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特殊相対性理論において、「質量」という言葉には2つの意味があります。不変質量（静止質量とも呼ばれる）は、すべての基準系におけるすべての観測者に対して同じである不変量であり、一方、相対論的質量は観測者の速度に依存します。質量エネルギー等価性の概念によれば、不変質量は静止エネルギーに等しく、相対論的質量は相対論的エネルギー（全エネルギーとも呼ばれる）に等しくなります。
「相対論的質量」という用語は、素粒子物理学や原子核物理学ではあまり使われず、特殊相対性理論の著者も、物体の相対論的エネルギーに言及する方が好まれるため、この用語を避けることが多い。[ 1 ]対照的に、「不変質量」は通常、静止エネルギーよりも好まれる。ある基準系における物体の測定可能な慣性は、その不変質量だけでなく、相対論的質量によっても決定される。例えば、光子は静止質量がゼロであるが、それらを含むあらゆるシステムの慣性（および重力場における重量）に寄与する。
この概念は、一般相対性理論において質量に関して一般化される。
特殊相対性理論における質量という用語は、通常、物体の静止質量、すなわち物体と共に移動する観測者によって測定されるニュートン質量を指します。不変質量は、単一粒子の静止質量の別名です。より一般的な不変質量（より複雑な式で計算される）は、おおまかに「系」の「静止質量」に対応します。したがって、不変質量は、運動量中心系（COM系）から観測される系に使用される自然な質量の単位です。例えば、高温ガスの入ったボトルなどの閉じた系を計量する場合、系の正味運動量がゼロとなる運動量中心系で測定を行う必要があります。このような状況下では、不変質量は相対論的質量（後述）に等しくなります。相対論的質量は、系の全エネルギーをc²（光速の2乗）で割った値です。
不変質量の概念は、束縛された粒子系を必要としません。そのため、高速で相対運動する非束縛粒子系にも適用できます。このため、粒子物理学では、広く離れた高エネルギー粒子からなる系によく用いられます。このような系が単一の粒子から派生したものである場合、決して変化しない量である不変質量を計算することで、親粒子の静止質量が得られます（静止質量は時間的に保存されるため）。
計算上、系の不変質量は、重心系（定義により系の運動量はゼロ）における系の全エネルギー（c²で割った値）であるとすると便利な場合が多い。しかし、どの系の不変質量もすべての慣性系で同じ値であるため、重心系における全エネルギーから計算され、運動量がゼロでない他の慣性系における系のエネルギーと運動量を計算する際に用いられることが多い。その場合、系の全エネルギーは重心系における全エネルギーとは必然的に異なる値となる。エネルギーや運動量と同様に、系の不変質量は破壊も変化もせず、系が外部からの影響を一切受けない限り保存される。（専門用語では「孤立系」と呼ばれ、理想化された境界が系の周囲に引かれ、質量やエネルギーが境界を越えて移動しないことを意味する。）
相対論的質量は、物体またはシステム内のエネルギーの総量（c²で割った値）です。したがって、式中の質量は は相対論的質量です。静止質量がゼロでない粒子が速度で運動する場合、観察者に対して相対的に、
運動量座標系の中心では、そして相対論的質量は静止質量に等しい。他のフレームでは、相対論的質量（物体または物体のシステム）には、物体の「正味」運動エネルギー（物体の重心の運動エネルギー）からの寄与が含まれ、物体が速く動くほど大きくなる。したがって、不変質量とは異なり、相対論的質量は観測者の基準フレームに依存する。しかし、与えられた単一の基準フレームと孤立したシステムでは、相対論的質量も保存量である。相対論的質量は速度と運動量の比例定数でもある。
ニュートンの第二法則は、次の形式で有効である。
物体が特定の周波数の光を放出するとき波長エネルギーの光子として物体の質量は減少する[ 2 ]これは、一部の研究者[ 3 ] [ 4 ]が放出された光子の相対論的質量と解釈しているが、これもまた相対論的質量を理論の基本概念として提示する著者もいるが、理論の基本は時空に関係するため、これは誤りであると主張されている。この概念が教育的に有用かどうかについては意見が分かれている。[ 5 ] [ 3 ] [ 6 ]一定の加速度を受ける物体が光速に達することができない理由、および光子を放出するシステムの質量が減少する理由を、単純かつ定量的に説明する。[ 3 ]相対論的量子化学では、相対論的質量は重元素の電子軌道収縮を説明するために用いられる。[ 7 ] [ 8 ] ニュートン力学における物体の性質としての質量の概念は、相対性理論における概念と正確な関係を持たない。[ 9 ] 相対論的質量は原子核物理学や素粒子物理学では参照されておらず、[ 1 ] 2005 年の入門教科書の調査では、24 冊のうち 5 冊しかこの概念を使用していなかったことが示されましたが、[ 10 ]一般向けの解説書では依然として広く使われています。
静止した箱の中に多数の粒子が入っている場合、静止系における箱の重量は、粒子の運動速度が速いほど増加します。箱の中のあらゆるエネルギー（粒子の運動エネルギーを含む）は質量に加算されるため、粒子の相対運動は箱の質量に寄与します。しかし、箱自体が動いている場合（その重心が動いている場合）、全体の運動の運動エネルギーを系の質量に含めるべきかどうかという問題が残ります。不変質量は、系全体の運動エネルギーを除外して計算されます（箱の単一の速度、つまり箱の重心の速度を使用して計算されます）。一方、相対論的質量は、不変質量に加えて、重心の速度から計算される系の運動エネルギーを含めて計算されます。
相対論的質量と静止質量はどちらも物理学における伝統的な概念ですが、相対論的質量は全エネルギーに対応します。相対論的質量は、天秤で測定した場合の系の質量ですが、場合によっては（上の図の箱のように）、この事実は、系が平均的に静止している必要がある（正味の運動量がゼロである必要があり、つまり、測定は運動量中心座標系で行われる）という理由だけで成り立ちます。例えば、サイクロトロン内の電子が相対論的速度で円運動をしている場合、サイクロトロンと電子の系の質量は、電子の静止質量ではなく、電子の相対論的質量によって増加します。しかし、電子が箱の中で高速で跳ね返る場合、電子と箱のような閉じた系でも同じことが言えます。電子の運動エネルギーを「測定」できるのは、系に全運動量がない（系の運動量の合計がゼロになる）ためです。電子が停止して重量を測定された場合、あるいは何らかの方法で天秤が電子の後を追って送られた場合、電子は天秤に対して動いていないため、単一の電子の相対論的質量と静止質量は同じになり（そして小さくなる）、相対論的質量と静止質量は一般に、正味の運動量がゼロで系の重心が静止している場合にのみ等しくなります。それ以外の場合は、両者は異なる可能性があります。
不変質量は、物体全体が静止している基準系（以下で定義する重心による）における全エネルギーの値に比例します。これが、単一粒子の場合、不変質量が静止質量と同じである理由です。しかし、不変質量は、多数の粒子からなる系において重心が静止しているときの測定質量も表します。このようなことが起こる特別な基準系は、運動量中心系とも呼ばれ、物体の重心が静止している慣性系として定義されます（別の言い方をすれば、系の構成要素の運動量の合計がゼロになる基準系です）。複合物体（多数の小さな物体から構成され、その一部が動いている場合もある）や非結合物体の集合（その一部も動いている場合もある）の場合、物体の相対論的質量が静止質量と等しくなるためには、系の重心が静止しているだけで十分です。
いわゆる質量のない粒子（光子や理論上の重力子など）は、あらゆる慣性系において光速で運動します。この場合、粒子を静止させるような変換は存在しません。このような粒子の全エネルギーは、同じ方向に速く移動する慣性系ほど小さくなります。そのため、静止質量は存在しません。なぜなら、静止している慣性系で測定することは決してできないからです。この静止質量がないという性質が、これらの粒子を「質量のない」と呼ぶ所以です。しかし、質量のない粒子であっても、相対論的質量を持ち、それは様々な慣性系で観測されるエネルギーに応じて変化します。
不変質量は、 4元運動量（古典的な運動量の4次元一般化）と4元速度の比である：[ 11 ] また、静止質量が一定の場合の4次元加速度と4次元力の比でもある。ニュートンの第二法則の4次元形式は次のようになる。
Eとpの相対論的表現は相対論的エネルギー-運動量関係に従う：[ 12 ] ここで、mは静止質量、または系における不変質量であり、Eは全エネルギーである。
この式は、 m = 0である光子にも有効です。 そのため
光子の運動量はそのエネルギーの関数ですが、速度に比例するわけではありません。速度は常にcです。
静止している物体の場合、運動量pはゼロなので、 この式は、運動量がゼロの粒子または系に対してのみ成り立つことに注意してください。
静止質量は、物体の静止系における全エネルギーにのみ比例する。
物体が動いているとき、全エネルギーは次のように表される。
運動量とエネルギーを速度の関数として求めるには、4元速度が次の式に比例することに注目すればよい。は粒子の運動に関連する唯一の4元ベクトルであるため、保存される4元運動量が存在する場合、それはこのベクトルに比例しなければならない。これにより、エネルギーと運動量の比を次のように表すことができる。 その結果、 Eとv の間には以下の関係が成り立つ。
その結果、 そして
これらの式は次のように書くことができます。 要因
c = 1 の単位系（自然単位系として知られる）で作業する場合、すべての相対論的方程式は簡略化され、エネルギー、運動量、質量の量は同じ自然次元を持つ: [ 13 ]
この方程式は、差分がはエネルギー運動量4元ベクトルの相対論的長さであり、システムの静止質量または不変質量に関連付けられる長さです。m > 0かつp = 0の場合、この式は再び質量エネルギー等価性E = mを表します。
複合系の静止質量は、すべての構成要素が静止している場合を除き、構成要素の静止質量の合計とは一致しません。複合系の総質量には、系内の運動エネルギーと場エネルギーが含まれます。
複合システムの全エネルギーEは、その構成要素のエネルギーの合計を足し合わせることによって決定できます。全運動量システム全体の運動量（ベクトル量）は、その構成要素すべての運動量を合計することによって計算することもできます。全エネルギーEと全運動量ベクトルの長さ（大きさ）pが与えられれば、不変質量は次のように与えられる。
c = 1である自然単位系において、粒子系（束縛されているか否かを問わず）の全系不変質量は、以下のように等価的に与えられる。
ここでも、粒子の運動量はまず、ベクトルとして合計し、その結果得られた合計値（ユークリッドノルム）の二乗を用います。これによりスカラー値が得られ、これを全エネルギーの二乗のスカラー値から差し引きます。
このような系において、運動量の合計がゼロとなる特別な運動量中心座標系では、系の質量（不変質量と呼ばれる）は系の全エネルギーに相当し、 c = 1の単位ではそれと同一となる。系の全エネルギーと全運動量は選択された特定の慣性座標系の関数であり、すべての観測者に対して不変質量が同じになるように慣性座標系間で変化するが、この系の不変質量はどの慣性座標系でも同じ量である。したがって、不変質量は粒子系に対して、単一粒子に対する「静止質量」と同様の役割を果たす。
孤立系（すなわち、質量とエネルギーの両方に関して閉じている系）の不変質量は、観測者や慣性系にも依存せず、化学反応や核反応の間であっても、孤立系と単一の観測者に対しては一定の保存量となることに注意してください。不変質量の概念は、粒子物理学で広く用いられています。なぜなら、粒子の崩壊生成物の不変質量は、その粒子の静止質量に等しいからです。これは、Zボソンやトップクォークなどの粒子の質量を測定するために用いられます。
全エネルギーは、系内および粒子間の反応において（単一の観測者にとっては）加算的に保存される量ですが、静止質量（粒子の静止質量の合計という意味で）は、粒子の静止質量が運動エネルギーなどの他の種類のエネルギーに変換される事象を通じて保存されない可能性があります。個々の粒子の静止質量の合計を求めるには、各粒子の静止慣性系ごとに1人ずつ、複数の観測者が必要となり、これらの観測者は個々の粒子の運動エネルギーを無視します。保存則は、単一の観測者と単一の慣性系を必要とします。
一般に、孤立系および単一の観測者においては、相対論的質量は保存される（各観測者は時間を通じて一定であると認識する）が、不変ではない（つまり、異なる観測者は異なる値を認識する）。しかしながら、不変質量は保存され、かつ不変である（すべての単一の観測者は同じ値を認識し、その値は時間とともに変化しない）。
相対論的質量はエネルギーに対応するため、エネルギー保存則は、任意の観測者と慣性系において相対論的質量が保存されることを意味します。しかし、この量は、粒子の全エネルギーと同様に、不変ではありません。つまり、反応中に任意の観測者に対して保存されるとしても、その絶対値は観測者の慣性系によって、また異なる慣性系における異なる観測者によって変化します。
対照的に、系や粒子の静止質量と不変質量は保存され、かつ不変です。例えば、密閉された気体容器（エネルギー的にも閉じている）は、内部に動いている部品があっても、静止した天秤で重さを量ることができるという意味で、系の「静止質量」を持ちます。この質量は不変質量であり、運動量中心系で測定された場合にのみ、容器の全相対論的エネルギー（気体の運動エネルギーを含む）に等しくなります。単一粒子の場合と同様に、このような気体容器の計算された「静止質量」は、運動しているときには変化しませんが、その「相対論的質量」は変化します。
容器は、全体速度を与える力を受ける場合もあれば、（同等に）全体速度を持つ慣性系（つまり、厳密には、その重心が速度を持つ系）から観測される場合もある。この場合、容器の相対論的質量とエネルギーの総量は増加する。しかし、このような状況では、容器の相対論的エネルギーと運動量の総量は増加するものの、これらのエネルギーと運動量の増加は不変質量の定義において相殺されるため、動いている容器の不変質量は、静止状態で秤で測定した場合と同じ値として計算される。
特殊相対性理論におけるすべての保存則（エネルギー、質量、運動量）は、孤立系、つまり時間的に質量とエネルギーの出入りが一切許されない、完全に孤立した系を前提としています。系が孤立している場合、どの慣性系においても、どの観測者にとっても、系の全エネルギーと全運動量は時間的に保存されますが、異なる慣性系における観測者によってその絶対値は異なります。系の不変質量も保存されますが、観測者によって変化することはありません。これは、単一粒子の場合にもよく見られる状況です。どの観測者も、どのように運動しようとも（どの慣性系を選択しようとも）、同じ粒子の静止質量（不変質量の特殊な場合）を計算しますが、同じ粒子であっても、観測者によって全エネルギーと運動量は異なります。
不変質量の保存には、系が密閉されていて、熱や放射（したがって不変質量）が逃げ出さないことも必要です。上記の例のように、物理的に密閉された系や束縛された系は、質量が一定に保たれるために外部の力から完全に隔離されている必要はありません。束縛された系の場合、外部の力は単に系または観測者の慣性系を変化させるだけだからです。このような作用によって束縛された系の全エネルギーや運動量が変化する可能性はありますが、これら2つの変化は相殺されるため、系の不変質量は変化しません。これは単一粒子の場合と同じ結果です。計算された静止質量は、粒子がどれだけ速く動いても、あるいは観測者が粒子をどれだけ速く見ているかに関わらず、一定のままです。
一方、束縛されていないシステムの場合、システムの不変質量の保存がその間に成り立つためには、試験体積への質量エネルギーの出入りが時間とともに許されないため、システムの「閉鎖」は理想化された表面によって強制される可能性があります。このような束縛されていないシステムの1つの部分だけに力が作用する（仕事をする）ことが許されると、これはシステムにエネルギーが出入りすることを許すことと同等であり、質量エネルギーの「閉鎖」（完全な隔離）の条件が破られます。この場合、システムの不変質量の保存ももはや成り立ちません。エネルギーが除去されたときのシステムの静止質量のこのような減少は、E = mc² （ Eは除去されたエネルギー、mは静止質量の変化）に従って、質量からエネルギーへの「変換」ではなく、エネルギーの移動に伴う質量の変化を反映しています。
特殊相対性理論では、系の静止質量は構成要素の静止質量の合計と等しくなければならないわけではありません（これは化学における質量保存則に類似した状況です）。例えば、質量のある粒子は個々には質量を持たない光子に崩壊することがありますが、それらの光子は（系として）それらを生成した粒子の不変質量を保存します。また、相互作用しない運動粒子（例えば、光子や理想気体）の箱は、それを構成する粒子の静止質量の合計よりも大きな不変質量を持ちます。これは、系内のすべての粒子と場の全エネルギーを合計する必要があり、この量を運動量中心座標系で見て、c 2で割ったものが系の不変質量となるためです。
特殊相対性理論では、質量はエネルギーに「変換」されません。なぜなら、あらゆる種類のエネルギーは依然として関連する質量を保持しているからです。特殊相対性理論では、エネルギーも不変質量も破壊されることはなく、それぞれが閉鎖系において時間とともに個別に保存されます。したがって、系の不変質量が変化する可能性があるのは、不変質量が光や熱として外部に放出される場合のみです。したがって、反応（化学反応または核反応）によって熱と光の形でエネルギーが放出される場合、熱と光が外部に放出されない場合（系が閉鎖され孤立している場合）、エネルギーは系の静止質量に寄与し続け、系の質量は変化しません。エネルギーが環境に放出された場合にのみ質量が失われます。これは、関連する質量が系から外部に放出され、周囲の質量に寄与するためです。[ 12 ]
現在「相対論的質量」と呼ばれる概念に類似した概念は、特殊相対性理論の出現以前から既に発展していた。例えば、 1881年にJJトムソンは、帯電した物体は帯電していない物体よりも運動させにくいことを認識しており、これはオリバー・ヘヴィサイド（1889年）とジョージ・フレデリック・チャールズ・サール（1897年）によってより詳細に解明された。つまり、静電気エネルギーは、ある種の電磁質量を持つかのように振る舞うのである。これにより、物体の通常の機械的質量が増加する可能性がある。[ 14 ] [ 15 ]
その後、トムソンとサールは、この電磁質量も速度とともに増加することを指摘した。これは、ヘンドリック・ローレンツ（1899年、1904年）によってローレンツエーテル理論の枠組みの中でさらに詳しく説明された。彼は質量を運動量と速度の比ではなく、力と加速度の比として定義したため、質量と運動量と速度を区別する必要があった。運動方向と質量に平行運動方向に対して垂直（はローレンツ因子、vはエーテルと物体間の相対速度、cは光速です。力が速度に垂直な場合にのみ、ローレンツの質量は現在「相対論的質量」と呼ばれるものと等しくなります。マックス・アブラハム(1902) は、縦方向の質量と横方向の質量（ただし、アブラハムはローレンツの相対論的表現よりも複雑な表現を使用した）。したがって、ローレンツの理論によれば、質量はこの速度で無限に大きくなるため、いかなる物体も光速に達することはできない。 [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]
アルベルト・アインシュタインも、1905年の電気力学の論文で縦方向質量と横方向質量の概念を最初に用いた（ローレンツのものと同等だが、異なる（不運な力の定義によるもので、後に修正された）と、1906年の別の論文で述べた。[ 19 ] [ 20 ]しかし、彼は後に速度依存の質量概念を放棄した（次のセクションの末尾の引用を参照）。
静止質量がゼロでない粒子の力と加速度を関連付ける、正確な相対論的表現（ローレンツの式と同等）x方向に速度vで移動し、関連するローレンツ因子を持つは
特殊相対性理論では、静止質量がゼロでない物体は光速で移動することはできない。物体が光速に近づくにつれて、物体のエネルギーと運動量は際限なく増加する。
1905年以降の最初の数年間は、ローレンツとアインシュタインに続いて、縦方向質量と横方向質量という用語がまだ使用されていました。しかし、これらの表現は、1909年にギルバート・N・ルイスとリチャード・C・トルマンによって初めて定義された相対論的質量の概念に置き換えられました。 [ 21 ]彼らは物体の全エネルギーと質量を次のように定義しました。 そして静止している物体 比率
1912年にトルマンはこの概念をさらに詳しく説明し、「運動する物体の質量には、m 0 (1 − v 2 / c 2 ) −1/2という表現が最適である」と述べた。 [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]
1934年、トルマンは相対論的質量公式が光速で移動する粒子を含むすべての粒子に当てはまるが、これは光速より遅い粒子（静止質量がゼロでない粒子）にのみ適用されます。トルマンはこの関係について、「さらに、もちろん、運動する電子の場合のこの式の実験的検証があります...したがって、運動する粒子の質量について、この式が一般的に正しいと受け入れることに躊躇はありません。」と述べています。[ 25 ]
相対速度がゼロの場合、は単純に 1 に等しく、次の 2 つの式でわかるように、相対論的質量は静止質量に減少します。速度が光速cに近づくにつれて、右辺の分母はゼロに近づき、結果として無限大に近づく。ニュートンの第二法則は、次の形式では依然として有効である 。 派生形無効です。では一般的に定数ではない[ 26 ]（横方向および縦方向の質量に関する上記のセクションを参照）。
アインシュタインは当初、2つの論文で「縦方向の質量」と「横方向の質量」という表現を使用していたが（前のセクションを参照）、最初の論文では（1905年）彼はmを現在でいう静止質量として扱った。[ 2 ]アインシュタインは「相対論的質量」の式を導出したことはなく、後年、その考えを嫌悪していると表明した。[ 27 ]
大衆の概念を導入するのは良くない明確な定義が与えられない運動物体の質量。静止質量m以外の質量概念を導入しない方が良い。Mを導入する代わりに、運動している物体の運動量とエネルギーの式を述べる方が良い。
—アルバート・アインシュタイン、リンカーン・バーネットへの手紙、1948年6月19日（ LB・オクン（1989）、p.42 [ 5 ]からの引用）
相対論的質量の概念は、一般向けの科学書や高校および大学の教科書で広く使用されています。オクンやABアロンズなどの著者は、これは時代遅れで紛らわしく、現代の相対論的理論と一致しないとしてこれに反対しています。[ 5 ] [ 28 ] アロンズは次のように書いています。[ 28 ]
長年にわたり、力学の議論に入る際には、相対論的質量、すなわち質量-速度関係の導出から始めるのが慣例であり、これはおそらく今でも教科書における主流の方法である。しかし、近年では、相対論的質量は厄介で疑わしい概念であることがますます認識されるようになってきている。[例えば、Okun (1989)を参照。[ 5 ] ]... 相対論的力学に対する健全かつ厳密なアプローチは、すべてのフレームで運動量の保存を保証する運動量の式を直接導出することである。相対論的質量によるのではなく。
カール・G・アドラーも相対性理論における質量について同様に否定的な立場をとっている。この主題について彼は、「特殊相対性理論への質量の導入は、歴史的な偶然に過ぎなかった」と述べ、E = mc² が広く知られていること、そしてこの方程式に対する一般の人々の解釈が、高等教育におけるその教え方に大きく影響を与えていることを指摘している。[ 29 ]彼は代わりに、静止と相対論的質量の違いを明示的に教えるべきだと考えており、そうすれば学生は「慣性のほとんどの議論において」質量が不変であると考えるべき理由を知ることができる。
テイラーやウィーラーといった現代の多くの著者は、相対論的質量の概念を全く使用することを避けている。
「相対論的質量」という概念は誤解されやすい。そのため、我々はそれを使用しない。第一に、それは4元ベクトルの大きさに属する「質量」という名称を、全く異なる概念である4元ベクトルの時間成分に適用している。第二に、物体の速度や運動量に伴うエネルギーの増加が、物体の内部構造の変化と関連しているように見せかけている。実際には、速度に伴うエネルギーの増加は物体自体ではなく、時空そのものの幾何学的性質に由来する。[ 12 ]
時空はミンコフスキー空間の無限の幾何学を持つが、速度空間はcによって制限され、相対論的質量がユークリッド幾何学の重心座標におけるニュートン質量と同様の役割を果たす双曲幾何学の幾何学を持つ。[ 30 ]速度と双曲幾何学のつながりにより、3つの速度に依存する相対論的質量を4つの速度のミンコフスキー形式に関連付けることができる。[ 31 ]
{{citation}}ISBN / 日付の不一致 (ヘルプ)再発行 (1987)、ニューヨーク:ドーバー、ISBN 0-486-65383-8。