計量( c d τ ) ² = (1− r _s / r )( c d t ) ² − (1/(1− r _s / r ))d r ² − r ² d θ ² − ( r sin θ ) ² d φ ²の場合、r _{s は}シュワルツシルト半径2 GM / c ²です。結果として得られる係数の配列は次のようになります。 $${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0\right\}&\left\{{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{{\frac {r_{s}c^{2}(r-r_{s})}{2r^{3}}},0,0,0\right\}&\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r_{s}-r)}},0,0\right\}&\{0,0,r_{s}-r,0\}&\left\{0,0,0,(r_{s}-r)\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot(\theta )\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).}$$

このことから、座標加速度をゼロに設定し、静止物体の幾何学的加速度を相殺するように固有加速度を要求することで、シェルフレームの固有加速度が得られる。${\displaystyle A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,GM/r^{2},0,0\}}$。しかし、曲がった時空におけるシュワルツシルト座標は帳簿座標^{[ 4 ]}であって、局所観測者の座標ではないため、これはまだ問題を解決していません。上記の固有加速度4元ベクトルの大きさは、計量テンソル g _ijを用いて求められ、次のようになります。${\textstyle \alpha ={\sqrt {1/(1-r_{s}/r)}}GM/r^{2}}$これは、惑星表面の居住者が感じる下向きの幾何学的加速度に対抗するために必要な、上向きの慣性モーメント不変な固有加速度である。

上記のクリストッフェル記号セットの特殊なケースとして、上記のr _sまたはMをゼロに 設定することによって得られる平面空間球面座標セットがある。$${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,-r,0\}&\left\{0,0,0,-r\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot \theta \}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).}$$

これから、例えば、一定の角速度ω = d φ /d τで赤道上を運動する物体の遠心幾何学的加速度を打ち消すために必要な中心花弁固有加速度が得られる。ここでθ = π /2である。 d θ /d τおよびd r /d τがゼロの場合について上記と同じ 4 ベクトル和を形成すると、上記で示した回転運動の古典的な加速度しか得られない。${\displaystyle A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,-r(d\phi /d\tau )^{2},0,0\}}$したがって、a _o = ω ² rとなります。コリオリ効果もこれらの接続係数に存在し、同様に座標系の幾何学のみから生じます。