ラグランジュ力学

ラグランジュ力学では、力の代わりにシステムのエネルギーを使用します。ラグランジュ力学の中心となる量はラグランジアンであり、これはシステム全体のダイナミクスを要約する関数です。一般的に、ラグランジアンはエネルギーの単位を持ちますが、すべての物理システムに対して単一の表現はありません。物理法則に合致する正しい運動方程式を生成する関数は、ラグランジアンとして扱うことができます。ただし、幅広い応用分野に対して一般的な表現を構築することは可能です。電磁場のない粒子システムの非相対論的ラグランジアンは、 ^{[ 8 ]で与えられます。}$${\displaystyle L=TV,}$$ どこ $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}}$$はシステムの 全運動エネルギーであり、の運動エネルギーの合計Σ に等しい。${\displaystyle N}$粒子。各粒子にはラベルが付けられています。${\displaystyle k}$質量を持つ${\displaystyle m_{k},}$また、v _k ² = v _k · v _kは速度の大きさの二乗であり、速度とそれ自身との内積に等しい。 ^{[ 9 ]}

運動エネルギーTはシステムの運動のエネルギーであり、速度v _kのみの関数であり、位置r _kや時間tの関数ではないため、T = T ( v ₁ , v ₂ , ...) となります。

系のポテンシャルエネルギーV は、粒子間の相互作用エネルギー、つまり、外部からの影響と合わせて、ある粒子が他のすべての粒子からどれだけのエネルギーを得ているかを反映しています。保存力(ニュートン重力など) の場合、V は粒子の位置ベクトルのみの関数なので、V = V ( r ₁ , r ₂ , ...) となります。適切なポテンシャル (電磁ポテンシャルなど) から導出できる非保存力の場合、速度も現れ、V = V ( r ₁ , r ₂ , ..., v ₁ , v ₂ , ...) となります。外部場や外部駆動力が時間とともに変化する場合、ポテンシャルも時間とともに変化するので、最も一般的にはV = V ( r ₁ , r ₂ , ..., v ₁ , v ₂ , ..., t )となります。

ラグランジアンの同等かつより数学的に厳密な定義は以下のとおりである。^{[ 10 ]} 3次元空間におけるN個の粒子 の系の場合、その系の構成空間は滑らかな多様体である。$\displaystyle Q\subseteq \mathbb {R} ^{3N}}$各構成${\displaystyle q\in Q}$これは、特定の時点における各粒子の空間的位置を指定するものであり、多様体は、システムに対する制約によって許容されるすべての構成から構成される。

ラグランジアンは滑らかな関数です。 ${\displaystyle L:TQ\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ どこ${\displaystyle TQ\subseteq \mathbb {R} ^{6N}}$は構成空間の接束です。つまり、の各要素は${\displaystyle TQ}$は粒子の位置と速度の両方を表し、タプルとして記述できます。${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\ldots {\dot {q}}_{N})}$と$q_i$そして$\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$i 番目の粒子の位置と速度をそれぞれ指定する。時間依存性$\displaystyle t\in \mathbb {R} }$これにより、ラグランジアンは時間依存の力やポテンシャルを記述することができる。

システムの軌跡は滑らかな関数である ${\displaystyle q:[t_{0},t_{1}]\to Q,}$ 時間の経過に伴う構成の変化を記述する。その速度は時間微分である。${\displaystyle {\dot {q}}(t)\in T_{q(t)}Q}$の${\displaystyle q(t)}$、そしてそのペア${\displaystyle (q(t),{\dot {q}}(t))\in TQ}$したがって、は任意のバンドルの要素である${\displaystyle t}$したがって、軌道の 作用汎関数は、経路に沿ったラグランジアンの積分として定義できる。${\displaystyle S[q]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(q(t),{\dot {q}}(t),t)\,dt.}$

ラグランジュ力学における運動法則は、与えられた2つの配置間のすべての軌道のうち、実際に系がたどる軌道は作用汎関数の臨界点（多くの場合、局所最小値であるが、必ずしもそうとは限らない）でなければならないという仮定から導き出される。これにより、オイラー・ラグランジュ方程式が得られる（下記も参照）。

既に述べたように、この形式のLは多くの重要なクラスのシステムに適用できますが、すべての場合に適用できるわけではありません。相対論的ラグランジュ力学の場合、特殊相対性理論 (ローレンツ変換の下でのスカラー) または一般相対性理論 (4 スカラー) と整合する関数で全体を置き換える必要があります。^{[ 14 ]}磁場が存在する場合、ポテンシャルエネルギーの式を再記述する必要があります。また、散逸力 (摩擦など) の場合、エネルギー損失を考慮するために、ラグランジュ関数に加えて、しばしば「レイリー散逸関数」と呼ばれる別の関数を導入する必要があります。^{[ 15 ]}

粒子の 1 つ以上は、それぞれ 1 つ以上のホロノミック拘束条件を受ける可能性があります。このような拘束条件は、 f ( r , t ) = 0の形式の方程式で表されます。システム内の拘束条件の数がCである場合、各拘束条件は、 f ₁ ( r , t ) = 0、f ₂ ( r , t ) = 0、 ...、f _C ( r , t ) = 0 という方程式を持ち、それぞれが任意の粒子に適用できます。粒子kが拘束条件iを受ける場合、f _i ( r _k , t ) = 0 となります。任意の瞬間において、拘束された粒子の座標は互いにリンクしており、独立ではありません。拘束方程式は、粒子が移動できる許容経路を決定しますが、各瞬間における粒子の位置や速度は決定しません。非ホロノミック拘束条件は、粒子の速度、加速度、または位置の高階微分に依存します。ラグランジュ力学は、制約条件が存在する場合、それがすべてホロノミックであるシステムにのみ適用できます。非ホロノミック制約の3つの例は次のとおりです。^{[ 16 ]}制約方程式が非積分可能な場合、制約条件に不等式が含まれる場合、または制約条件に摩擦などの複雑な非保存力が含まれる場合。非ホロノミック制約には特別な処理が必要であり、ニュートン力学に戻るか、他の方法を使用する必要がある場合があります。^{[ 17 ]}

簡略化のため、ニュートンの法則は一般性をほとんど損なうことなく、1つの粒子について説明できます（N個の粒子からなる系の場合、これらの式はすべて系内の各粒子に適用されます）。質量mが一定の粒​​子の運動方程式は、1687年のニュートンの第2法則であり、現代のベクトル表記では 次のようになります。$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}$$ ここで、aはその加速度、F はその物体に作用する合力です。質量が変化する場合には、運動量の時間微分を取るように方程式を一般化する必要があります。3 次元空間では、このベクトル方程式には 3 つの成分があるため、これは 3 つの連立 2 階常微分方程式のシステムであり、解く必要があります。解は、 t = 0のときのrとvの初期条件を満たす、時刻tにおける粒子の位置ベクトルrです。

ニュートンの法則はデカルト座標では使いやすいが、デカルト座標は必ずしも便利ではなく、他の座標系では運動方程式が複雑になることがある。曲線座標ξ = ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ) の法則は、テンソルインデックス表記では「ラグランジュ形式」^{[ 18 ] [ 19 ]}となる。$${\displaystyle F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^{a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}\right)=g^{ak}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\xi }}^{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{k}}}\right),\quad {\dot {\xi }}^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}},}$$ ここで、F ^{a は}粒子に作用する合力のa番目の反変成分であり、Γ ^a _bcは第 2 種の クリストッフェル記号である。$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}}$$ は粒子の運動エネルギーであり、g _{bc は曲線座標系の}計量テンソルの共変成分です。添え字a、b、cはそれぞれ 1、2、3 の値をとります。曲線座標は一般化座標とは異なります。

ニュートンの法則をこのような形で表現するのは複雑すぎるように思えるかもしれませんが、利点があります。クリストッフェル記号で表される加速度成分は、運動エネルギーの導関数を評価することで回避できます。粒子に作用する合力がゼロの場合、F = 0であれば、粒子は加速せず、一定の速度で直線上を移動します。数学的には、微分方程式の解は測地線、つまり空間内の2点間の極値の長さの曲線です（これらは最短経路、つまり最小になる場合もありますが、必ずしもそうとは限りません）。平坦な3次元実空間では、測地線は単なる直線です。したがって、自由粒子の場合、ニュートンの第2法則は測地線方程式と一致し、自由粒子は移動できる極値軌道である測地線をたどると述べています。粒子に力F ≠ 0が作用する場合、粒子は作用する力によって加速し、自由であればたどるはずの測地線から逸れます。ここで平坦な 3D 空間で与えられた量を適切に 4D曲がった時空に拡張すると、上記のニュートンの法則の形式はアインシュタインの一般相対性理論にも引き継がれ、その場合、自由粒子は曲がった時空の中で、もはや通常の意味での「直線」ではない測地線に沿って移動します。^{[ 20 ]}

しかし、粒子に作用する合計合力Fを知る必要があり、そのためには合力非拘束力Nと合力拘束力Cが必要となります。 $${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} .}$$

拘束力は一般的に時間に依存するため、複雑になる可能性がある。また、拘束が存在する場合、曲線座標は独立ではなく、1つ以上の拘束方程式によって関連付けられる。

拘束力は、運動方程式から消去して非拘束力のみを残すか、拘束方程式を運動方程式に含めることによって含めることができる。

自由度は1つ。

自由度は2つ。

曲線上に閉じ込められた質量mの粒子に対する拘束力Cと仮想変位δ r。結果として生じる非拘束力はNである。

解析力学における基本的な結果の一つは、静的平衡を理解するために1708年にジャック・ベルヌーイによって導入され、 1743年にダランベールによって動的問題を解決するために発展させられたダランベールの原理である。^{[ 21 ]}この原理は、N個の粒子に対して仮想仕事、すなわち仮想変位に沿った仕事が、${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{k}}$、はゼロです: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}+\mathbf {C} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0.}$$

仮想変位、${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{k}}$は、定義上、ある瞬間にシステムに作用する拘束力と一致するシステム構成の微小変化であり、^{[ 22 ]}つまり、拘束力が拘束された運動を維持するような変化です。これらは、粒子を加速および移動させるために粒子に作用する結果として生じる拘束力と非拘束力によって引き起こされる、システム内の実際の変位とは異なります。^{[注2 ]}仮想仕事は、任意の力（拘束力または非拘束力）に対して仮想変位に沿って行われる仕事です。

拘束力はシステム内の各粒子の運動に垂直に作用して拘束を維持するため、システムに作用する拘束力による仮想仕事の総量はゼロです。^{[ 23 ] [ nb3 ]}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0,}$$ となることによって $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0.}$$

このように、ダランベールの原理により、運動方程式から拘束力を排除し、適用された非拘束力のみに集中することができます。^{[ 23 ] [ 24 ]}示された形式は、座標の選択にも依存しません。ただし、変位が任意の座標系で運動方程式を設定するために容易に使用することはできません。${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{k}}$制約方程式によってN個の項が結び付けられている場合があり、その場合、N個の個々の項を0に設定することはできません。そこで、個々の項が0の場合に限り総和が0となるような、互いに独立した座標系を探します。各項を0に設定することで、最終的に運動方程式を分離することができます。

粒子kに制約がある場合、位置の座標r _k = ( x _k , y _k , z _k )は制約方程式によって結び付けられているため、仮想変位δ r _k = ( δx _k , δy _k , δz _k )も同様に結び付けられます。一般化座標は独立しているため、一般化座標の仮想変位に変換することでδ r _kの複雑さを回避できます。これらは全微分と同じ形式で関連付けられています。^{[ 9 ]}$${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}$$

これは仮想的な変位、つまりある瞬間の拘束条件に沿った変位であるため、時間に関する偏微分に時間増分を乗じたものは存在しない。

上記のダランベールの原理における最初の項は、仮想変位δ r _kに沿って非拘束力N _kが行う仮想仕事であり、一般性を失うことなく、一般化された力の定義によって一般化された類似物に変換することができる。$${\displaystyle Q_{j}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}},}$$ となることによって $${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}Q_{j}\delta q_{j}.}$$

これは一般化座標への変換の半分です。残りは加速度項を一般化座標に変換することですが、これはすぐには明らかではありません。ニュートンの第2法則のラグランジュ形式を思い出すと、運動エネルギーの一般化座標と速度に関する偏微分を求めることで、目的の結果が得られます。^{[ 9 ]}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}.}$$

さて、ダランベールの原理は、要求どおり一般化座標で表され、 $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left[Q_{j}-\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right)\right]\delta q_{j}=0,}$$ これらの仮想変位δq _{j は}独立でゼロではないため、係数をゼロに等しくすることができ、その結果、ラグランジュ方程式^{[ 25 ] [ 26 ]}または一般化された運動方程式[ ^{27 ]が得られます。}$${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}}$$

これらの式は、非拘束力に対するニュートンの法則と同等です。この式における一般化された力は、非拘束力のみから導出されます。拘束力はダランベールの原理から除外されており、求める必要はありません。一般化された力は、ダランベールの原理を満たす限り、非保存力となる可能性があります。^{[ 28 ]}

速度に依存する非保存力の場合、位置と速度に依存するポテンシャルエネルギー関数Vを見つけることができるかもしれません。一般化された力Q _{i が}ポテンシャルVから導出できる場合、^{[ 30 ] [ 31 ]}$${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},}$$ ラグランジュ方程式と等式を結び、ラグランジアンをL = T − Vと定義すると、第 2 種のラグランジュ方程式、すなわちオイラー・ラグランジュ運動 方程式が得られる。$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0.}$$

しかし、オイラー・ラグランジュ方程式は、図に示すようにポテンシャルが見出せる場合にのみ、非保存力を考慮することができます。非保存力の場合、常にポテンシャルが見出せるとは限らず、ラグランジュ方程式はポテンシャルを含まず、一般化された力のみを扱うため、オイラー・ラグランジュ方程式よりも一般的です。

オイラー・ラグランジュ方程式も変分法から導かれる。ラグランジアンの 変分は$${\displaystyle \delta L=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta {\dot {q}}_{j}\right),\quad \delta {\dot {q}}_{j}\equiv \delta {\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\equiv {\frac {\mathrm {d} (\delta q_{j})}{\mathrm {d} t}},}$$これはLの全微分 に似た形式ですが、微分が仮想変位とその時間微分に置き換えられ、仮想変位の定義に従って時間増分はありません。時間に関する部分積分により、 δq _jの時間微分を∂ L /∂(d q _j /d t ) に変換でき、その過程で d( δq _j )/d tをδq _jと交換することで、独立した仮想変位をラグランジアンの微分から因数分解できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t&=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)\,\mathrm {d} t\\&=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$$

さて、条件δq _j ( t ₁ ) = δq _j ( t ₂ ) = 0がすべてのjについて成り立つ場合、積分されていない項はゼロになります。さらに、δLの時間積分全体がゼロである場合、δq _jは独立であり、定積分がゼロになる唯一の方法は被積分関数がゼロに等しい場合であるため、 δq _jの各係数もゼロでなければなりません。すると、運動方程式が得られます。これはハミルトンの原理で要約できます。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=0.}$$

ラグランジアンの時間積分は、アクションと呼ばれる別の量であり、^{[ 32 ]のように定義されます。}$${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t,}$$ これは関数です。t 1_からt ₂までのすべての時間に対するラグランジュ関数を入力として受け取り、スカラー値を返します。その次元は[角運動量]、[エネルギー]・[時間]、または[長さ]・[運動量]と同じです。この定義では、ハミルトンの原理は次のようになります。 $${\displaystyle \delta S=0.}$$

粒子が加えられた力に応じて加速すると考える代わりに、初期時刻と最終時刻に構成空間内の経路の終点が固定された状態で、粒子が静止した作用で経路を選択すると考えることもできる。ハミルトンの原理は、いくつかの作用原理の1つである。^{[ 33 ]}

歴史的に、粒子が力の作用を受けてたどる最短経路を見つけるという考えは、1696年にジャン・ベルヌーイが解決した最速降下曲線問題や、同時期にライプニッツ、ダニエル・ベルヌーイ、ロピタル、そして翌年にニュートンが解決した力学の問題への変分法の最初の応用を促しました。 ^{[ 34 ]}ニュートン自身も変分法の考え方に沿って考えていましたが、発表しませんでした。^{[ 34 ]}これらの考えは、フェルマー、モーペルテュイ、オイラー、ハミルトンなどの力学の変分原理につながりました。

ハミルトンの原理は、拘束方程式を座標に関する1階微分方程式の線形結合という特定の形式にできる場合、非ホロノミック拘束にも適用できます。結果として得られる拘束方程式は、1階微分方程式に並べ替えることができます。^{[ 35 ]}ここではその説明は省略します。

ラグランジアンL は、 N 個の粒子に対して、デカルト座標r _kで変化させることができます。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0.}$$

ハミルトンの原理は、 L の座標が独立でない場合でも依然として有効です (ここではr _k ) 。ただし、拘束条件は依然としてホロノミックであると仮定されています。^{[ 36 ]}いつものように、すべてのkに対して端点は固定されていますδ r _k ( t ₁ ) = δ r _k ( t ₂ ) = 0。δ r _kは独立ではないため、δ r kの_係数を単純にゼロに等しくすることはできません。代わりに、ラグランジュ乗数法を使用して拘束条件を含めることができます。各拘束方程式f _i ( r _k , t ) = 0にi = 1, 2, ..., Cのラグランジュ乗数λ _iを乗じ、その結果を元のラグランジアンに加えると、新しいラグランジアンが得られます。 $${\displaystyle L'=L(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}(t)f_{i}(\mathbf {r} _{k},t).}$$

ラグランジュ乗数は時間tの任意の関数ですが、座標r _kの関数ではないため、乗数は位置座標と同等の地位にあります。この新しいラグランジアンを変化させて時間に関して積分すると、次のようになります。 $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L'\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0.}$$

導入された乗数は、 r _kが独立ではないにもかかわらず、δ r _kの係数がゼロになるように見つけることができます。運動方程式は次のようになります。前述の解析から、この積分の解を得ることは、次の記述と同等です。 $${\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,}$$ これらは第一種ラグランジュ方程式である。また、新しいラグランジアンに対する λ _{iオイラー・ラグランジュ方程式は拘束方程式を返す。}$${\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \lambda _{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\lambda }}_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)=0.}$$

r _k座標のみの関数であるポテンシャルエネルギーVの勾配によって与えられる保存力の場合、ラグランジアンL = T − Vを代入すると次のようになる 。$${\displaystyle \underbrace {{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}} _{-\mathbf {F} _{k}}+\underbrace {-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{k}}}} _{\mathbf {N} _{k}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0,}$$ 運動エネルギーの導関数を（負の）合力とみなし、ポテンシャルの導関数を非拘束力とみなすと、拘束力は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {C} _{k}=\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}},}$$ これにより、拘束力は拘束方程式とラグランジュ乗数を用いて明示的に表される。

与えられたシステムのラグランジアンは一意ではありません。ラグランジアンLにゼロでない定数aを掛け、任意の定数bだけシフトすると、新しいラグランジアンL ′ = aL + bはLと同じ運動を記述します。上記のように、与えられた時間間隔[ t _st , t _fin ]にわたる軌道qと固定された終点P _st = q ( t _st )およびP _fin = q ( t _fin )に制限すると、同じシステムを記述する 2 つのラグランジアンは、関数f ( q , t )の「全時間微分」だけ異なる可能性があります。^{[ 37 ]}$${\displaystyle L'(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)+{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}},}$$ どこ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}}}$手段${\textstyle {\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}.}$

ラグランジアンLとL ′ はどちらも同じ運動方程式を生成します^{[ 38 ] [ 39 ]。}対応するアクションSとS ′ は次のように関連付けられています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S'[\mathbf {q} ]&=\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L'(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt\\&=\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt+\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} (t),t)}{\mathrm {d} t}}\,dt\\&=S[\mathbf {q} ]+f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})-f(P_{\text{st}},t_{\text{st}}),\end{aligned}}}$$ 最後の 2 つの成分f ( P _fin、t _fin )とf ( P _st、t _st )はqに依存しない。

一般化座標qの集合が与えられたとき、点変換Q = Q ( q , t )に従ってこれらの変数を新しい一般化座標Qの集合に変更すると、 q = q ( Q , t )として可逆となり、新しいラグランジアンL ′ は新しい座標の関数となり、制約についても同様です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}L'(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)&=L(\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,t),{\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t),t),\\\phi _{j}'(\mathbf {Q} ,t)&=\phi _{j}(\mathbf {q} (\mathbf {Q} ,t),t)\end{aligned}}}$$また、偏微分に関する連鎖律 により、ラグランジュ方程式はこの変換の下で不変である。^{[ 40 ]}

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial Q_{i}}}+\sum _{j}\lambda _{j}{\frac {\partial \phi '_{j}}{\partial Q_{i}}}.}$$

ラグランジアンの重要な特性は、保存量がそこから容易に読み取れることである。座標q _iに「正準的に共役」な一般化運動量は次のように定義される。 $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$$

ラグランジアンL が何らかの座標q _iに依存しない場合、オイラー・ラグランジュ方程式から直ちに次のことが導かれる。 $${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}$$ 積分すると、対応する一般化運動量は定数、つまり保存量となることがわかる。これはネーターの定理の特殊な場合である。このような座標は「巡回座標」または「無視可能な座標」と呼ばれる。

例えば、システムにはラグランジアンがあるかもしれない。 $${\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {s}},{\dot {z}},{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {\phi }},t),}$$ ここで、rとzは直線に沿った長さ、sはある曲線に沿った弧長、θとφは角度です。z、s、φ は速度は含まれているにもかかわらず、ラグランジアンには含まれていないことに注意してください。すると運動量は $${\displaystyle p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}},\quad p_{s}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {s}}}},\quad p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}},}$$ これらはすべて保存量です。各一般化運動量の単位と性質は、対応する座標によって異なります。この場合、p _zはz方向の並進運動量、p _sは曲線sに沿った並進運動量、p _{φ は}角度φが測定される平面内の角運動量です。システムの運動がどれほど複雑であっても、すべての座標と速度は、これらの運動量が保存されるように変化します。

ラグランジアンが与えられた場合${\displaystyle L,}$対応する力学系のハミルトニアンは、定義 により、$${\displaystyle H={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\biggr )}-L.}$$ 一般化座標が自然座標である場合、つまり位置ベクトルを表す際に明示的な時間依存性がない場合、この量はエネルギーと等価になります。${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q_{1},\cdots ,q_{n})}$。 から： $${\displaystyle T={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}\sum _{i,j}\left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)\cdot \left({\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}\right)={\frac {m}{2}}\sum _{i,j}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{k=1}^{n}{\dot {q}}_{k}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{k}}}={\frac {m}{2}}\left(2\sum _{i,j}a_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}\right)=2T}$$$${\displaystyle H=\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-L=2T-(T-V)=T+V=E}$$ どこ${\displaystyle a_{ij}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}}$は、導出のために定義された対称行列です。