連想魔方陣

連想魔方陣とは、中心に対して対称的な2つの数字の合計が同じ値になる魔方陣のことである。1からn ^{2までの数字が書かれた}n × nのマス目では、この共通の合計はn ² + 1に等しくなければならない。これらのマス目は、連想魔方陣、正則魔方陣、正則魔方陣、対称魔方陣とも呼ばれる。^[1]^[2]^[3]

例

例えば、ユニークな3×3の魔方陣である洛書方陣は結合性がある。なぜなら、それぞれの対角点は中心点とともに方陣の直線を形成するため、どの2つの対角点を選んだとしても、2つの対角点の合計は直線の合計から中心点の値を引いた値に等しいからである。^[4]アルブレヒト・デューラーの1514年の版画『メレンコリアI』の4×4魔方陣は、ベンジャミン・フランクリンの1765年の手紙にも見られるが、これも結合性があり、それぞれの対角数を合計すると17になる。^[5]

存在と列挙

n = 3,4,5,... の場合の可能な結合n × n魔方陣の数は、回転または反射のみが異なる 2 つの魔方陣を同じものとして数えると、次のようになります。

1、48、48544、0、1125154039419854784、...（OEISの配列A081262）

n = 6の場合の数値 0 は、より一般的な現象の例です。n の値が単独で偶数(4 を法として 2 に等しい)の場合、結合魔方陣は存在しません。^[3]偶数次の結合魔方陣はすべて特異行列を形成しますが、奇数次の結合魔方陣は特異または非特異になります。^[4]

参考文献

^ Frierson, LS (1917)、「汎対角線とそれに関連する魔方陣に関する注記」、Andrews, WS (編)、『魔方陣と立方体』（第 2 版）、Open Court、pp. 229–244
^ ベル、ジョーダン; スティーブンス、ブレット (2007)、「モジュラークイーンソリューションからの直交パン対角ラテン方陣とパンマジック方陣の構築」、Journal of Combinatorial Designs、15 (3): 221–234、doi :10.1002/jcd.20143、MR 2311190、S2CID 121149492 $n$
^ ab Nordgren, Ronald P. (2012)、「特殊魔方陣行列の特性について」、線形代数とその応用、437 (8): 2009–2025、doi : 10.1016/j.laa.2012.05.031、MR 2950468
^ ab Lee, Michael Z.; Love, Elizabeth; Narayan, Sivaram K.; Wascher, Elizabeth; Webster, Jordan D. (2012)、「奇数次の非特異正則魔方陣について」、線形代数とその応用、437 (6): 1346–1355、doi : 10.1016/j.laa.2012.04.004、MR 2942355
^ パスルズ、ポール C. (2001)、「フランクリン博士の失われた正方形: ベン・フランクリンの失われた正方形と魔法の円の秘密」、アメリカ数学月刊誌、108 (6): 489–511、doi :10.1080/00029890.2001.11919777、JSTOR 2695704、MR 1840656、S2CID 341378

外部リンク

ワイスシュタイン、エリック W.、「連想魔方陣」、MathWorld

[andrews-1] Frierson, LS (1917)、「汎対角線とそれに関連する魔方陣に関する注記」、Andrews, WS (編)、『魔方陣と立方体』（第 2 版）、Open Court、pp. 229–244

[belste-2] ベル、ジョーダン; スティーブンス、ブレット (2007)、「モジュラークイーンソリューションからの直交パン対角ラテン方陣とパンマジック方陣の構築」、Journal of Combinatorial Designs、15 (3): 221–234、doi :10.1002/jcd.20143、MR 2311190、S2CID 121149492 $n$

[nordgren-3] Nordgren, Ronald P. (2012)、「特殊魔方陣行列の特性について」、線形代数とその応用、437 (8): 2009–2025、doi : 10.1016/j.laa.2012.05.031、MR 2950468

[llnww-4] Lee, Michael Z.; Love, Elizabeth; Narayan, Sivaram K.; Wascher, Elizabeth; Webster, Jordan D. (2012)、「奇数次の非特異正則魔方陣について」、線形代数とその応用、437 (6): 1346–1355、doi : 10.1016/j.laa.2012.04.004、MR 2942355

[pasles-5] パスルズ、ポール C. (2001)、「フランクリン博士の失われた正方形: ベン・フランクリンの失われた正方形と魔法の円の秘密」、アメリカ数学月刊誌、108 (6): 489–511、doi :10.1080/00029890.2001.11919777、JSTOR 2695704、MR 1840656、S2CID 341378