マジックハイパーキューブ

数学において、マジックハイパーキューブは、魔方陣とマジックキューブのk次元一般化であり、各柱（任意の軸に沿って）と主空間対角線上の数字の合計がすべて同じであるn × n × n × ... × nの整数配列です。共通の合計はハイパーキューブのマジック定数と呼ばれ、M _k ( n ) と表記されることもあります。マジックハイパーキューブが 1、2、...、n ^kの数字で構成されている場合、マジックナンバーは

${\displaystyle M_{k}(n)={\frac {n(n^{k}+1)}{2}}}$。

k = 4の場合、魔法の超立方体は魔法の四次元方陣と呼ばれ、魔法の数列はOEIS : A021003で与えられます。

魔方陣の辺の長さnはその位数と呼ばれます。位数 3 の 4、5、6、7、8 次元の魔方陣は、JR ヘンドリックスによって構築されました。

マリアン・トレンクラーは、次の定理を証明しました: p > 1 かつnが2 と異なるかp = 1 の場合にのみ、 n次数のp次元マジックハイパーキューブが存在します。マジックハイパーキューブの構築は、この証明から得られます。

R プログラミング言語には、 nが4 の倍数 library(magic)である任意の次元のマジック ハイパーキューブを作成するモジュールが含まれています。

さらに、すべての断面の対角線上の数字の合計が超立方体の魔法数になる場合、その超立方体は完全魔法超立方体と呼ばれます。そうでない場合は、半完全魔法超立方体と呼ばれます。数n は魔法超立方体の位数と呼ばれます。

この「完全」の定義は、完全マジックキューブの古い定義の 1 つが使用されていることを前提としています。超立方体のユニバーサル分類システム(John R. Hendricks) では、任意の次元の超立方体について、超立方体が完全マジックと見なされるためには、すべての可能な直線の合計が正しくなければなりません。完全という用語との混同のため、現在では、すべての可能な直線の合計がSになるすべてのマジック超立方体に対して、ナシックという用語が好まれています。ナシックは、1905 年に C. プランクによってこのように定義されました。ナシックマジック超立方体は⁠1/2⁠ m ⁿ個のセルそれぞれを通過するm個の数字の(3 ⁿ − 1)行。

ナシックマジックハイパーキューブは、各セルを通るすべての可能な直線の合計がS = ⁠になるという追加の制約を持つマジックハイパーキューブです。m ( m ⁿ +1/2⁠ ここで、Sは魔法定数、m は次数、n はハイパーキューブの次元です。

あるいは、もっと簡潔に言えば、すべての汎r角形はr = 1... nに対して正しく和が取れます。この定義は、ヘンドリックスの完全定義と同じですが、ボイヤー/トランプ定義とは異なります。

ナシックという用語は、超立方体の任意のセルを通る正しく合計されたパス（線）の数がP = ⁠である魔法の超立方体のすべての次元に適用されます。3 ⁿ − 1/2⁠ .

パン対角魔方陣は、 4 本の魔力線が各m ^{2セルを通過するため、}ナシック方陣になります。これが AH フロストによるナシックの元の定義です。ナシック魔方陣は、各m ³セルを 13 本の魔力線が通過します。(この立方体には、次数mの 9 m 個のパン対角魔方陣も含まれています。)ナシック魔方陣は、各m ⁴セルを 40 本の魔力線が通過する、という具合です。

1866年と1878年に、AHフロスト牧師は、一般にパン対角線と呼ばれ、しばしば完全魔方陣と呼ばれるタイプの魔方陣をナシックと名付けました。彼は次に、現在パン対角線に分類される7次の立方体 と、パン三角線に分類される8次の立方体でこの概念を実証しました。^{[1] [2]} 1878年の別の論文では、別のパン対角魔方陣と、13 m直線がすべて正しく合計される立方体^{[3] 、}つまりヘンドリックス完全を示しました。^[4]彼は、インドのマハラシュトラ州ナシック地区デオラリー出身の偉大なインド人数学者D.R. カプレカールに敬意を 表して、これらすべての立方体をナシックと呼びました。 1905年、プランク博士は、彼の著書「ナシックの経路理論」でナシックの考えを詳しく説明しました。

類推から、高次元では、ナシックという用語を、平面に平行な断面の対角線に限定するのではなく、任意の対角線に平行な魔法の総和の存在を意味するものとして使用する必要があることがわかります。この用語は、本論文全体でこの広い意味で使用されています。

—  C. プランク、MA、MRCS、経路理論ナシック、1905年^[5]

1917 年にプランク博士はこの主題について再び著述しました。

^{ナシックの類推を高次元にまで広げると、k 折り畳みの任意のセルを通るマジック ディレクションの数は ½(3 k} -1)になるはずだということは容易に理解できます。

—  WSアンドリュース『魔方陣と魔方陣』ドーバー出版、1917年、366ページ^[6]

1939年、B.ロッサーとRJウォーカーは、悪魔的な（完全な）魔方陣と魔方陣立方体に関する一連の論文を発表しました。彼らは、これらの魔方陣には13m2の正しい合計線が含まれていると特に言及しました。^また、立方体の面に平行な3mのパン対角魔方陣と、空間対角面に平行な6mのパン対角魔方陣がありました。^[7]

物事を把握しやすくするために、特別な表記法が開発されました。

• ${\displaystyle \left[{}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right]}$: ハイパーキューブ内の位置
• ${\displaystyle \left\langle {}_{k}i;\ k\in \{0,\cdots ,n-1\};\ i\in \{0,\cdots ,m-1\}\right\rangle }$: ハイパーキューブを通るベクトル

注: 位置の表記は、その位置の値にも使用できます。適切な場合は、次元と順序を追加して、ⁿ [ _k i ] _{mとすることができます。}

示されているように、k は次元を通過しますが、座標i はすべての可能な値を通過します。マジック ハイパーキューブは n 次元のモジュラー空間に存在するため、 値iが範囲外の場合は、 mの適切な倍数を加算または減算するだけで、範囲内に戻されます。

括弧内には複数のk が存在する可能性がありますが、これらは同じ値を持つことはできません (順序は不定ですが)。これにより、次の式が等しくなります。

${\displaystyle \left[{}_{1}i,{}_{k}j\right]=\left[{}_{k}j,{}_{1}i\right]}$

もちろん、kが与えられると、1 つの値iも参照されます。

特定の座標値が指定された場合、他の値は 0 として扱われます。これは特に、pe を使用して 'k' の数が制限されている場合に当てはまります。# k = 1 の場合、次のようになります。

${\displaystyle \left[{}_{k}1;\ \#k=1\right]=\left[{}_{k}1\ \ {}_{j}0\ ;\ \#k=1;\ \#j=n-1\right]}$ （「軸」隣接） ${\displaystyle \left[{}_{k}0\right]}$

(#j=n-1 は未指定のままにできます) j は [0..k-1,k+1..n-1] 内のすべての値を実行します。

さらに、'k' と 'i' は制限なしですべての可能な値を実行し、組み合わせでは同じ文字は同じ値を想定します。これにより、ハイパーキューブ内の特定の線を指定できるようになります (パスファインダー セクションの r 角形を参照)

注: 私の知る限り、この表記法はまだ一般的に使用されていません(?)。ハイパーキューブは一般的にこの特定の方法で分析されません。

さらに、「perm(0..n-1)」は、0..n-1 の n 個の数値の 順列を指定します。

より具体的な構築方法の他に、より一般的な構築方法が 2 つあります。

この構成は、チェス盤の馬 (ベクトル ) の動きをより一般的な動き (ベクトル) に一般化します。この方法は位置 P ₀から始まり、さらに数字が順番に位置に配置され、(m ステップ後) すでに占有されている位置に到達すると、次の空いている位置を見つけるためにさらにベクトルが必要になります。したがって、この方法は n 行 n+1 列の行列で指定されます。 ${\displaystyle \langle 1,2\rangle ,\langle 1,-2\rangle ,\langle -1,2\rangle ,\langle -1,-2\rangle }$${\displaystyle \langle {}_{k}i\rangle }$${\displaystyle V_{0}}$

${\displaystyle [P_{0},V_{0}\dots V_{n-1}]}$

これにより、数値 'k' が次の位置に配置されます。

${\displaystyle P_{k}=P_{0}+\sum _{l=0}^{n-1}((k\backslash m^{l})\ \%\ m)V_{l};\quad k=0\dots m^{n}-1.}$

C. プランクは1905 年の論文「パス ナシックの理論」で、この方法で「パス ナシック」(または現代の完全) ハイパーキューブを作成するための条件を示しています。

(モジュラー方程式)。この方法も n 行 n+1 列の行列で指定されます。ただし、今回は n+1 ベクトル [x ₀ ,..,x _n-1 ,1] を乗算し、この乗算後に結果を m で割って n (ラテン) ハイパーキューブを実現します。

LP k = ( l=0 Σ n-1 LP k,l x l + LP k,n ) % m

基数 m の数字 (「数字」とも呼ばれる)。これらの LP _{kに対しては、通常、これらの LP k}がハイパーキューブに結合される前に、 「数字の変更」(つまり、基本的な操作) が適用されます。

n H m = k=0 Σ n-1 LP k m k

JRHendricks はモジュラー方程式を頻繁に使用します。さまざまな品質のハイパーキューブを作成するための条件は、http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia のいくつかの箇所 (特に p セクション) で確認できます。

どちらの方法もハイパーキューブを数字で埋めますが、ナイトジャンプは（適切なベクトルが与えられれば）すべての数字が存在することを保証します。ラテン語の処方箋は、構成要素が直交している場合（2つの数字が同じ位置を占めない）のみです。

複利計算にはさまざまな方法がありますが、その中でも乗算^[8]は最も基本的な方法だと考えられます。基本的な乗算は次のように表されます。

n H m 1 * n H m 2  : n [ k i] m 1 m 2 = n [ [[ k i \ m 2 ] m 1 m 1 n ] m 2 + [ k i % m 2 ] m 2 ] m 1 m 2

ほとんどの複合方法は、上記のバリエーションとして考えることができます。ほとんどの修飾子は乗算に対して不変であるため、たとえば、上記の式にⁿ H _{m 2}の任意のアスペクト変数を配置できます。さらに、結果に対して操作を適用して品質を向上させることができます。したがって、JR Hendricks / M. Trenklar の倍加を指定できます。これらはこの記事の範囲を超えています。

ハイパーキューブはn! 2 ^{n 個の}アスペクトバリアントを知っています。これらは座標反転 ([ _k i] --> [ _k (-i)]) と座標順列 ([ _k i] --> [ _perm[k] i]) によって取得され、実質的にアスペクトバリアントが得られます。

n H m ~R perm(0..n-1) ; R = k=0 Σ n-1 ((reflect(k)) ? 2 k  : 0) ; perm(0..n-1) 0..n-1の順列

ここで、reflect(k) が true となるのは、座標 k が反射される場合のみです。その場合のみ、2 ^{k が}R に追加されます。簡単にわかるように、n 座標のみが反射可能で、2 ^{n が}説明されます。n 座標の n! 順列は、「アスペクト バリアント」の総量の他の要因を説明します。

アスペクトの異形は、一般的には等しいと見なされます。したがって、任意のハイパーキューブは、次のように「通常の位置」で表すことができます。

[ k 0] = min([ k θ ; θ ε {-1,0}]) (反射による)
[ k 1 ; #k=1] < [ k+1 1 ; #k=1] ; k = 0..n-2 (座標順列による)

（ここで明示的に述べられている：[ _k 0] すべてのコーナーポイントの最小値。軸番号に基づいて順番に軸隣接点）

より具体的な操作に加えて、以下はより一般的な性質のものである。

• #[perm(0..n-1)]  : コンポーネントの順列
• ^[perm(0..n-1)]  : 座標の置換 (n == 2: 転置)
• _2^軸[perm(0..m-1)]  : 一角置換 (軸 ε [0..n-1])
• =[perm(0..m-1)]  : 桁変更

注: 「#」、「^」、「_」、「=」は表記の重要な部分であり、操作セレクターとして使用されます。

成分の交換として定義され、m ^{perm(k)の係数m kを}変化させる。n個の成分超立方体があるため、順列はこれらのn個の成分にわたって行われる。

_{座標 [ k} i] を [ _perm(k) i] に交換するには、n 個の座標があるため、これらの n 方向にわたる置換が必要です。転置(通常は^tで示される) という用語は 2 次元行列で使用されますが、一般的には「座標置換」の方が適しているかもしれません。

指定された「軸方向」に沿った[ _k i ] から [ _k perm(i) ] への変化として定義されます。さまざまな軸に沿った等しい順列は、因子 2 ^{axis を}追加することによって組み合わせることができます。したがって、任意の r に対してあらゆる種類の r 角形順列が定義されます。すべての可能性は、m 個の数の対応する順列によって与えられることが簡単にわかります。

反射は特別なケースである ことに注意してください。

~R = _R[n-1,..,0]

さらに、すべての軸が同じ順列（R = 2 ⁿ -1）を経ると、 n角形順列が達成されます。この特殊なケースでは、通常、「R」は省略されるため、次のようになります。

_[perm(0..n-1)] = _(2 n -1)[perm(0..n-1)]

通常はコンポーネント レベルで適用され、 perm([ _k i] )の[ _k i ]で指定されるように見えます。コンポーネントは基数 m 桁で埋められるため、m 個の数値の順列はこれらを表す適切な方法です。

JR ヘンドリックスは、ハイパーキューブ内の方向を「パスファインダー」と呼びました。これらの方向は、3 進数システムで最も簡単に次のように表されます。

Pf pただし、p = k=0 Σ n-1 ( k i + 1) 3 k <==> < k i> ; i ε {-1,0,1}

これにより、3 ⁿ方向が得られます。すべての方向が両方向に横断されるため、全範囲の 上半分 [(3 ⁿ -1)/2,..,3 ^{n -1)] に制限できます。}

これらのパスファインダーを使用すると、合計する任意の線 (または r 角形) を指定できます。

[ j 0 k p l q ; #j=1 #k=r-1 ; k > j ] < j 1 k θ l 0 ; θ ε {-1,1} > ; p,q ε [0,..,m-1]

これはすべての（壊れた）r角形を指定するため、pとqの範囲はこの説明から省略できます。したがって、主な（壊れていない）r角形は、上記のわずかな変更によって与えられます。

[ j 0 k 0 l -1 s p ; #j=1 #k+#l=r-1 ; k,l > j ] < j 1 k 1 l -1 s 0 >

解析範囲[0..m ⁿ -1]の数値を持つ超立方体ⁿ H _mには、次のマジックサムがあります。

n S m = m (m n - 1) / 2 です。

より具体的な資格に加えて、次のものが最も重要です。「合計」は、もちろん「魔法の合計に正しく合計する」ことを意味します。

• { r-agonal } : すべての主要な（切れ目のない）r-agonal が合計されます。
• { pan r-agonal } : すべての（壊れていないものも壊れているものも）r-角形が合計されます。
• {マジック} : {1 角形 n 角形}
• {完全} : { r 角形 ; r = 1..n}

注: このシリーズは、ゼロ角形が存在しないため 0 から始まりません。数字は通常の名前の呼び方に対応しています。1 角形 = 一角形、2 角形 = 対角形、3 角形 = 三角形などです。これとは別に、数字は対応するパスファインダーの「-1」と「1」の量に対応します。

ハイパーキューブが、すべての数字を p 乗したときにも合計される場合は、p マルチマジック ハイパーキューブになります。上記の修飾子は、p マルチマジック修飾子の前に追加されるだけです。これにより、修飾子が {r-agonal 2-magic} として定義されます。ここでも、"2-" は通常 "bi" に置き換えられ、"3-" は "tri" などに置き換えられます ("1-magic" は "monomagic" になりますが、"mono" は通常省略されます)。p マルチマジック ハイパーキューブの合計は、ファウルハーバーの公式を使用して、それを m ^n-1で割ることで求められます。

また、通常は「魔法」（つまり、{1 角形 n 角形}）が想定されますが、トランプ/ボイヤーの {対角} キューブは、技術的には {1 角形 2 角形 3 角形} と見なされます。

ナシックマジックハイパーキューブは、 { nasik } を { perfect }と同義語として使用することに関する議論を示しています。しかし、立方体で square 'perfect' を {diagonal} と同義語として使用するという奇妙な一般化も、修飾子を中括弧で囲むことで解決されます。つまり、{ perfect } は {pan r-agonal; r = 1..n} を意味します (前述のとおり)。

いくつかのマイナーな資格は次のとおりです。

• { ⁿコンパクト} : {すべての 2 次サブハイパーキューブの合計は 2 ^{n n} S _m / m になります}
• { ⁿ完全} : {すべてのペアは n 角形を半分に分け、合計は (m ⁿ - 1) に等しい}

{ ⁿ compact } は次のように表記されます: _(k) Σ [ _j i + _k 1] = 2 ^{n n} S _m / m。{ ⁿ complete } は次のように簡単に記述できます: [ _j i] + [ _j i + _k (m/2) ; #k=n ] = m ⁿ - 1ただし:

_(k) Σはすべての可能なkを合計する記号であり、_{k 1 には2} ^{n の}可能性があります。

[ _j i + _k 1]は[ _j i]とそのすべてのr角形近傍を表します。

_{{完全}の場合、[ j} i]の補集合は位置 [ _j i + _k (m/2) ; #k=n ] にあります。

正方形の場合: { ² compact ² complete } は、Dame Kathleen Ollerenshaw が最も完全な魔方陣と呼んだものの「現代的/代替的な修飾語」であり、{ ⁿ compact ⁿ complete } は 2 次元を超える特徴に対する修飾語です。

注意: 一部の人々は、{compact} を{ ⁿ compact } ではなく{ ² compact} と同一視しているようです。この入門記事はこの種の問題について議論する場ではないため、私はこれらの修飾子 (示されているように定義されています) の両方に次元の前置添え字^{n を入れました。{ n} compact} の結果、2 次サブハイパー キューブを加算/減算することで複数の図形を形成できるため、それらの図形も合計されます。このような問題はこの記事の範囲を超えています。

魔法の超梁( n次元の魔法の長方形) は、各方向の順序が異なる可能性がある魔法の超立方体のバリエーションです。したがって、魔法の超梁は、 2 次元の魔法の長方形と 3 次元の魔法のビームを一般化したもの、つまり、魔法の正方形、魔法の立方体、魔法の超立方体のシリーズを模倣したシリーズです。この記事は、魔法の超立方体の記事を詳細に模倣しますが、その記事は単にトピックの紹介として機能します。

次元は文字「n」で表し、ハイパービームの次数は文字「m」（適用される方向の下付き数字が付加される）で表す のが通例です。

• ( n ) 次元 : ハイパービーム内の方向の数。
• ( m _k ) 順序: k = 0, ..., n − 1番目の単角形に 沿った数の総数 。

さらに、この記事では解析的な数値範囲 [0.. _k=0 Π ^n-1 m _k -1] が使用されています。

物事を把握しやすくするために、特別な表記法が開発されました。

• [ _k i; k=[0..n-1]; i=[0..m _k -1] ] : ハイパービーム内の位置
• ⟨⟩ : ハイパービームを通るベクトル

注: 位置の表記は、その位置の値にも使用できます。適切な次元と順序を追加して、ⁿ [ _k i] _{m 0 ,..,m n-1とすることができます。}

より一般的な方法の説明はここに記載されるかもしれません。私はハイパービームをあまり作成しないので、Knightjump または Latin Prescription がここで機能するかどうかはわかりません。ハイパービームが必要な場合には、他のよりアドホックな方法で十分です。

複利計算にはさまざまな方法がありますが、その中でも乗算^[9]は最も基本的な方法だと考えられます。基本的な乗算は次のように表されます。

ⁿ B _{(m..) 1} * ⁿ B _{(m..) 2}  : ⁿ [ _k i] _{(m..) 1 (m..) 2} = ⁿ [ [[ _k i \ m _k2 ]] _{(m..) 1 k=0} Π ^n-1 m _k1 ] _{(m..) 2} + [ _k i % m _k2 ] _{(m..) 2} ] _{(m..) 1 (m..) 2}

(m..) の略称: m ₀ ,..,m _n-1 . (m..) ₁ (m..) _{2 の}略称: m _{0 1} m _{0 2} ,..,m _{n-1 1} m _{n-1 2} .

魔法の合計は次のようになるので、この事実は簡単にわかります。

S _k = m _k ( _j=0 Π ^n-1 m _j - 1) / 2

_{m k の}いずれかの順序が偶数の場合、積は偶数となり、したがって S _{k が}整数になる唯一の方法は、すべての m _kが偶数の場合です。したがって、すべての m _kは偶数か奇数のいずれかです。

_{もちろん、m k} =1の場合は例外で、次のような一般的な恒等式が許されます。

• N _m ^t = N _m,1 * N _1,m
• Nm = N1 _{, m} * _Nm,1

これはこの紹介記事の範囲を超えています

どの数にも補数は 1 つしかないため、方向の 1 つだけが m _k = 2 になります。

ハイパービームは2 ^{n 個の}_{アスペクトバリアントを持っており、これらは座標反射 ([ k} i] → [ _k (-i)])によって得られ、実質的にアスペクトバリアントが得られます。

n B (m 0 ..m n-1 ) ~R  ; R = k=0 Σ n-1 ((reflect(k)) ? 2 k  : 0) ;

ここで、reflect(k) は、座標 k が反転されている場合にのみ true となり、その場合にのみ 2 ^kが R に追加されます。

ビームの異なる方向を等しいと見なす場合、側面の数n! 2 ^{n を}魔法の超立方体と同様に見ることができます。等しい次数の方向は、超ビームの次数に応じて要因に寄与します。これはこの記事の範囲を超えています。

より具体的な操作に加えて、以下はより一般的な性質のものである。

• ^[perm(0..n-1)]  : 座標順列 (n == 2: 転置)
• _2^軸[perm(0..m-1)]  : 一角置換 (軸 ε [0..n-1])

注: 「^」と「_」は表記の重要な部分であり、操作セレクターとして使用されます。

_{座標 [ k} i] を [ _perm(k) i] に交換するには、n 座標があるため、これらの n 方向にわたる順列が必要です。転置(通常^tで示される) という用語は 2 次元行列で使用されますが、一般には「座標順列」の方が適しているかもしれません。

指定された「軸方向」に沿った[ _k i ] から [ _k perm(i) ] への変化として定義されます。 等位のさまざまな軸に沿った等順列は、因子 2 ^{axis を}追加することで組み合わせることができます。 したがって、任意の r に対してあらゆる種類の r 角形順列を定義します。 すべての可能性は、m 個の数の対応する順列によって与えられることが簡単にわかります。

n 角形に制限が考慮されていない場合、魔法の超梁は次のように「通常の位置」で表すことができます。

[ _k i] < [ _k (i+1)] ; i = 0..m _k -2 (一角置換による)

ハイパービームの修飾は、魔法のハイパーキューブの場合ほど発達していません。実際、k 番目の単角方向のみを合計すれば次のようになります。

S _k = m _k ( _j=0 Π ^n-1 m _j - 1) / 2

すべてのk = 0..n-1に対して、ハイパービームが{魔法} であるために

順序が互いに素でない場合、n 角和は次のように制限されます。

S = lcm(m _i  ; i = 0..n-1) ( _j=0 Π ^n-1 m _j - 1) / 2

すべての順序が互いに素であるため、これは最大値に達します。

S _max = _j=0 Π ^n-1 m _j ( _j=0 Π ^n-1 m _j - 1) / 2

以下のハイパービームは特別な目的に使用されます:

ⁿ N _{m 0 ,..,m n-1}  : [ _k i] = _k=0 Σ ^n-1 _k i m _k ^k

このハイパービームは、すべての数の源とみなすことができます。「動的番号付け」と呼ばれる手順では、 この法線を持つすべてのハイパービームの同型性を利用し、源を変更するとハイパービームが変更されます。通常のハイパービームの基本的な乗算は、次数_k=0 Π ^n-1 m ^kの魔法のハイパーキューブの「動的番号付け」で特別な役割を果たします。

ⁿ 1 _{m 0 ,..,m n-1}  : [ _k i] = 1

ここで使用されている「解析的」な数値範囲を「通常の」数値範囲に変更するために通常追加されるハイパービーム。他の定数ハイパービームは、もちろんこのハイパービームの倍数です。

• マジックキューブクラス
• マジックキューブ
  • 完璧な魔法のキューブ
• ジョン・R・ヘンドリックス

• Thomas R. Hagedorn、「魔法のn次元長方形の存在について」、離散数学207（1999）、53-63。
• Thomas R. Hagedorn、「Magic rectangles revisited」、Discrete Mathematics 207 (1999)、65-72 ページ。
• Harvey D. Heinz および John R. Hendricks、『Magic Square Lexicon: Illustrated』、自費出版、2000 年、ISBN  0-9687985-0-0。
• JRHendricks: Magic Squares to Tesseract by Computer、自費出版、1998年、0-9684700-0-9
• プランク、C.、​​MA、MRCS、「経路の理論」ナシック、1905年、私的流通用に印刷。論文の紹介状
• マリアン・トレンクラー、「魔法の長方形」、数学雑誌83(1999)、102-105。

• 魔法百科事典 Aale de Winkel による記事
• マジックキューブとハイパーキューブ - マリアン・トレンクラーが収集した参考文献
  • マリアン・トレンクラーによるマジックキューブ作成アルゴリズム
• multimagie.com クリスチャン・ボイヤーによる記事
• magichypercube.com マジックキューブジェネレーター
• 完璧なマジックキューブとその他の次元の歴史、定義、および例。
• 完璧の別の定義と最近の発見の歴史
• この代替定義についてさらに詳しく説明します。
• 幅広い資料を収録したマジックハイパーキューブ百科事典
• ハイパーキューブの統一分類システム
• マジックキューブとテッセラクト分類に関する野心的な進行中の研究
• ジョン・R・ヘンドリックスの指導のもと書かれた様々な作品
• http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia
• マリアン トレンクラー キューブ-Ref.html
• 中村光敏：レクタングルズ
• ピースキューブ