単位の変換

単位の変換とは、数量を表す測定単位の変換であり、通常は乗法変換係数を使用して、数量を変えずに単位を変更します。また、これは、同じ物理的特性を表す対応する数量で数量を置き換えることも含むと広く解釈されることがよくあります。

SIなどのメートル法では、システムの一貫性と10 の累乗の乗数として機能するメートル法の接頭辞により、他のシステムよりも単位変換が簡単な場合がよくあります。

概要

数量を表現する単位の定義と選択は、特定の状況と目的によって異なります。これは、規制、契約、技術仕様、またはその他の公開された標準によって規定される場合があります。エンジニアリングの判断には、次のような要素が含まれます。

測定の精度と正確さ、およびそれに伴う測定の不確実性
初期測定の統計的信頼区間または許容区間
測定の有効数字の数
測定の目的、技術的許容範囲を含む
古い計測で使用された単位とその派生単位の歴史的な定義。例:国際フィートと米国測量フィート。

目的によっては、表現される量の精度を増減させることなく、ある単位系から別の単位系への変換が正確である必要があります。適応変換では、正確に同等の表現が生成されない場合があります。公称値が許可され、使用される場合もあります。

因子ラベル法

因数ラベル法は単位因数法や単位括弧法とも呼ばれ、^[1]代数の規則を用いた単位変換に広く使われている手法です。^[2]^[3]^[4]

係数ラベル法は、分数として表される変換係数を順番に適用し、分数の分子と分母の両方に現れるすべての次元単位を相殺して、必要な次元単位のセットのみが得られるように配置します。たとえば、時速 10 マイルは、次に示す一連の変換係数を使用してメートル/秒に変換できます。 ${\frac {\mathrm {10~{\cancel {mi}}} }{\mathrm {1~{\cancel {h}}} }}\time {\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~{\キャンセル {mi}}} }}\time {\frac {\mathrm {1~{\キャンセル{h}}} }{\mathrm {3600~s} }}=\mathrm {4.4704~{\frac {m}{s}}} .$

各変換係数は、元の単位の 1 つと目的の単位の 1 つ (または中間の単位) との関係に基づいて選択され、その後、元の単位を打ち消す係数を作成するために並べ替えられます。たとえば、「マイル」は元の分数の分子で⁠ ⁠ $\mathrm {1~mi} =\mathrm {1609.344~m}$ なので、「マイル」は変換係数の分母である必要があります。方程式の両辺を 1 マイルで割ると⁠ ⁠ ${\frac {\mathrm {1~mi} }{\mathrm {1~mi} }}={\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~mi} }}$ となり、これを簡略化すると無次元の ⁠ ⁠ になります。乗算 $1={\frac {\mathrm {1609.344~m} }{\mathrm {1~mi} }}$ の恒等式により、任意の量 (物理的または非物理的) に無次元の 1 を乗じても、その量は変化しません。^[5]これと秒数/時の変換係数に元の分数を乗じて単位マイルと時間を打ち消すと、10 マイル/時は 4.4704 メートル/秒に変換されます。

より複雑な例として、工業用炉から排出される排気ガス中の窒素酸化物( NO _x )の濃度は、以下に示す情報を使用して、 NO _xのグラム/時間 (g/h) で表される質量流量に変換できます。

NOx濃度: = 10 ppmv = 10 体積/ 10 ⁶体積
NO _xモル質量: = 46 kg/kmol = 46 g/mol
排気ガス流量: = 20 立方メートル /分 = 20 m ³ /分; 排気ガスは 0 °C の温度と 101.325 kPa の絶対圧力で炉から排出されます。; 0℃の温度および101.325kPaにおける気体のモル体積は^22.414m3 / kmolです。

{\frac {1000\ {\ce {g\ NO}}_{x}}{1{\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}\time {\ frac {46\ {\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}{1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}\times {\frac {1\ {\cancel {{\ce {kmol\ NO}}_{x}}}}{22.414\ {\cancel {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO }}_{x}}}}\time {\frac {10\ {\キャンセル {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {NO}}_{x}}}}{10^{6}\ {\キャンセル {{\ce {m}}^{3}\ {\ce {ガス}}}}}\time {\frac {20\ {\キャンセル{{\ce {m}}^{3}\ {\ce {ガス}}}}}{1\ {\cancel {\ce {分}}}}\time {\frac {60\ {\cancel {\ce {分}}}}{1\ {\ce {時間}}}=24.63\ {\frac {{\ce {g\ NO}}_{x}}{\ce {時間}}}

上記の式の分数の分子と分母の両方に現れる次元単位を消去すると、NO _x濃度 10 ppm _vは質量流量 24.63 グラム/時に変換されます。

次元を含む方程式のチェック

因子ラベル法は、任意の数式で、方程式の左側の次元単位が方程式の右側の次元単位と同じかどうかを確認するためにも使用できます。方程式の両側の単位が同じであっても、方程式が正しいとは限りませんが、方程式の両側の単位が異なる場合 (基本単位で表した場合)、方程式が間違っていることを意味します。

たとえば、次の場合のPV = nRTという普遍気体の法則方程式を確認します。

圧力Pはパスカル（Pa）単位です。
体積Vは立方メートル（m ³）単位である。
物質nの量はモル（mol）で表されます。
普遍気体定数 Rは8.3145 Pa⋅m ³ /(mol⋅K)である。
温度Tはケルビン（K）で表されます。

$\mathrm {Pa{\cdot }m^{3}} ={\frac {\cancel {\mathrm {mol} }}{1}}\time {\frac {\mathrm {Pa{\cdot } m^{3}} }{{\キャンセル {\mathrm {mol} }}\ {\キャンセル {\mathrm {K} }}}}\time {\frac {\キャンセル {\mathrm {K} }}{1}}$

見てわかるように、方程式の右辺の分子と分母に現れる次元単位が打ち消されると、方程式の両辺は同じ次元単位を持ちます。次元分析は、関連のない物理化学的特性を関連付ける方程式を作成するためのツールとして使用できます。方程式は、残りの次元（次元調整子）の形で、発見されていない、または見落とされていた物質の特性を明らかにし、その後、物理的な意味を割り当てることができます。このような「数学的操作」には前例がないことや、かなりの科学的意味がないわけではないことを指摘することが重要です。実際、基本的な物理定数であるプランク定数は、紫外線災害を防ぐためのレイリー-ジーンズの法則に基づいた、純粋に数学的な抽象化または表現として「発見」されました。プランク定数は、数学的な次元調整と並行して、またはその後に割り当てられ、量子物理学的な意味を持ちました。

制限事項

因子ラベル法は、単位が 0 で交差する線形関係にある単位量 ( Stevens の類型論における比率スケール) のみを変換できます。ほとんどの変換はこのパラダイムに適合します。使用できない例としては、摂氏スケールとケルビンスケール(または華氏スケール) 間の変換があります。摂氏度とケルビン度の間には一定の比率ではなく一定の差がありますが、摂氏度と華氏度の間には一定の差も一定の比率もありません。ただし、それらの間にはアフィン変換(線形変換⁠ ⁠ではなく) が存在します。 $x\mapsto ax+b$ $x\mapsto ax$

たとえば、水の凝固点は 0 °C と 32 °F で、5 °C の変化は 9 °F の変化と同じです。したがって、華氏単位から摂氏単位に変換するには、32 °F (基準点からのオフセット) を減算し、9 °F で割り、5 °C (単位の比率でスケーリング) を掛け、0 °C (基準点からのオフセット) を加算します。これを逆にすると、華氏単位から摂氏単位の量を取得する式が得られます。100 °C と 212 °F の等価性から始めても、同じ式が得られます。

したがって、華氏温度T [F]の数値量を摂氏温度T [C]の数値量に変換するには、次の式を使用できます。

T [C] = ( T [F] − 32) × 5/9。

摂氏温度のT [C] を華氏温度のT [F] に変換するには、次の式を使用します。

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32。

例

まず最初に:

Z=n_{i}\times [Z]_{i}

元の単位⁠ ⁠ を、目的の単位 $[Z]_{i}$ ⁠ ⁠ $[Z]_{j}$ における意味に置き換えます。たとえば、⁠ ⁠ $[Z]_{i}=c_{ij}\times [Z]_{j}$ の場合、次のようになります。

Z=n_{i}\times (c_{ij}\times [Z]_{j})=(n_{i}\times c_{ij})\times [Z]_{j}

⁠ ⁠ $n_{i}$ と⁠ ⁠ は $c_{ij}$ どちらも数値なので、それらの積を計算するだけです。

または、数学的には同じことですが、Zに 1 を掛けても、積は依然としてZです。

Z=n_{i}\times [Z]_{i}\times (c_{ij}\times [Z]_{j}/[Z]_{i})

たとえば、単位がフィート/秒( ⁠ ⁠ ) である物理値Zの式があり、それを単位がマイル/時( ⁠ ⁠ )で表したいとします。 $[Z]_{i}$ $[Z]_{j}$

元の単位と目的の単位に関連する事実を見つけます。
1マイル = 5280フィート、1時間 = 3600秒
次に、上記の式を使用して、値が 1 で、元の物理値と乗算すると元の単位が打ち消されるような単位を含む分数を作成します。
$1={\frac {1\,\mathrm {mi} }{5280\,\mathrm {ft} }}\quad \mathrm {and} \quad 1={\frac {3600\,\mathrm { s} }{1\,\mathrm {h} }}$
最後に、物理値の元の表現に変換係数と呼ばれる分数を掛けて、異なる単位で表現された同じ物理値を取得します。注: 有効な変換係数は無次元で、数値は1であるため、任意の物理量にこのような変換係数 (1) を掛けても、その物理量は変化しません。
$52.8\,{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} }}=52.8\,{\frac {\mathrm {ft} }{\mathrm {s} }}{\frac { 1\,\mathrm {mi} }{5280\,\mathrm {ft} }}{\frac {3600\,\mathrm {s} }{1\,\mathrm {h} }}={\frac {52.8\times 3600}{5280}}\,\mathrm {mi/h} =36\,\mathrm {mi/h}$

または、メートル法を使用する例として、燃費の値が100 キロメートルあたりのリットル単位で表示されており、それを1 メートルあたりのマイクロリットル単位で表示したいとします。

\mathrm {\frac {9\,{\rm {L}}}{100\,{\rm {km}}}} =\mathrm {\frac {9\,{\rm {L}}}{100\,{\rm {km}}}} \mathrm {\frac {1000000\,{\rm {\mu L}}}{1\,{\rm {L}}}} \mathrm {\frac {1\,{\rm {km}}}{1000\,{\rm {m}}}} ={\frac {9\times 1000000}{100\times 1000}}\,\mathrm {\mu L/m} =90\,\mathrm {\mu L/m}

SI単位系以外の計算

SI 単位系以外の単位が使用される場合、式の数値計算は、まず係数を計算し、次に既知または与えられた量の数値を代入することによって実行できます。

例えば、ボーズ・アインシュタイン凝縮体の研究では、^[6] 原子質量 $mは$ 通常キログラムではなくダルトンで表され、化学ポテンシャル $μ$ はボルツマン定数×ナノケルビンで表されます。凝縮体の治癒長は次のように表されます。 $\xi ={\frac {\hbar }{\sqrt {2m\mu }}}\,.$

化学ポテンシャルが（ボルツマン定数倍）128 nK の ²³ Na 凝縮体の場合、治癒長（マイクロメートル単位）の計算は 2 つのステップで実行できます。

係数を計算する

⁠ ⁠ $m=1\,{\text{Da}},\mu =k_{\text{B}}\cdot 1\,{\text{nK}}$ と仮定すると、これが因数になります。 $\xi ={\frac {\hbar }{\sqrt {2m\mu }}}=15.574\,\mathrm {\mu m} \,,$

数字を計算する

ここで、 ⁠ ⁠ $\xi \propto {\frac {1}{\sqrt {m\mu }}}$ という事実を利用します。⁠ ⁠ $m=23\,{\text{Da}},\mu =128\,k_{\text{B}}\cdot {\text{nK}}$ 、⁠ $\xi ={\frac {15.574}{\sqrt {23\cdot 128}}}\,{\text{μm}}=0.287\,{\text{μm}}$ ⁠。

この方法は、入力量が複数の異なる値を取るプログラミングやワークシートの作成に特に役立ちます。たとえば、上で計算した係数を使用すると、化学ポテンシャル20.3 nKの ¹⁷⁴ Ybの治癒長が次のようになることが非常に簡単にわかります。

⁠ ⁠

\xi ={\frac {15.574}{\sqrt {174\cdot 20.3}}}\,{\text{μm}}=0.262\,{\text{μm}}

.

ソフトウェアツール

変換ツールは多数あります。スプレッドシートデータベースなどのアプリケーションの関数ライブラリ、計算機、および数学、科学、技術アプリケーションなどの他の多くのアプリケーションのマクロパッケージやプラグインにあります。

何千ものさまざまな単位を変換して提供するスタンドアロンアプリケーションは数多くあります。たとえば、フリーソフトウェア運動は、 GNUとWindows用のコマンドラインユーティリティGNUユニットを提供しています。 ^[7]統一測定単位コードも人気のあるオプションです。

参照

注釈と参考文献

^ ベラ・ボド;コリン・ジョーンズ（2013年6月26日）。土壌力学への入門。ジョン・ワイリー＆サンズ。ページ 9–。ISBN 978-1-118-55388-6。
^ ゴールドバーグ、デイビッド（2006年）。化学の基礎（第5版）。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-322104-5。
^ オグデン、ジェームズ (1999)。化学工学ハンドブック。研究教育協会。ISBN 978-0-87891-982-6。
^ 「次元分析または因子ラベル法」。Mr Kent の化学ページ。
^ 「乗算の恒等性」。2015年9月9日閲覧。
^ フット、CJ (2005)。原子物理学。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-850695-9。
^ 「GNU Units」 . 2024年9月24日閲覧。

注記

外部リンク

法定規則 1995 No. 1804 測定単位規則 1995よりlegislation.gov.uk
「NIST: 基本物理定数 - 非SI単位」(PDF) 。 2016年12月27日にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2004年3月15日に閲覧。
NIST SI 単位ガイド多くの変換係数が記載されています。
統一計測単位コード
単位、記号、変換 XML 辞書は 2023-05-02 にWayback Machineにアーカイブされています
「命令は共和国の偉大さと基準を与える – déduites de la grandeur de la terre、uniformes pour toute la République、et sur les calculs relatifs à leur Division décimale」（フランス語）
数学スキルの復習
単位についての議論
単位変換の簡単なガイド
ユニットのキャンセルレッスン
第 11 章: 気体の挙動化学: 概念と応用、デントン独立学区

[BodóJones2013-1] ベラ・ボド;コリン・ジョーンズ（2013年6月26日）。土壌力学への入門。ジョン・ワイリー＆サンズ。ページ 9–。ISBN 978-1-118-55388-6。

[2] ゴールドバーグ、デイビッド（2006年）。化学の基礎（第5版）。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-322104-5。

[3] オグデン、ジェームズ (1999)。化学工学ハンドブック。研究教育協会。ISBN 978-0-87891-982-6。

[4] 「次元分析または因子ラベル法」。Mr Kent の化学ページ。

[5] 「乗算の恒等性」。2015年9月9日閲覧。

[6] フット、CJ (2005)。原子物理学。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-850695-9。

[7] 「GNU Units」 . 2024年9月24日閲覧。

概要