ガウスの重力の法則

物理学において、ガウスの重力の法則（ガウスの重力流束定理とも呼ばれる）は、ニュートンの万有引力の法則と同等の物理法則である。カール・フリードリヒ・ガウスにちなんで名付けられた。この法則は、任意の閉曲面上の重力場の流束（面積分）は、その閉曲面に囲まれた質量に比例すると述べている。ガウスの重力の法則は、ニュートンの法則よりも扱いやすい場合が多い。^[¹^]

ガウスの重力法則の形式は、マクスウェル方程式の一つであるガウスの静電気法則と数学的に類似しています。ガウスの重力法則とニュートンの法則との数学的関係は、ガウスの静電気法則とクーロンの法則との関係と同じです。これは、ニュートンの法則とクーロンの法則の両方が、3次元空間における逆二乗の相互作用を記述しているためです。

法律に関する定性的な記述

重力場g（重力加速度とも呼ばれる）はベクトル場であり、空間（および時間）上のあらゆる点においてベクトルとなる。粒子が受ける重力は、その粒子の質量にその点における重力場を掛けたものに等しくなるように定義されている。

重力束は、閉じた曲面上の重力場の面積分であり、磁束が磁場の面積分であるのと同様である。

ガウスの万有引力の法則は次の通りである。

任意の閉曲面を通過する重力束は、その閉曲面が囲む質量に比例する。

積分形式

ガウスの重力法則の積分形式は次のようになる。

$\oiint$ $\scriptstyle \partial V$ $\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM$

どこ

$\oiint$ $\scriptstyle \partial V$ （また、次のように表記される） $\displaystyle \oint _{\partial V}}$ ) は閉曲面上の面積分を表す。
∂Vは任意の閉曲面（任意の体積Vの境界）です。
d Aはベクトルであり、その大きさは表面の微小部分 ∂ Vの面積であり、その方向は外向きの表面法線です(詳細は面積分を参照)。
gは重力場です。
Gは万有引力定数であり、
Mは表面∂V内に囲まれた全質量である。

この方程式の左辺は重力場のフラックスと呼ばれます。この法則によれば、フラックスは常に負（またはゼロ）であり、決して正になることはありません。これは、フラックスが正にも負にもなり得る電気に関するガウスの法則とは対照的です。この違いは、電荷は正にも負にもなり得るのに対し、質量は正しか取り得ないという点にあります。

微分形式

重力状態に対するガウスの法則の微分形式

$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,$

どこ $\nabla \cdot$ は発散を表し、gは重力場、Gは万有引力定数、ρは各点における質量密度である。

積分形式との関係

ガウスの重力法則の2つの形式は数学的に等価である。発散定理は次のように述べている。 $\oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \,dV$ ここで、Vは単純な閉じた向き付けられた曲面 ∂ Vで囲まれた閉じた領域であり、 dV は体積Vの微小部分である(詳細は体積積分を参照)。重力場g は、Vの近傍で定義された連続微分可能なベクトル場である必要がある。

また、 $M=\int _{V}\rho \ dV$ ガウスの重力法則の積分形に発散定理を適用すると、次のようになる。 $\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV=-4\pi G\int _{V}\rho \ dV$ これは次のように書き換えることができます。 $\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g} )\ dV=\int _{V}(-4\pi G\rho )\ dV.$ これは、あらゆる可能な体積V に対して同時に成り立たなければなりません。これが起こり得る唯一の方法は、被積分関数が等しい場合です。したがって、次の式が得られます。 $\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,$ これは、重力に関するガウスの法則の微分形式である。

この方法の逆を用いることで、微分形式から積分形式を導出することが可能である。

両者は同等ではあるものの、特定の計算においてはどちらか一方の方が使いやすい場合がある。

ニュートンの法則との関連性

ニュートンの法則からガウスの法則を導出する

ガウスの重力の法則は、ニュートンの万有引力の法則から導き出すことができ、点質量による重力場は次のようになる。 $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {e_{r}}$ どこ

e _rは動径単位ベクトルです。
rは半径、| r | です。
Mは粒子の質量であり、原点に位置する点質量であると仮定する。

ベクトル解析を用いた証明は下の枠内に示されています。これはクーロンの法則から始まるガウスの法則（静電気学）の証明と数学的に同一です。^[²^]

証明の概要

点rにおける重力場g ( r ) は、宇宙に存在するあらゆる質量によるg ( r )への寄与を合計することで計算できます(重ね合わせの原理を参照)。これを行うには、空間内のすべての点sについて積分を行い、点sにおける質量 (存在する場合) に関連するg ( r )への寄与を合計します。この寄与はニュートンの法則によって計算されます。結果は次のとおりです。 $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho (\mathbf {s} ){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}d^{3}\mathbf {s} .$ ( d ³s はds _x ds _y ds _zを表し、それぞれ −∞ から +∞ まで積分されます。) この方程式の両辺をrに関して発散し、既知の定理^{[ 2 ]を使用すると、} $\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {r} )$ ここでδ ( r )はディラックのデルタ関数であり、結果は次のようになる。 $\nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\ d^{3}\mathbf {s} .$ ディラックのデルタ関数の「ふるい分け特性」を用いると、次の式が得られます。 $\nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )$ これは、ガウスの重力法則の微分形式であり、まさに求めていたものです。

ガウスの法則と非回転性からニュートンの法則を導出する

ガウスの法則だけではニュートンの法則を数学的に証明することは不可能である。なぜなら、ガウスの法則はgの発散を指定するだけで、 gの回転に関する情報は含まれていないからである（ヘルムホルツ分解を参照）。ガウスの法則に加えて、重力は保存力であるため、 gは非回転（回転がゼロ）であるという仮定が用いられる。

\nabla \times \mathbf {g} =0

これらだけでは十分ではありません。ニュートンの法則を証明するには、 gに関する境界条件も必要です。例えば、質量から無限遠では場がゼロであるという仮定などです。

これらの仮定に基づくニュートンの法則の証明は以下のとおりである。

証明の概要

ガウスの法則の積分形式から始めましょう。 $\oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM.$ この法則を、体積Vが点質量Mを中心とする半径rの球である場合に適用します。点質量からの重力場は球対称であると予想するのが妥当です。（証明は簡略化のため省略します。）この仮定を置くと、g は次の形式になります。 $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-g(r)\,\mathbf {e_{r}}$ （つまり、 g の方向はrの方向と反平行であり、gの大きさはrの大きさのみに依存し、方向は依存しない）。これを代入し、 ∂V が一定のrと面積を持つ球面であるという事実を用いると、 $4\pi r^{2}$ 、

g(r)\oint _{\partial V}(-\mathbf {e_{r}} )\cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM

g(r)\cdot (-4\pi r^{2})=-4\pi GM

g(r)={\frac {GM}{r^{2}}}

\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}

これはニュートンの法則である。

ポアソン方程式と重力ポテンシャル

前述のように、重力場は回転がゼロ（つまり、重力は保存力）であるため、重力ポテンシャルと呼ばれるスカラーポテンシャルの勾配として表すことができる。 $\mathbf {g} =-\nabla \phi .$ すると、重力に関するガウスの法則の微分形式は、ポアソン方程式となる。 $\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .$ これは、重力ポテンシャルと重力場を計算する別の方法を提供する。ポアソン方程式を用いてgを計算することは、ガウスの法則から直接gを計算することと数学的には等価であるが、状況によってはどちらかの方法の方が計算が容易な場合がある。

放射対称系では、重力ポテンシャルは 1 つの変数 (すなわち、 $r=|\mathbf {r} |$ ）、そしてポアソン方程式は次のようになります（円筒座標と球座標におけるDelを参照）。 ${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)=4\pi G\rho (r)$ 重力場は次のようになります。 $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {e_{r}} {\frac {\partial \phi }{\partial r}}.$

方程式を解く際には、有限密度の場合、∂ ϕ /∂ r は境界 (密度の不連続) で連続でなければならず、r = 0ではゼロでなければならないことを考慮する必要があります。

アプリケーション

ガウスの法則は、ニュートンの法則を直接適用することがより困難な場合（不可能ではないが）、重力場を容易に導出するために使用できます。これらの導出方法の詳細については、「ガウス面」の記事を参照してください。そのような応用例を3つ以下に示します。

ブーゲーの皿

（「ガウスのピルボックス」を用いることで）任意の有限の厚さの無限に広がる平板（ブーゲー板）の場合、板の外側の重力場は板に垂直で、板に向かっており、大きさは単位面積あたりの質量の2πG倍で、板までの距離に依存しないことがわかる^{[ 3 ]} （重力異常も参照）。

より一般的に言えば、密度が1つのデカルト座標zのみに依存する質量分布の場合、任意のzにおける重力は、そのz値の両側の単位面積あたりの質量の差の2πG倍になります。

特に、単位面積あたりの質量が等しい2枚の平行な無限板を平行に組み合わせた場合、それらの間には重力場は生じない。

円筒対称の質量分布

無限に均一な（ z方向の）円筒対称質量分布の場合、（円筒ガウス面を用いることで）中心から距離rにおける磁場強度は、より遠い距離（軸からの距離）における単位長さあたりの総質量の2G / r倍の大きさで内向きであると結論付けることができる。これは、より遠い距離にある質量に関係なく成り立つ。

例えば、無限に広がる均質な中空円筒の内部では、電場はゼロとなる。

球対称質量分布

球対称な質量分布の場合、（球面ガウス面を用いることで）中心から距離rにおける磁場強度は内向きであり、その大きさはrよりも小さい距離にある全質量の^{2倍、すなわち}G / r²であると結論づけることができる。中心からrよりも大きい距離にある質量は、結果として何の影響も及ぼさない。

例えば、中空の球体は内部に正味の重力を発生させません。内部の重力場は、中空の球体が存在しない場合と同じです（つまり、球体自体を除くすべての質量による重力場であり、球体の内側と外側の両方に存在する可能性があります）。

これはガウスの万有引力の法則からわずか1、2行の代数計算で導き出せるものの、アイザック・ニュートンは自身の万有引力の法則を用いてこれを直接導出するために、数ページにわたる煩雑な微積分計算を要した。この直接的な導出については、「貝殻定理」の記事を参照されたい。

ラグランジアンからの導出

ニュートン重力のラグランジュ密度は ${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,t)=-\rho (\mathbf {x} ,t)\phi (\mathbf {x} ,t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla \phi (\mathbf {x} ,t))^{2}$ このラグランジアンにハミルトンの原理を適用すると、ガウスの重力法則が得られる。 $4\pi G\rho (\mathbf {x} ,t)=\nabla ^{2}\phi (\mathbf {x} ,t).$ 詳細はラグランジアン（場の理論）を参照してください。

参考文献

↑ 「ガウスの法則と重力」。2023年2月5日にオリジナルからアーカイブ済み。2025年4月26日に取得。
1 2例えば、 Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. p. 50 を参照。ISBN 0-13-805326-X。
↑フォギエル著『力学問題解決法』 535～536ページ

さらに読む

「重力のガウスの法則」という用語の使用については、例えば、Moody, MV; Paik, HJ (1 March 1993). "Gauss's law test of gravity at short range". Physical Review Letters . 70 (9): 1195–1198 . Bibcode : 1993PhRvL..70.1195M . doi : 10.1103/PhysRevLett.70.1195 . PMID 10054315 を参照。

[1] 「ガウスの法則と重力」。2023年2月5日にオリジナルからアーカイブ済み。2025年4月26日に取得。

[Griffiths-2] 1 2例えば、 Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. p. 50 を参照。ISBN 0-13-805326-X。

[3] フォギエル著『力学問題解決法』 535～536ページ

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