魔法の六角形

n次魔法六角形は、各辺にn個のセルがある中央の六角形パターンに数字を配置したもので、各行の数字を 3 方向すべてで合計すると、同じ魔法定数Mになります。通常の魔法六角形には、1 から 3 n ²  − 3 n  + 1までの連続した整数が含まれます。通常の魔法六角形は、 n  = 1 (1 つのセルのみで構成されるため、自明です) とn  = 3 の場合にのみ存在します。さらに、3 次解は本質的に一意です。^[1] Meng は、それほど複雑ではない構成的証明を示しています。^[2]

3 次魔法六角形は、「新しい」発見として何度も発表されています。初期の参考文献であり、おそらく最初の発見者は、エルンスト・フォン・ハーゼルベルク (1887) です。

六角形の数字は連続しており、1から まであります。したがって、それらの合計は三角数、つまり ${\displaystyle 3n^{2}-3n+1}$

${\displaystyle s={1 \over {2}}(3n^{2}-3n+1)(3n^{2}-3n+2)={9n^{4}-18n^{3}+18n ^{2}-9n+2 \over {2}}}$

任意の方向（東西、北東南西、または北西南東）に沿ってr  = 2 n − 1 行が走っています 。これらの各行の合計は同じ数Mになります。したがって、

${\displaystyle M={s \over {r}}={9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2 \over {2(2n-1)}}}$

これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle M=\left({\frac {9n^{3}}{4}}-{\frac {27n^{2}}{8}}+{\frac {45n}{16}}-{\frac {27}{32}}\right)+{\frac {5}{32\left(2n-1\right)}}}$

全体を32倍すると

${\displaystyle 32M=72n^{3}-108n^{2}+90n-27+{5 \over 2n-1}}$

これは、 が整数でなければならないことを示しているので、 2 n − 1 は 5 の因数、つまり 2 n − 1 = ±1 または 2 n − 1 = ±5 でなければなりません。この条件を満たすのはとのみであり、これは、次数 1 と 3 の六角形を除いて通常の魔法の六角形が存在しないことを証明しています。 ${\displaystyle {\frac {5}{2n-1}}}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=3}$

3 より大きい次数を持つ通常の魔法の六角形はありませんが、特定の異常な六角形は存在します。この場合、異常とは、1 以外の数列で始まることを意味します。Arsen Zahray は、次の 4 次および 5 次六角形を発見しました。

4 次六角形は 3 で始まり 39 で終わり、行の合計は 111 になります。5 次六角形は 6 で始まり 66 で終わり、行の合計は 244 になります。

15 で始まり、75 で終わり、合計が 305 になる 5 次の六角形は次のようになります。

5 次六角形の場合、合計が 305 を超えることはできません。

5 次元の六角形。ここで「X」は 3 次元の六角形のプレースホルダーで、これで数列が完成します。左側には合計が 38 (1 から 19 までの数字) の六角形が含まれ、右側には合計が 0 (-9 から 9 までの数字) の 26 個の六角形の 1 つが含まれます。詳細については、ドイツ語版 Wikipedia の記事をご覧ください。

6 次六角形を以下に示します。これは、2004 年 10 月 11 日に Louis Hoelbling によって作成されました。

21 から始まり、111 で終わり、合計は 546 です。

この 7 次魔法の六角形は、2006 年 3 月 22 日に Arsen Zahray によってシミュレーテッド アニーリング法を使用して発見されました。

2 から始まり、128 で終わり、合計は 635 です。

8 次マジック六角形は、2006 年 2 月 5 日に Louis K. Hoelbling によって生成されました。

-84 で始まり、84 で終わり、合計は 0 です。

2024 年 9 月 10 日、クラウス・メファートが AI の助けを借りて、次の 9 次魔法六角形を発見しました。

これは -108 で始まり、108 で終わり、合計は 0 です。解は、コードの重要な部分に AI を利用して、著者が作成した Python プログラムによって見つかりました。

次の図に示すように、六角形は三角形で構成することもできます。

このタイプの構成は T 六角形と呼ばれ、六角形の中の六角形よりも多くの特性を持ちます。

上記と同様に、三角形の列は 3 方向に走っており、次数 2 の T 六角形には 24 個の三角形があります。一般に、次数nの T 六角形には三角形があります。これらすべての数の合計は次のように求められます。 ${\displaystyle 6n^{2}}$

${\displaystyle S=3n^{2}(6n^{2}+1)}$

辺がnの魔法のT型六角形を作ろうとすると、r = 2 n 行あるので各行の合計は

${\displaystyle M={\frac {S}{R}}={\frac {3n^{2}(6n^{2}+1)}{2n}}}$

これが整数になるためには、n は偶数でなければなりません。現在までに、次数 2、4、6、8 の魔法の T 六角形が発見されています。最初の魔法の T 六角形は、2003 年 9 月 13 日にジョン ベイカーによって発見された次数 2 の魔法の T 六角形です。それ以来、ジョンはデビッド キングと共同研究を行っており、デビッド キングは次数 2 の非合同な魔法の T 六角形が 59,674,527 個あることを発見しました。

魔法の T 字型六角形には、魔方陣と共通する特性がいくつかありますが、独自の特別な機能もあります。最も驚くべき点は、上向きの三角形の数字の合計が、下向きの三角形の数字の合計と同じであることです (T 字型六角形がどれだけ大きくても)。上記の例では、

17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7

= 5 + 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18

= 150

• Baker. JE および King, DR (2004)「六角形の特性を見つけるための視覚的スキーマの使用」Visual Mathematics、第 5 巻、第 3 号
• ベイカー、JE およびベイカー、AJ (2004)「六角形、自然の選択」アルキメデス、第 4 巻

• 六角形の亀の問題
• 魔法の六芒星