部屋の面積

トーマス・ジェラルド・ルームにちなんで名付けられたルームスクエアは、次の式で表される n + 1 個の異なるシンボルで埋められたn行n列の配列です。

配列の各セルは空であるか、またはシンボルセットからの順序付けられていないペアを含む。
各シンボルは配列の各行と各列に1回ずつ出現する
順序付けられていないシンボルのペアはすべて、配列の 1 つのセルにのみ出現します。

たとえば、シンボルの集合が0 から 7 までの整数である場合の、順序 7 の Room 正方形は次のようになります。

nが奇数で 3 または 5 でない場合にのみ、部屋の正方形 (または複数の正方形) が存在することが知られています。

歴史

7次のルームスクエアは、19世紀半ばにロバート・リチャード・アンスティスがカークマンの女子高生問題に対する追加の解法を提供するために使用し、アンスティスはまたルームスクエアの無限族を構築したが、彼の構築は注目されなかった。 ^[1] トーマス・ジェラルド・ルームは1955年に発表されたノートでルームスクエアを再発明し、^[2]彼の名にちなんで名付けられた。ルームはこの主題に関する最初の論文で、nは奇数で3または5と等しくないことを指摘したが、これらの条件が必要かつ十分であることが示されたのは1973年のWD・ウォリスの研究までだった。^[3]

アプリケーション

ルームの論文より以前、ルームスクエアはデュプリケートブリッジトーナメントのディレクターによってトーナメントの構成に使用されていました。この用途では、ルームスクエアはハウエルローテーションとして知られています。スクエアの列はテーブルを表し、各テーブルにはそのテーブルで対戦する各チームのペアがプレイするカードの配り方が記載されています。スクエアの行はトーナメントのラウンドを表し、スクエアのセル内の数字は、そのセルが表すテーブルとラウンドで対戦する予定のチームを表します。

アーチボールドとジョンソンは実験デザインを構築するためにルームスクエアを使用した。^[4]

ルームスクエアと、準群、ラテン方陣、グラフ因数分解、シュタイナー三重体系などの他の数学的対象との間には関連性がある。^[5]

参照

参考文献

^ オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「ロバート・アンスティス」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学。
^ ルーム、TG (1955)、「新しいタイプの魔方陣」、数学ガゼット、39 :307、doi :10.2307/3608578、JSTOR 3608578、S2CID 125711658
^ ヒルシュフェルド、JWP ; ウォール、GE (1987)、「トーマス・ジェラルド・ルーム。1902年11月10日～1986年4月2日」、王立協会フェロー伝記、33 :575～601、doi :10.1098/rsbm.1987.0020、JSTOR 769963、S2CID 73328766; また、オーストラリア科学史記録 7 (1):109–122、doi :10.1071/HR9870710109にも掲載されている。要約版はオーストラリア科学アカデミーのウェブサイトでオンラインで閲覧できる。
^ Archbold, JW; Johnson, NL (1958)、「ルームの正方形の構築と実験設計への応用」、Annals of Mathematical Statistics、29 : 219–225、doi : 10.1214/aoms/1177706719、MR 0102156
^ Wallis, WD (1972)、「パート 2: ルームスクエア」、Wallis, WD、Street, Anne Penfold、Wallis, Jennifer Seberry (編)、組合せ論: ルームスクエア、和のない集合、アダマール行列、数学講義ノート、第 292 巻、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 30–121、doi :10.1007/BFb0069909、ISBN 0-387-06035-9特に33ページを参照

さらに読む

Dinitz, JH; Stinson, DR (1992)、「Room squares and related designs」、Dinitz, JH; Stinson, DR (編)、Contemporary Design Theory: A Collection of Surveys、Wiley–Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization、John Wiley & Sons、pp. 137–204、ISBN 0-471-53141-3
ワイスシュタイン、エリック W.、「ルームスクエア」、MathWorld

[anstice-1] オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「ロバート・アンスティス」、マクチューター数学史アーカイブ、セント・アンドリュース大学。

[room-2] ルーム、TG (1955)、「新しいタイプの魔方陣」、数学ガゼット、39 :307、doi :10.2307/3608578、JSTOR 3608578、S2CID 125711658

[hw-3] ヒルシュフェルド、JWP ; ウォール、GE (1987)、「トーマス・ジェラルド・ルーム。1902年11月10日～1986年4月2日」、王立協会フェロー伝記、33 :575～601、doi :10.1098/rsbm.1987.0020、JSTOR 769963、S2CID 73328766; また、オーストラリア科学史記録 7 (1):109–122、doi :10.1071/HR9870710109にも掲載されている。要約版はオーストラリア科学アカデミーのウェブサイトでオンラインで閲覧できる。

[aj-4] Archbold, JW; Johnson, NL (1958)、「ルームの正方形の構築と実験設計への応用」、Annals of Mathematical Statistics、29 : 219–225、doi : 10.1214/aoms/1177706719、MR 0102156

[wallis-5] Wallis, WD (1972)、「パート 2: ルームスクエア」、Wallis, WD、Street, Anne Penfold、Wallis, Jennifer Seberry (編)、組合せ論: ルームスクエア、和のない集合、アダマール行列、数学講義ノート、第 292 巻、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. 30–121、doi :10.1007/BFb0069909、ISBN 0-387-06035-9特に33ページを参照