最も完璧な魔方陣

n次で最も完全な魔方陣は、1 からn ²までの数字を含み、さらに次の 2 つの特性を持つ魔方陣です。

1. 各 2 × 2 のサブスクエアの合計は 2 sです。ここでs  =  n ²  + 1 です。
2. sへの（主要な）対角和に沿ってn /2離れたすべての整数のペア。

次の各要素に 1 を加えると、12 × 12 の最も完全な魔方陣が 2 つ得られます。

       [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] 
 [1 、]    64 92 81 94 48 77 67 63 50 61 83 78
  [2、]    31 99 14 97 47 114 28 128 45 130 12 113
  [3,]    24 132 41 134 8 117 27 103 10 101 43 118
  [4,]    23 107 6 105 39 122 20 136 37 138 4 121
  [5,]    16 140 33 142 0 125 19 111 2 109 35 126
  [6,]    75 55 58 53 91 70 72 84 89 86 56 69
  [7,]    76 80 93 82 60 65 79 51 62 49 95 66
  [8,]   115 15 98 13 131 30 112 44 129 46 96 29
  [9,]   116 40 133 42 100 25 119 11 102 9 135 26
 [10,]   123 7 106 5 139 22 120 36 137 38 104 21
 [11,]   124 32 141 34 108 17 127 3 110 1 143 18
 [12,]    71 59 54 57 87 74 68 88 85 90 52 73

       [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] 
 [1 、]     4 113 14 131 3 121 31 138 21 120 32 130
  [2、]   136 33 126 15 137 25 109 8 119 26 108 16
  [3,]    73 44 83 62 72 52 100 69 90 51 101 61
  [4,]    64 105 54 87 65 97 37 80 47 98 36 88
  [5,]     1 116 11 134 0 124 28 141 18 123 29 133
  [6,]   103 66 93 48 104 58 76 41 86 59 75 49
  [7,]   112 5 122 23 111 13 139 30 129 12 140 22
  [8,]    34 135 24 117 35 127 7 110 17 128 6 118
  [9,]    43 74 53 92 42 82 70 99 60 81 71 91
 [10,]   106 63 96 45 107 55 79 38 89 56 78 46
 [11,]   115 2 125 20 114 10 142 27 132 9 143 19
 [12,]    67 102 57 84 68 94 40 77 50 95 39 85

最も完全な魔方陣はすべて汎魔方陣です。

1 次魔方陣の単純なケースを除けば、最も完全な魔方陣はすべて 4 n次です。Kathleen Ollerenshawと David S. Brée は著書の中で、すべての最も完全な魔方陣の構築と列挙の方法を示しています。また、可逆魔方陣と最も完全な魔方陣の間には1 対 1 の対応があることも示しています。

n = 36の場合、本質的に異なる最も完全な魔方陣は 約 2.7 × 10 ^{44 個}  あります。

• キャスリーン・オラーレンショウ、デイビッド・S・ブリー：最も完全なパンディアゴナル魔方陣：その構築と列挙、サウスエンド・オン・シー：数学とその応用研究所、1998年、186ページ、ISBN 0-905091-06-X
• TVPadmakumar、Number Theory and Magic Squares 、Sura books、 Wayback Machineで 2010-02-25 にアーカイブ、インド、2008 年、128 ページ、ISBN 978-81-8449-321-4

• TV Padmakumar による「STRONGLY MAGIC SQUARES」
• OEIS : A051235整数列のオンライン百科事典より、4n 次数の本質的に異なる最も完全な汎対角魔方陣の数