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幾何学的魔方陣（しばしばジオマジックスクエアと略される）は、2001 年にLee Sallowsによって考案された魔方陣の一般化である。[ 1 ]従来の魔方陣は、任意の行、任意の列、または対角線上の合計が同じ目標数になるような、数字（ほぼ常に正の整数）の正方形配列である。一方、ジオマジックスクエアは、各行、各列、または対角線に現れる図形を合わせて目標形状と呼ばれる同一の形状を作成できるような、幾何学的形状の正方形配列である。
数値型と同様に、ジオマジックスクエアの要素は互いに異なる必要があります。同様に、回転や反転によって生じる任意の正方形の8つの自明な変形はすべて同じ正方形として扱われます。ジオマジックスクエアの次元とは、使用するピースの次元を意味します。これまで、関心は主に平面ピースを用いた2次元の正方形に集中していましたが、任意の次元のピースの使用が認められています。
上の図1は、3×3のジオマジックスクエアを示しています。各行、各列、各対角線に3つのピースが配置され、左と右、上と下に見られるように長方形のターゲットを形成します。ここでは9つのピースはすべてデコミノですが、ピースの形状は問わず、サイズが同じである必要もありません。例えば、図2では、ピースは1から9までの連続したサイズのポリオミノです。ターゲットは、内側に正方形の穴が開いた4×4の正方形です。
驚くべきことに、コンピュータによる調査では、図2は、同じサイズとターゲットのピースを使用した4,370種類の異なる3×3ジオマジックスクエアのうちの1つにすぎないことが示されています。逆に、図1は、同様のサイズのピースと同一のターゲットを使用した2つの解のうちの1つです。一般的に、ピースのサイズが繰り返されると、解の数が少なくなります。しかし、現時点では、これらの経験的発見を説明する理論的根拠は存在しません。[ 2 ]
ジオマジックスクエアのピースは、図3に示すように、互いに分離している、つまり分離した島で構成されている場合もあります。互いに重なり合うように配置できるため、分離したピースは、接続されたピースではタイル張りできない領域をタイル張りできることがよくあります。この柔軟性による利点は、数値標本にはない対称性を持つジオマジックによく見られます。[ 3 ]
平面形状を用いた正方形の他に、3D形状の試験片も存在する。これらの試験片のセルには、同じ一定の固体ターゲットを形成するように組み合わされた固体片が含まれている。図5は、ターゲットが立方体である例を示している。
数学者エドゥアール・リュカによる有名な公式は、あらゆる 3 × 3 魔方陣の構造を特徴づけています。[ 4 ] この分野で既に独創的な研究を行っていたサローズ[ 5 ]は、リュカの公式に隠された可能性が秘められているのではないかと長年推測していました。[ 6 ] この推測は、1997 年に彼が複素数を用いて方陣を調べた短い論文を発表した際に確認されました。この論文は、あらゆる 3 × 3 魔方陣を複素平面上の一意の平行四辺形と関連付ける新しい定理につながる策略でした。[ 7 ]同じ流れで、決定的な次のステップは、リュカの公式の変数を幾何学的形状を表すものとして解釈することでした。これは、ジオマジックスクエアの概念に直接つながる突飛なアイデアでした。[ 8 ] この発見の予期せぬ結果として、従来の魔方陣が一次元ジオマジックスクエアであることが明らかになりました。
他の研究者も注目した。 『 Journal of Recreational Mathematics』の共同編集者であるチャールズ・アシュバッハーは、魔方陣の分野が「劇的に拡大した」と述べている[ 9 ]。ロンドン数学会のホワイトヘッド賞受賞者であり、オイラー・メダルの共同受賞者でもあるピーター・キャメロンは、ジオマジックスクエアを「非数学者を喜ばせ、数学者に考えさせる材料を与える、素晴らしい新しい娯楽数学」と呼んだ[ 2 ]。数学ライターのアレックス・ベロスは、「何千年にもわたる魔方陣の研究の後でこれを思いつくのは実に驚くべきことだ」と述べた[ 10 ]。 ジオマジックスクエアがパズル研究以外の用途にも使えるかどうかという疑問が生じるかもしれない。キャメロンはそれを確信しており、「これを使ってやりたいことがすぐにたくさん思い浮かぶ」と述べている[ 10 ] 。
些細な例を除けば、幾何学的魔方陣を生成する簡単な方法は知られていない。現在までに、2つのアプローチが検討されている。[ 11 ] 使用するピースが多形体、つまり繰り返し単位から構成される形状である場合、コンピュータによる網羅的な探索が可能になる。
例えば図1の場合、最初のステップは使用するピースのサイズ（この場合はすべて同じ）と、目的のターゲットの形状を決定することです。次に、初期プログラムで、このターゲット形状を3つの異なるデコミノ（サイズ10のポリオミノ）でタイル張りするすべての組み合わせに対応するリストLを生成できます。各デコミノは一意の整数で表されるため、Lは整数の3つ組のリストになります。後続のルーチンでは、3つの異なる3つ組のすべての組み合わせを順番に実行してテストできます。テストでは、候補となる3つ組を3×3の正方形の行として扱い、このようにして形成された列と対角線に、Lにも含まれる3つの整数（つまり、ターゲットのタイル張りの3つ組でもある）が含まれているかどうかを確認します。そうであれば、9つのデコミノと選択されたターゲットを使用した3×3のジオマジックスクエアが特定されたことになります。これが失敗した場合は、別のターゲット形状を試すことができます。同じ方法を応用すれば、より大きな正方形や、大きさの異なるピースを含む正方形を検索することもできる。
別の構築方法として、繰り返し出現するピースを示す単純な幾何学的魔方陣から始め、それぞれのピースの形状を変更して、魔方陣の魔力特性を損なうことなく、個々のピースを区別できるようにします。これは、以下に示すような代数テンプレートを用いることで実現できます。テンプレート内の異なる変数は、その符号に応じて、元のピースに追加または削除される異なる形状として解釈されます。
図4は、テンプレートの幾何学的解釈を示しており 、 kは小さな正方形として解釈され、a、b、c、dは、16個の異なるジグソーパズルのピースになるように修正される突起（+）および/または凹み（-）を表しています。
一見すると誤解されがちですが、「ジオマジックスクエア」という用語が何らかの種類の魔方陣を指すと考えるのは間違いです。実際には正反対で、すべての（加算）魔方陣はジオマジックスクエアの特定の例ですが、その逆はありえません。この点は、フランス版サイエンティフィック・アメリカンであるプール・ラ・サイエンスに掲載されたジャン＝ポール・デラエによるジオマジックスクエアに関する広範な記事に掲載されている以下の例で明らかになります。[ 12 ]この場合、右側のジオ マジックスクエアの目標となる「形状」は、単に長さ15単位の1次元線分であり、そのピースもまた直線線分に過ぎません。したがって、後者は左側の数値魔方陣を幾何学的に単純に変換したものです。
デラヘイが言うように、「この例は、ジオマジックスクエアの概念が魔方陣を一般化したものであることを示しています。ここでの結果は特に目覚ましいものではありませんが、幸いなことに、このような変換の結果ではない他のジオマジックスクエアも存在します。」[ 12 ] [ 13 ]
つまり、すべての数値魔方陣は、上記のように1次元の幾何学魔方陣として理解できるということである。あるいは、サローズ自身が述べているように、「数字を特徴とする伝統的な魔方陣は、要素がすべて1次元である『幾何学魔方陣』の特定のケースとして明らかになる」[ 3 ] 。 しかし、これで1次元のケースがすべて網羅されるわけではない。なぜなら、構成要素が切断された線分であり、数値魔方陣に対応しない1次元の幾何学魔方陣が存在するからである。したがって、1次元であっても、伝統的なタイプはすべての幾何学魔方陣のごく一部にしか対応しない。
幾何学的魔方陣のより豊かな構造は、数値型では不可能なほど「魔力」の度合いが高い標本が存在することに反映されている。したがって、汎魔方陣とは、いわゆる破線を含むすべての対角線が、行と列と同じ魔力特性を共有する方陣である。しかし、3 × 3 サイズの汎魔方陣は数値では構築不可能であることが容易に示され、幾何学的な例は図 3 に示されている。連結したピースを使用した同様の例はまだ報告されていない。[ 3 ]
幾何学的な魔法であることに加えて、補助的な特性を持つ正方形も存在し、それによってさらに特徴的になります。たとえば、行と列のみに魔法がかかっている図 6 では、16 個のピースがいわゆる自己タイル化タイル セットを形成します。このようなセットは、 n 個の異なる形状の任意のセットとして定義され、それぞれの形状は、 n 個の形状の完全なセットのより小さな複製でタイル化できます。[ 14 ]
2つ目の例は図4で、これは「自己連結型」のジオマジックスクエアと呼ばれるものです。ここでは、16個のピースはもはや個別のセル内に収まっているのではなく、正方形のセルの形状自体を定義し、互いに噛み合って正方形のジグソーパズルを完成させます。
2014年10月9日、マカオ郵便局は魔方陣をモチーフにした切手シリーズを発行した。[ 15 ] 下の切手は、サローズが作成したジオマジックスクエアの1つを示しており、このコレクションに選ばれた。[ 16 ]
