マジックキューブクラス

数学において、の位数を持つ魔方陣とは、同じ行、同じ列、同じ柱、または同じ長さの対角線にある数字を足すと同じ数になるという性質を満たす自然数の格子である。これは魔方陣の 次元一般化である。魔方陣は、その特性に基づいて 6 つの魔方陣クラスのいずれかに割り当てることができる。この分類の利点は、すべての位数とすべての次元の魔方陣で一貫していることである。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n\times n\times n}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 3}$

• 単純：

マジックキューブの最小要件は、すべての行、列、柱、および 4 つの空間対角線の合計が同じ値になることです。単純なマジックキューブには、魔方陣が含まれないか、次のクラスに進むのに十分な魔方陣がありません。
最小の通常の単純なマジックキューブは 3 次です。必要な最小の正しい合計 = 3 m ² + 4

• 対角線：

3 mの平面配列はそれぞれ単純な魔方陣でなければなりません。6 つの斜方陣も単純な魔方陣です。最小の通常の対角魔方陣は 5 次です。
これらの方陣は、ガードナーらによって「完全」と呼ばれていました。同時に、ガードナーは、ラングマンの 1962 年の汎対角方陣も「完全」と呼んでいました。
クリスチャン ボイヤーとウォルター トランプは、現在、このクラスと次の 2 つのクラスを完全と見なしています(下記の代替完全を参照)。AH
フロストは、単純なクラスを除くすべてをナシックキューブと呼んでいました。
最小の通常の対角魔方陣は 5 次です。対角魔方陣を参照してください。必要な最小の正しい合計 = 3 m ² + 6 m + 4

• パントリアゴナル:

4 つのm ²パン三角線の合計は、すべて正しくなければなりません (つまり、1 つのセグメントが 4 つ、2 つのセグメントが 12 ( m −1)、3 つのセグメントが 4( m −2 )( m −1) です)。単純な AND/OR パン三角魔方陣もいくつかあるかもしれませんが、他の分類を満たすには不十分です。
最小の正規パン三角魔方陣は 4 次です。パン三角魔方陣を参照してください。
必要な最小の正しい合計 = 7 m ^{2。r =} 1および 3 の場合、すべてのパンr角線の合計は正しくなります 。

• パントリアグ診断:

このクラスの立方体は、2004 年後半に中村光俊氏によって初めて構築されました。この立方体は、パン三角魔方陣と対角魔方陣を組み合わせたものです。したがって、すべての主空間対角線と破断空間対角線の合計は正しく、3 m個の平面単純魔方陣が含まれています。さらに、6 つの斜方陣はすべてパン三角魔方陣です。これまでに構築された唯一のそのような立方体は、次数 8 です。他の次数が可能かどうかは不明です。パン三角魔方陣を参照してください。必要な最小の正しい合計 = 7 m ² + 6 m

• パンダイアゴナル:

3 m の平面配列はすべて、汎対角魔方陣でなければなりません。6 つの斜方陣は常に魔方陣です (通常は単純な魔方陣)。そのうちのいくつかは汎対角魔方陣である可能性があります。ガードナーは、この (ラングマンの汎対角) を「完全な」立方体とも呼びましたが、おそらくマイヤーの立方体よりも上位のクラスであることに気付いていなかったのでしょう。ボイヤーとトランプに関する前の注記を参照してください。
最小の正規汎対角魔方陣は 7 次です。汎対角魔方陣を参照してください。
必要な最小の正しい合計 = 9 m ² + 4。すべての汎r角形は、 r  = 1 および 2 に対して正しく合計されます。

• 完璧：

3 m平面配列はすべて、汎対角魔方陣でなければなりません。さらに、すべての汎三角の合計は正しくなければなりません。これら 2 つの条件を組み合わせると、合計 9 m汎対角魔方陣が得られます。
最小の通常の完全魔方陣は 8 次です。完全魔方陣を参照してください。

ナシック; AH フロスト (1866) は、単純な立方体以外のすべてをナシックと呼びました。C
. プランク (1905) は、ナシックを、すべての可能な直線が正しく合計される、任意の順序または次元の立方体を意味するように再定義しました。
つまり、ナシックは、完全なクラスを表す、より曖昧さが少ない代替用語です。必要な最小の正しい合計 = 13 m ^2。すべての汎r角形は、 r  = 1、2、3 に対して正しく合計されます。

代替完璧 上記は比較的新しい完璧な定義であることに注意してください。 1995 年頃までは、完璧なマジック キューブを構成する要素について多くの混乱がありました (対角線の説明を参照)。
以下には、古い定義に関する議論への参照とリンクが含まれています。 パーソナル コンピューターの普及により、マジック キューブのより詳細な調査が容易になりました。 また、より高次元のマジック ハイパーキューブ
に関する研究もますます増えました。 たとえば、ジョン ヘンドリックスは 2000 年に世界初のナシックマジック テッセラクトを構築しました。 ヘンドリックスの定義では 完璧なマジック テッセラクトとして分類されます。

n次元の魔方陣は、すべての汎n角形の合計が正しくなる場合、完全です。この場合、それに含まれるすべての低次元の超方陣も完全です。次元 2 については、汎対角魔方陣は長年完全と
呼ばれてきました。これは、上記でキューブに対して与えられた完全な (ナシック) 定義と 一致しています。この次元では、魔方陣には単純と完全な 2 つのクラスしかないため、曖昧さはありません。4 次元の魔方陣の場合、中村光俊は 18 のクラスがあると判定しました。彼はそれらの特性を判定し、それぞれの例を作成しました。また、この次元でも、完全な(ナシック) 魔方陣には、すべての可能な線の合計が正しく、それに含まれるすべての立方体と正方形もナシック魔方陣です。

適切な: 適切な方陣は、6 つの方陣クラスのいずれかに属しますが、その方陣クラスの最小要件を正確に満たす方陣です。つまり、適切な単純方陣またはパン三角方陣には魔方陣が含まれず、適切な対角方陣には 3 m + 6 個の単純魔方陣が含まれます。この用語は、2004 年 4 月に中村光俊氏によって造られました。

表の注記

1. 対角線またはパン対角線クラスの場合、6 つの斜方魔方陣のうち 1 つまたは 2 つがパン対角線魔方陣である可能性があります。斜方陣のうち 6 つを除くすべてが「壊れて」います。これは、パン対角線魔方陣の壊れた対角線に似ています。つまり、壊れた対角線は 2 次元の正方形では 1 次元であり、壊れた斜方陣は 3 次元の立方体では 2 次元です。
2. 表には、各クラス（つまり、適切なクラス）に必要な最小限の線または四角形が示されています。通常は、これより多く必要ですが、1 つのタイプでは次のクラスに合格するには十分ではありません。

• マジックハイパーキューブ
• ナシックマジックハイパーキューブ
• パンマジックスクエア
• スペース対角線
• ジョン・R・ヘンドリックス

• フロスト、AH博士、「ナシック立方体の一般的性質について」、QJM 15、1878年、93-123ページ
• プランク、C.、​​経路理論、ナシク、私家流通用に印刷、AJ ローレンス、印刷業者、ラグビー、(イングランド)、1905 年
• Heinz, HD および Hendricks, JR, Magic Square Lexicon: Illustrated。自費出版、2000 年、0-9687985-0-0。
• ヘンドリックス、ジョン R.、「汎4角形マジックテッセラクト」、アメリカ数学月刊誌、第75巻第4号、1968年4月、384ページ。
• ヘンドリックス、ジョン R.、「パン 3 角形マジック キューブ」、レクリエーション数学ジャーナル、5:1、1972 年、pp51–52
• ヘンドリックス、ジョン R.、「5 次汎 3 角形マジック キューブ」、JRM、5:3、1972、pp 205–206
• ヘンドリックス、ジョン R.、Magic Squares to Tesseracts by Computer、自費出版 1999 年。0-9684700-0-9
• ヘンドリックス、ジョン R.、2n 次数の完全な n 次元マジックハイパーキューブ、1999 年自費出版。0-9684700-4-1
• クリフォード・A・ピックオーバー（2002年）『魔方陣、魔方陣円、魔方陣星の禅』プリンストン大学出版、2002年、0-691-07041-5、pp 101–121

キューブクラス

• クリスチャン・ボイヤー: 完璧なマジックキューブ
• ハーヴェイ・ハインツ: 完璧な魔法のハイパーキューブ
• ハーヴェイ・ハインツ: 立方体の 6 つのクラス
• ウォルター・トランプ：最小の探求
• 最も完璧な立方体

パーフェクトキューブ

• エール・デ・ウィンケル: 魔法百科事典
• 完璧の代わりとなる用語としてのナシックに関する C. プランク (1917) からの長い引用。

Tesseract クラス

• Square、Cube、Tesseract クラス