キャベンディッシュ実験

1797年から1798年にかけてイギリスの科学者ヘンリー・キャヴェンディッシュによって行われたキャヴェンディッシュの実験は、実験室で質量間の重力を測定した最初の実験であり^{[1] 、}万有引力定数の正確な値を初めて得た実験でもある。^{[2] [3] [4]}当時の単位の慣習により、万有引力定数はキャヴェンディッシュの著作には明示的に現れていない。その代わりに、結果は当初、地球の相対密度^[5]または地球の質量として表現された。彼の実験により、これらの地球物理学的定数の正確な値が初めて得られた。

この実験は1783年以前に地質学者ジョン・ミッシェルによって考案され、^{[6] [7]}彼はこの実験のためにねじり天秤装置を製作した。しかし、ミッシェルは1793年にこの実験を完成しないまま亡くなった。彼の死後、この装置はフランシス・ジョン・ハイド・ウォラストンに渡り、その後キャベンディッシュに渡った。キャベンディッシュは装置を再建したが、ミッシェルの当初の計画に忠実に従った。その後キャベンディッシュはこの装置を使って一連の測定を行い、その結果を1798年に王立協会の哲学論文集^{に報告した。 [8]}

この装置は、水平に吊り下げられた6フィート（1.8メートル）の木の棒で作られたねじり天秤で、両端に直径2インチ（51ミリメートル）、重さ1.61ポンド（0.73キログラム）の鉛の球が1つずつ付いている。別々に吊り下げられた2つの巨大な12インチ（300ミリメートル）、重さ348ポンド（158キログラム）の鉛の球は、小さい球から8.85インチ（225ミリメートル）離れたところまたはどちらかの側に配置できる。^[9]この実験では、小さな球と大きな球の間のかすかな重力引力を測定した。この引力によって、ねじり天秤の棒は約0.16インチ（吊り下げワイヤーが硬い場合はわずか0.03インチ）偏向した。

2 つの大きなボールは、ねじり天秤の棒から離れたところ、またはどちらかの側に配置できます。小さなボールに対するそれらの相互引力により、アームが回転し、吊り下げワイヤーがねじれます。ワイヤーのねじり力が、大きな鉛球と小さな鉛球の間の複合重力引力とバランスする角度に達するまで、アームは回転します。ロッドの角度を測定し、特定の角度でのワイヤーのねじり力 (トルク) を知ることで、キャベンディッシュは質量のペア間の力を決定することができました。小さなボールに対する地球の重力は、重さを量ることで直接測定できるため、2 つの力の比率から、ニュートンの万有引力の法則を使用して、地球の相対密度を計算することができました。

キャベンディッシュは地球の密度が5.448 ± 0.033倍の水（ただし、1821年にフランシス・ベイリーが発見した単純な計算ミスによるもので、誤った値は5.480 ± 0.038という値が彼の論文に記載されている。^{[10] [11]}現在認められている値は5.514 g/cm3で^ある。

ワイヤーのねじれ係数、つまり所定のねじれ角に対してワイヤーが及ぼすトルクを求めるために、キャベンディッシュは、ワイヤーのねじれに逆らってゆっくりと時計回りと反時計回りに回転するバランス棒の固有振動周期を計測した。最初の 3 回の実験では周期は約 15 分で、次の 14 回の実験では周期はその半分の約 7.5 分だった。周期が変わったのは、3 回目の実験後にキャベンディッシュがより硬いワイヤーを入れたためである。ねじれ係数は、これと天秤の質量および寸法から計算できる。実際には、棒は静止していなかったため、キャベンディッシュは振動中の棒のたわみ角度を測定する必要があった。^[12]

キャベンディッシュの装置は当時としては驚くほど高感度であった。^[10]ねじり天秤をひねる力は非常に小さく、ねじり天秤の質量は1.74 × 10 ⁻⁷  N ^[13]（わずか0.0177ミリグラムの重さ）で、これは小さな球の重さの約50,000,000分の1に相当します。[ 14 ]^気流や温度変化が測定に影響するのを防ぐため、キャヴェンディッシュは装置全体を、幅約1.98メートル、高さ約1.27メートル、厚さ約14センチのマホガニーの箱[1] の中に入れ、敷地内の密閉された小屋の中に置きました。 小屋の壁にある2つの穴から、キャヴェンディッシュは望遠鏡を使ってねじり天秤の水平棒の動きを観察しました。 重要な観察対象はもちろんねじり天秤の棒のたわみで、キャヴェンディッシュの測定では約0.16インチ（主に使用されている硬いワイヤーではわずか0.03インチ）でした。^[15]キャベンディッシュは、棒の端にバーニヤ目盛りを付けて、この小さなたわみを0.01インチ（0.25 mm）以上の精度で測定することができました。 ^{[16]キャベンディッシュの結果の精度は、1895年の}CVボーイズの実験 まで超えられませんでした。やがて、ミッシェルのねじり天秤は万有引力定数（G ）を測定するための主流の技術となり、現代のほとんどの測定では今でもそのバリエーションが使用されています。^[17]

キャベンディッシュの結果は、惑星の核が金属でできているというさらなる証拠となった。この考えは、チャールズ・ハットンが1774年のシーハリオン実験の分析に基づいて初めて提唱した。^[18]キャベンディッシュの結果5.4 g·cm ^{−3はハットンの結果より23%大きく、液体}鉄の密度の80%に近く、地球の外殻の密度より80%高いため、高密度の鉄の核が存在することを示唆している。^[19]

ニュートンの重力を重力定数で表す方法は、キャベンディッシュの時代よりずっと後まで標準的ではありませんでした。実際、 Gに関する最初の言及は、キャベンディッシュの研究から75年後の1873年にあります。^[20]

キャベンディッシュは地球の密度という観点からこの結果を表現した。彼は書簡の中でこの実験を「世界の重さを量る」と表現した。後の著者らは彼の結果を現代的な言葉で言い換えた。^{[21] [22] [23]}

${\displaystyle G=g{\frac {R_{\text{地球}}^{2}}{M_{\text{地球}}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\text{地球}}\rho _{\text{地球}}}}\,}$

SI単位系に変換すると、キャベンディッシュの地球の密度の値は5.448 g cm ⁻³となり、

G =6.74 × 10 ⁻¹¹  m ³  kg ^–1  s ⁻²、^[24]

これは2014年のCODATA値とわずか1%しか変わらない。6.67408 × 10 ⁻¹¹  m ³  kg ⁻¹  s ⁻²。^[25] 今日、物理学者はしばしば、重力定数が異なる形をとる単位を使用します。宇宙力学で使用されるガウス重力定数は定義された定数であり、キャベンディッシュの実験はこの定数の測定と見なすことができます。キャベンディッシュの時代には、物理​​学者は質量と重量に同じ単位を使用しており、事実上、gを標準加速度としていました。当時、R _earthがわかっていたので、ρ _{earth は逆重力定数の役割を果たしました。そのため、当時、地球の密度は非常に求められていた量であり、1774年の}シーハリオン実験など、それを測定する試みは以前にもありました。

以下はキャベンディッシュが使用した方法ではありませんが、現代の物理学者が彼の実験の結果を計算する方法を説明しています。^{[26] [27] [28]}フックの法則から、ねじりワイヤーのトルクは天秤の偏向角に比例します。トルクは、ワイヤーのねじり係数です。ただし、反対方向のトルクも質量の重力によって生成されます。これは、大きなボールが小さなボールに及ぼす引力と吊りワイヤーまでの距離 L/2 の積として表すことができます。2 つのボールがあり、それぞれが距離 ⁠ で力F を受けているため、${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \kappa \theta}$${\displaystyle \kappa}$ら/2⁠天秤の軸から、重力によるトルクはLFです。平衡状態（天秤が角度 で安定した状態）では、これら 2 つのトルク源が釣り合うため、トルクの合計量はゼロでなければなりません。したがって、上記の式で与えられた大きさを等しくすることができ、次のようになります。 ${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle \kappa \theta \ =LF\,}$

Fの場合、ニュートンの万有引力の法則を使用して、大きなボールと小さなボールの間の引力を表します。

${\displaystyle F={\frac {GmM}{r^{2}}}\,}$

上記の最初の式に Fを代入すると、

${\displaystyle \kappa \theta \ =L{\frac {GmM}{r^{2}}}\qquad \qquad \qquad (1)\,}$

ワイヤーのねじり係数（）を求めるために、キャベンディッシュはねじり天秤の 固有共振周期Tを測定した。${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}}$

ねじり梁自体の質量が無視できると仮定すると、天秤の慣性モーメントは小さなボールによるものだけになります。それらをそれぞれ軸から L/2 離れた質点として扱うと、次のようになります。

${\displaystyle I=m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}=2m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{2}}\,}$、

など：

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {mL^{2}}{2\kappa }}}\,}$

これを について解き、(1) に代入し、Gについて整理すると、結果は次のようになる。 ${\displaystyle \kappa}$

${\displaystyle G={\frac {2\pi^{2}Lr^{2}\theta}{MT^{2}}}\,}$。

Gが判明したら、地球表面にある物体が地球自体に及ぼす引力を利用して、地球の質量と密度を計算できます。

${\displaystyle mg={\frac {GmM_{\rm {地球}}}{R_{\rm {地球}}^{2}}}\,}$

${\displaystyle M_{\rm {地球}}={\frac {gR_{\rm {地球}}^{2}}{G}}\,}$

${\displaystyle \rho _{\rm {地球}}={\frac {M_{\rm {地球}}}{{\tfrac {4}{3}}\pi R_{\rm {地球}}^{3}}}={\frac {3g}{4\pi R_{\rm {地球}}G}}\,}$

ウィキメディア・コモンズには、キャベンディッシュ実験に関連するメディアがあります。

• ファインマン物理学講義におけるキャベンディッシュの実験
• 地下室の横向き重力、シチズン・サイエンティスト、2005 年 7 月 1 日。自家製のキャベンディッシュ実験。結果の計算と、風や静電気による誤差を排除するために必要な予防措置を示しています。
• 「Big 'G'」、Physics Central、2013 年 12 月 8 日取得。ワシントン大学で、キャベンディッシュ法のバリエーションを使用して重力定数を測定する実験。
• ワシントン大学Eöt-Washグループ。「ニュートンの重力定数をめぐる論争」。2016年3月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年12月8日閲覧。Gの測定の現状について説明します。
• キャベンディッシュのねじり天秤の模型。2007 年 8 月 28 日にロンドンの科学博物館で取得。