レイリー散逸関数

物理学において、レイリー散逸関数は、レイリー卿にちなんで名付けられ、ラグランジュ力学における速度に比例する摩擦力の影響を扱うために使用される関数である。この関数は、1873年に彼によって初めて導入された。^[1] 速度を持つ粒子にかかる摩擦力が と書ける場合、レイリー散逸関数は粒子系に対して次のように 定義できる。${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {F}}_{f}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {v}}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle R(v)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}(k_{x}v_{i,x}^{2}+k_{y} v_{i,y}^{2}+k_{z}v_{i,z}^{2})。}$

この関数は、摩擦によるシステムのエネルギー散逸率の半分を表します。摩擦力は、散逸関数の速度勾配の負の値で、ポテンシャルの負の位置勾配に等しい力に似ています。この関係は、一般化座標系で次のように 表されます。${\displaystyle {\vec {F}}_{f}=-\nabla _{v}R(v)}$${\displaystyle q_{i}=\left\{q_{1},q_{2},\ldots q_{n}\right\}}$

${\displaystyle {\vec {F}}_{f}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$。

摩擦は保存則ではないので、ラグランジュ方程式の項に含まれる。 ${\displaystyle Q_{i}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}}$。

一般化座標で記述された摩擦力の値をオイラー・ラグランジュ方程式に適用すると、次の式が得られる（^[2]を参照）。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$。

レイリーはラグランジアンを運動エネルギーから位置エネルギーを引いたものとして書き、1873年のレイリーの式(26)を導き出した。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle T}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=0}$。

1970年代以降、レイリー散逸ポテンシャルという名前がより一般的になった。さらに、元の理論は、2次関数から、 （当時は状態依存性と呼ばれていた）に依存する散逸ポテンシャルに一般化され、非2次となり、クーロン摩擦や塑性のような非線形摩擦法則につながる。主な仮定は、写像が凸であり、を満たすことである。例えば、 ^{[3] [4] [5]を参照のこと。}${\displaystyle R}$${\displaystyle q\mapsto R({\dot {q}})={\frac {1}{2}}{\dot {q}}\cdot \mathbb {V} {\dot {q}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\dot {q}}\mapsto R(q,{\dot {q}})}$${\displaystyle 0=R(q,0)\leq R(q,{\dot {q}})}$