反魔法の正方形

n次の反魔方陣とは、1からn2^までの数字を正方形に並べたもので、n行、n列、2つの対角線の合計が2n  +2の連続した整数の列を形成する。最小の反魔方陣の次数は4である。^[1]反魔方陣は、各行、列、対角線の合計が同じ値になる必要がある魔方陣 とは対照的である。 ^[2]

これら4次の反魔法の正方形の両方において、行、列、対角線の合計は29〜38の範囲の10の異なる数字になります。^[2]

左側の5次の反魔法の正方形では、行、列、対角線の合計は60から71の間の数字になります。^[2]右側の反魔法の正方形では、行、列、対角線の合計は59から70の範囲の数字になります。^[1]

疎な反魔方陣（ SAM）は、非負整数のn行n列の正方行列で、その非ゼロ要素は、ある の連続する整数であり、その行の合計と列の合計は、連続する整数の集合を構成する。^{[3]対角要素が連続する整数の集合に含まれている場合、その配列は}疎な完全反魔方陣（STAM） と呼ばれる。STAMは必ずしもSAMではないことに注意し、その逆もまた同様である。 ${\displaystyle 1,\ldots ,m}$${\displaystyle m\leq n^{2}}$

n × nの正方形を 1 からn ²までの数字で埋め、行、列、対角線の合計がすべて異なる値になるようにしたものをヘテロスクエアと呼びます。^[4] （つまり、行、列、対角線の合計に特定の値が必要ない緩和形です。） 次数 2 のヘテロスクエアはありませんが、次数n  ≥ 3 の任意の次数に対してヘテロスクエアが存在します。n が奇数の場合、正方形をらせん状に埋めるとヘテロスクエアが生成されます。^[4]また、nが偶数の場合、1 からn ²までの数字を順番に書き、1 と 2 を入れ替えるとヘテロスクエアが生成されます。次数 3 の本質的に異なるヘテロスクエアは、正確に 3120 個あると考えられています。^[5]

• 魔方陣
• ＪＡリンドン

• Weisstein、Eric W.「Antimagic Square」。MathWorld。