フロイデンタールの魔方陣

数学において、フロイデンタールの魔方陣（フロイデンタール・ティッツの魔方陣）は、複数のリー代数（およびそれらに関連するリー群）を関連付ける構成である。この概念を独立に発展させたハンス・フロイデンタールとジャック・ティッツにちなんで名付けられた。これは、リー代数を一対の除算代数A、Bに関連付ける。結果として得られるリー代数は、右の表に示すようにディンキン図を持つ。フロイデンタールの魔方陣の「魔法」は、元の構成は対称ではないが、構築されたリー代数はAとBに関して対称であるという点である。ただし、ヴィンバーグの対称法では対称構成になる。

フロイデンタールの魔方陣は、 G ₂を除くすべての例外リー群を含み、「例外リー群はすべて八元数のために存在する」という主張を正当化する1つの可能なアプローチを提供します。G ₂自体は八元数の自己同型群です（また、7次元ベクトル空間上の一般的な3形式の安定化群であるため、多くの点で古典的なリー群に似ています。 概同次ベクトル空間を参照）。

背景と動機については歴史を参照してください。これらはもともと1958年頃にフロイデンタールとティッツによって構築され、後年、より洗練された定式化が続きました。^[1]

1958 年頃に発見され、(Tits 1966) に発表された、Tits のアプローチは次のとおりです。

任意のノルム付き実除算代数 A (すなわち、R、C、H、または O) に関連して、3 × 3 A-エルミート行列のジョルダン代数J ₃ ( A )が存在する。このような除算代数の任意のペア ( A、B ) に対して、リー代数を定義できる。

${\displaystyle L=\left({\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))\right)\oplus \left(A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}\right)}$

ここで、 は代数の微分からなるリー代数を表し、下付き文字 0 はトレースフリー部分を表します。リー代数L は部分代数としてを持ち、これは に自然に作用します。 （部分代数ではない） 上のリー括弧は明らかではありませんが、ティッツはそれがどのように定義されるかを示し、それが次のコンパクトリー代数の表を生成することを示しました。 ${\displaystyle {\mathfrak {der}}}$${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))}$${\displaystyle A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}}$${\displaystyle A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}}$

構築により、表のA = Rの行は となり、同様にその逆も成り立ちます。 ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))}$

フロイデンタールの魔方陣の「魔法」は、構築されたリー代数がAとBで対称であることです。これはティッツの構築からは明らかではありません。アーネスト・ヴィンバーグは(Vinberg 1966) で、明らかに対称な構築を与えました。彼は、ジョーダン代数を使用する代わりに、 A ⊗ Bに要素を持つ歪エルミートトレースフリー行列の代数 (と表記)を使用します。ヴィンバーグは、リー代数構造を次のように定義します。 ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$

${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)\oplus {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B).}$

AとBに微分がない場合（つまり、 RまたはC）、これは 上のリー（交換子）括弧に過ぎません。微分がある場合、これらは、ティッツの構成と同様に 上で自然に作用する部分代数を形成し、 上のトレースフリー交換子括弧は内の値を持つ式によって変更されます。 ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)}$

ピエール・ラモンド（Ramond 1976）とブルース・アリソン（Allison 1978）によるより最近の構成は、クリス・バートンとアンソニー・サドベリーによって発展され、ジョン・フランク・アダムスによって発展された形式のトライアリティを使用している。これは（Barton & Sudbery 2000）で提示され、簡素化された形式は（Barton & Sudbery 2003）で提示された。ヴィンバーグの構成は、除算代数Aの自己同型群（またはむしろそれらの微分リー代数）に基づいているのに対し、バートンとサドベリーは対応するトライアリティの自己同型群を使用している。トライアリティは、三線型写像である。

${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\to \mathbf {R} }$

除算代数Aを 3 つコピーし、 Aの内積を使用して乗算を双対化することで得られます。自己同型群は、この三線型写像を保存する SO( A ₁ ) × SO( A ₂ ) × SO( A ₃ ) の部分群です。これは Tri( A ) と表記されます。次の表は、そのリー代数を微分リー代数と比較したものです。

バートンとサドベリーは、（ A、B ）に対応する魔方陣リー代数をベクトル空間上のリー代数構造と 同一視する。

${\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)\oplus (A_{1}\otimes B_{1})\oplus (A_{2}\otimes B_{2})\oplus (A_{3}\otimes B_{3}).}$

リー括弧は、Z ₂ × Z ₂の次数付けと互換性があり、tri ( A ) とtri ( B ) は次数 (0,0) にあり、 A ⊗ Bの 3 つのコピーは次数 (0,1)、(1,0)、(1,1) にあります。括弧はtri ( A ) とtri ( B ) を保存し、これらは他の構成と同様にA ⊗ Bの 3 つのコピーに自然に作用しますが、これら 3 つのコピー間の括弧はより制約されています。

例えば、 AとBが八元数の場合、三元数はSpin(8)のものであり、SO(8)の二重被覆であり、Barton-Sudbery記述は次式となる。

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{8}\oplus {\widehat {\mathfrak {so}}}_{8}\oplus (V\otimes {\widehat {V}})\oplus (S_{+}\otimes {\widehat {S}}_{+})\oplus (S_{-}\otimes {\widehat {S}}_{-})}$

ここで、V、S ₊、S _{− は}、（基本表現と2つのスピン表現）の3つの8次元表現であり、ハットオブジェクトは同型コピーです。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{8}}$

Z _{2 の}等級の 1 つに関して、最初の 3 つの加数は結合して となり、最後の 2 つは一緒にスピン表現の 1 つ Δ ₊ ¹²⁸を形成します(上付き文字は次元を示します)。これはE8のよく知られた対称分解です。 ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{16}}$

バートン・サドベリー構成は、これを魔方陣内の他のリー代数に拡張します。特に、最後の行（または列）の例外的なリー代数の場合、対称分解は次のようになります。

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{9}\oplus \Delta ^{16}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}\cong ({\mathfrak {so}}_{10}\oplus {\mathfrak {u}}_{1})\oplus \Delta ^{32}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}\cong ({\mathfrak {so}}_{12}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1})\oplus \Delta _{+}^{64}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{16}\oplus \Delta _{+}^{128}.}$

ノルム除算代数に加えて、 R上の他の合成代数、つまり、分割複素数、分割四元数、分割八元数があります。複素数、四元数、八元数の代わりにこれらを使用すると、次の魔方陣の変形が得られます（除算代数の分割バージョンはプライムで表されます）。

ここで、 so _{3 を}除くすべてのリー代数は分割実数形式ですが、リー括弧の定義の符号変更を使用して分割形式so _2,1を生成することができます。特に、例外的なリー代数の場合、最大コンパクト部分代数は次のとおりです。

分割代数を通常の除算代数と組み合わせることで、非対称バージョンの魔方陣を得ることもできます。Barton と Sudbery によると、結果として得られるリー代数の表は次のようになります。

ここで現れる実例外リー代数は、最大コンパクト部分代数によって再び記述できます。

合成代数とリー代数の分割形式は任意の体 K上で定義できます。これにより、次の魔方陣が生成されます。

Kが代数的に閉じていない場合、ここには多少の曖昧さがあります。 K = Cの場合、これはこれまで議論してきた Rのフロイデンタールの魔方陣の複素化です。

これまで説明した魔方陣は、ジョルダン代数J ₃ ( A ) に関連しています。ここで、 A は除算代数です。また、Aが結合的である限り、任意の正の整数nに対して、ジョルダン代数J _n ( A ) も存在します。これらは、一般化された魔方陣の分割形式 (任意の体K上) とコンパクト形式 ( R上) を生み出します。

n = 2の場合、 J ₂ ( O ) もジョルダン代数です。コンパクトなケース ( R上) では、これは直交リー代数の魔方陣をもたらします。

ここでの最後の行と列は、前述の例外リー代数の対称分解における等方性代数の直交代数部分です。

これらの構成は、エルミート対称空間（概均質ベクトル空間を参照）と密接に関連しています。

リーマン対称空間は、コンパクトと非コンパクトの両方において、(Huang & Leung 2010) の魔方陣構成を用いて一様に分類できる。既約コンパクト対称空間は、有限被覆を除けば、ノルム分割代数AとBのサブスペースのコンパクト単純リー群、グラスマン多様体、ラグランジアン グラスマン多様体、または二重ラグランジアン グラスマン多様体のいずれかである。同様の構成により、既約非コンパクト対称空間が生成される。 ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},}$

1933年にルース・ムファンがケイリー射影平面または「八元数射影平面」P ² ( O )を発見し、その対称群が例外リー群F ₄であること、そしてG _{2が八元数の自己同型群であることを踏まえて、ローゼンフェルド（1956年）は、残りの例外リー群}E ₆、E ₇、およびE _{8 が}八元数上の特定の代数上の射影平面の同型群であると提案した。^[1]

• の二元数,C⊗O,
• の四元数、H⊗O、
• の八八元数、O⊗O。

この提案は魅力的である。なぜなら、望ましい対称群を持ち、その次元が想定される射影平面の次元と一致する (dim( P ² ( K ⊗ K ′)) = 2 dim( K )dim( K ′)) 例外的なコンパクト リーマン対称空間が存在し、これにより、例外的なリー群を自然に発生するオブジェクトの対称性として均一に構成できる (つまり、例外的なリー群の事前知識がなくても) からである。リーマン対称空間は 1926 年にカルタンによって分類された (カルタンのラベルは後述で使用されている)。詳細については分類を参照。関連する空間は以下のとおりである。

• 八元数射影平面– FII、次元 16 = 2 × 8、F ₄対称性、ケーリー射影平面 P ² ( O )、
• 双複素射影平面 – EIII、次元 32 = 2 × 2 × 8、E ₆対称性、複素化ケーリー射影平面、P ² ( C ⊗ O )、
• 「四元射影平面"^[2]– EVI、次元 64 = 2 × 4 × 8、E₇対称性、P²(H⊗O)、
• 「八八元数射影平面」^[3]– EVIII、次元128 = 2 × 8 × 8、E₈対称性、P²(O⊗O)。

この提案の難しさは、八元数は除算代数であり、したがってそれらの上に射影平面が定義されるのに対し、双八元数、四八元数、および八八元数は除算代数ではないため、射影平面の通常の定義が機能しないという点です。これは双八元数については解決でき、結果として得られる射影平面は複素化ケーリー平面になりますが、四八元数と八八元数については構成が機能せず、問題の空間は射影平面の通常の公理に従わないため、^[1]「（推定）射影平面」に引用符が付いています。ただし、これらの空間の各点における接空間は、平面 ( H ⊗ O ) ²または ( O ⊗ O ) ²と同一視できるため、これらが一般化された射影平面の形式であるという直感がさらに正当化されます。^{[2] [3]}したがって、結果として得られる空間はローゼンフェルド射影平面と呼ばれることもあり、射影平面であるかのように表記される。より広義には、これらのコンパクトな形式はローゼンフェルド楕円射影平面であり、双対的な非コンパクトな形式はローゼンフェルド双曲射影平面である。ローゼンフェルドのアイデアのより現代的な表現は (Rosenfeld 1997) にあり、これらの「平面」に関する簡単な注釈は (Besse 1987, pp. 313–316) にある。^[4]

空間はティッツの建物理論を使って構築することができ、これにより任意の代数群を対称性として持つ幾何学を構築することができるが、これにはリー群の知識から独立して幾何学を構築するのではなく、リー群から始めてそこから幾何学を構築する必要がある。^[1]

多様体とリー群のレベルでは、2 つのノルム除算代数の射影平面P ² ( K ⊗ K ′) の構成は機能しませんが、リー代数のレベルでの対応する構成は機能します。つまり、射影平面P ² ( K ) の無限小等長変換のリー代数を分解し、同じ分析をP ² ( K ⊗ K ′) に適用すると、 P ² ( K ⊗ K ′) が実際に射影平面として定義できる場合に成立するこの分解を、 「魔方陣リー代数」M ( K , K ′) の定義として使用できます。この定義は純粋に代数的であり、対応する幾何学的空間の存在を仮定しなくても成立します。これは1958年頃に(Tits 1966)で独立に行われ、またフロイデンタールによって(Freudenthal 1954a)から始まり(Freudenthal 1963)で終わる11の論文シリーズでも行われたが、ここで概説する簡略化された構成は(Vinberg 1966)によるものである。^[1]

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