パンダイアゴナル魔方陣

汎対角魔方陣または汎魔方陣（悪魔方陣、悪魔の四角、悪魔の魔方陣とも呼ばれる）は、破断した対角線、つまり四角形の端で折り返されている対角線も魔定数になるという追加の特性を持つ魔方陣です。

パン対角魔方陣は、回転や鏡映の場合だけでなく、行または列を方陣の一方の側から反対側に移動させた場合も、パン対角魔方陣のままです。そのため、パン対角魔方陣には方向性があると考えることができます。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle 8n^{2}}$

3次の非自明な汎対角魔方陣は存在しない ことが示される。

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!\!\;&\!\!a_{13}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!\!\;&\!\!a_{23}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!\!\;&\!\!a_{33}\!\!\\\hline \end{array}}}$

は、魔法定数⁠ ⁠${\displaystyle s}$による汎対角魔法です。 ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33},}$ ⁠${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32},}$と⁠ ⁠ を${\displaystyle a_{13}+a_{22}+a_{31}}$加算すると⁠ ⁠${\displaystyle 3s}$になります。 ⁠ ⁠${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}}$と⁠ ⁠ を${\displaystyle a_{31}+a_{32}+a_{33},}$減算すると⁠ ⁠${\displaystyle 3a_{22}=s}$になります。ただし、3 列目を前に移動して同じ議論を実行すると⁠ ⁠${\displaystyle 3a_{22}=s}$になります。実際、 3 × 3 魔方陣の対称性を使用すると、すべてのセルが⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}s}$に等しくなければなりません。したがって、3 × 3 汎対角魔法方陣はすべて自明である必要があります。

しかし、魔方陣の概念を一般化して数字ではなく幾何学的形状を含めると、リー・サローズが発見した幾何学的魔方陣のように、3 × 3 の汎対角魔方陣が存在します。

最小の非自明な汎対角魔方陣は4×4の正方形である。すべての4×4汎対角魔方陣は、次の形に平行移動対称でなければならない^[1]

各 2 × 2 の小正方形の合計は魔法定数となるため、4 × 4 のパン対角魔法方陣は最も完全な魔法方陣です。さらに、任意の 3 × 3 の正方形の反対側の角にある 2 つの数字の合計は魔法定数の半分になります。したがって、結合性のあるすべての 4 × 4 のパン対角魔法方陣には、重複するセルが存在する必要があります。

1～16の数字を重複なく使った4×4の汎対角魔方陣はすべて、aを1、b、c、d、eをある順序で1、2、4、8とし、何らかの変換を適用することで得られる。例えば、 b = 1 、 c = 2 、 d = 4、e = 8のとき、魔方陣は次のようになる 。

1～16 の数字を重複なく使用した 4 × 4 の汎対角魔方陣の数は 384 です (16 掛ける 24、16 は変換を表し、24 は1、2、4、8 をb、c、d、eに割り当てる 4 通りの方法を表します)。

5 × 5 のパン対角魔方陣は数多く存在します。4 × 4 のパン対角魔方陣とは異なり、これらは結合可能です。以下は 5 × 5 の結合パン対角魔方陣です。

5 × 5 のパン対角魔方陣は、行、列、対角線に加えて、4 つの「五点形」パターンでその魔定数も示します。上記の例では、次のようになります。

17+25+13+1+9 = 65 (中央のマス目と隣接する行と列のマス目)

21+7+13+19+5 = 65 (中央と残りの行と列のマス目)

4+10+13+16+22 = 65 (中央のマス目と斜めのマス目の合計)

20+2+13+24+6 = 65（中心とその対角線の残りの正方形）

これらの五点形はそれぞれ、行と列の循環的な置換(ラップアラウンド)によって正方形内の他の位置に変換できますが、汎対角魔方陣では、魔法定数の等式には影響しません。これにより、破れた対角線に類似した破れた五点形を含む 100 個の五点形の合計が生まれます。

五点形和は、行、列、対角和の 線形結合によって証明できます。対角魔方陣を考えてみましょう。

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\!\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\!\!a_{35}\!\!\\hline \!\!\!\;a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\!\!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\\hline \!\!\!\;a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54}\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\\\hline \end{配列}}}$

魔法定数sを使用します。五点形の合計(上記の 20+2+13+24+6 = 65 の例に対応) を証明するには、次の式を足し合わせます。 ${\displaystyle a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+a_{55}=s}$

対角和とをそれぞれ3回ずつ、${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}}$${\displaystyle a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}}$

対角和、、、、、​​${\displaystyle a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}}$${\displaystyle a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}}$${\displaystyle a_{14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}}$${\displaystyle a_{15}+a_{21}+a_{32}+a_{43}+a_{54}}$

行の合計はおよび です。${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}}$${\displaystyle a_{51}+a_{52}+a_{53}+a_{54}+a_{55}}$

この合計から次の値を差し引きます。

行の合計と、${\displaystyle a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}}$${\displaystyle a_{41}+a_{42}+a_{43}+a_{44}+a_{45}}$

列の合計、${\displaystyle a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}}$

各列の合計とを2 回計算します。${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}}$${\displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}$

最終的な結果は で、これを 5 で割ると五点形の合計が得られます。他の五点形パターン、、についても同様の線形結合を構築できます。 ${\displaystyle 5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_{55}=5s}$${\displaystyle a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{43}}$${\displaystyle a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}}$${\displaystyle a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{44}}$

連続した整数を使用する場合、順序のある汎対角魔方陣は存在しません。しかし、連続しない整数の特定のシーケンスでは、順序 ( ) のある汎対角魔方陣が存在します。 ${\displaystyle 4n+2}$${\displaystyle 4n+2}$

合計 1+2+3+5+6+7 = 24 を考えます。この合計は、3 つの加数の適切なグループを使用して半分に分割することも、2 つの加数のグループを使用して 3 分の 1 に分割することもできます。

1+5+6 = 2+3+7 = 12

1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

平方和をさらに均等に分割すると、以下に示すセミバイマジック特性が保証されます。

1 ² + 5 ² + 6 ² = 2 ² + 3 ² + 7 ² = 62

連続する整数の合計 1+2+3+4+5+6 = 21 は奇数の合計であり、半分に分割されていないことに注意してください。

両方の等しい分割が利用できる場合、数字 1、2、3、5、6、7 は、それぞれ次のように表される 6 × 6 のパンディゴナル パターンAとBに配置できます。

次に（C はすべてのセルが 1 である魔方陣です）、非連続の汎対角 6 × 6 の正方形が得られます。 ${\displaystyle 7A+B-7C}$

最大要素は 49、パン対角魔法定数は 150 です。この正方形はパン対角で半二重魔法です。つまり、行、列、主対角線、破断対角線の合計は 150 であり、正方形内のすべての数字を二乗すると、行と列のみが魔法となり、合計は 5150 になります。

10 次では、合計 1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70 の均等分割を使用して同様の構成が可能です。

1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35

1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

1 ² + 3 ² + 9 ² + 10 ² + 12 ² = 2 ² + 4 ² + 5 ² + 11 ² + 13 ² = 335 (正方形の均等分割、半二重マジック特性)

これにより、最大要素が 169、対角マジック定数が 850 の正方形が生成されます。これは、各行または列の平方の合計が 102,850 となるセミバイマジックでもあります。

汎対角魔方陣は、次のアルゴリズムによって構築できます。 ${\displaystyle (6n\pm 1)\times (6n\pm 1)}$

汎対角魔方陣は、次のアルゴリズムによって構築できます。 ${\displaystyle 4n\times 4n}$

このアルゴリズムで対角魔方陣を構築すると、その正方形内のすべての正方形の合計は同じになります。したがって、多くの対称的なセル パターンの合計は、正方形の任意の行と任意の列の合計と同じになります。特に、各長方形の合計は、正方形の任意の行と任意の列の合計と同じになります。この正方形は、最も完全な魔方陣でもあります。 ${\displaystyle 4n\times 4n}$${\displaystyle 2\times 2}$${\displaystyle 4n\times 4n}$${\displaystyle 4n}$${\displaystyle 4n\times 4n}$${\displaystyle 2n\times 2}$${\displaystyle 2\times 2n}$${\displaystyle 4n\times 4n}$${\displaystyle 4n\times 4n}$

汎対角魔方陣は、次のアルゴリズムによって構築できます。 ${\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}$

• WS アンドリュース『魔方陣と魔方陣』ニューヨーク: ドーバー、1960 年。初版は 1917 年。特に第 10 章を参照。

• Ollerenshaw, K., Brée, D.:最も完璧なパンダイアゴナル魔方陣。IMA、サウスエンド・オン・シー (1998)

• MathWorld の Panmagic Square
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares