オストログラツキー不安定性

応用数学において、オストログラツキー不安定性は、2つ以上の時間微分を持つ運動方程式を持つ理論（高次微分理論）のいくつかの解の特徴である。これは、古典力学におけるミハイル・オストログラツキーの定理によって示唆されており、それによれば、1次よりも高次の時間微分に依存する非退化ラグランジアンは、下から無制限のハミルトニアンに対応する。通常どおり、ハミルトニアンはルジャンドル変換を介してラグランジアンに関連付けられている。オストログラツキー不安定性は、2次よりも高次の微分方程式が物理現象を記述できない理由の説明として提案されている。^[1] しかし、オストログラツキーの定理は、多くの反例が知られているように、高次微分理論のすべての解が不安定であることを意味するわけではない。^{[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]}

証明の要点は、ラグランジアンを持つ1次元系を考えることでより明確になる。オイラー・ラグランジュ方程式は ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}+{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}=0.}$

の非退化とは、標準座標をの導関数で表すことができ、その逆も成り立つことを意味します。したがって、 はの関数です(そうでなければ、ヤコビアンが消え、 が退化していることを意味します)。つまり、 または を逆にすると と書くことができます。の発展は4 つの初期パラメータに依存するため、これは 4 つの標準座標があることを意味します。これらは次のように書くことができます。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle {q}}$${\displaystyle \partial L/\partial {\ddot {q}}}$${\displaystyle {\ddot {q}}}$ ${\displaystyle \det[\partial ^{2}L/(\partial {{\ddot {q}}_{i}}\,\partial {\ddot {q}}_{j})]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle q^{(4)}=F(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},q^{(3)})}$${\displaystyle q=G(t,q_{0},{\dot {q}}_{0},{\ddot {q}}_{0},q_{0}^{(3)})}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle Q_{1}:=q}$

${\displaystyle Q_{2}:={\dot {q}}}$

共役運動量の定義を用いると、

${\displaystyle P_{1}:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\部分的な {\ddot {q}}}}$

${\displaystyle P_{2}:={\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}}$

上記の結果は次のようにして得られる。まず、ラグランジアン乗数を新しい動的変数として導入して、ラグランジアンを「通常の」形式に書き直す。${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})\to {\tilde {L}}=L(Q_{1},{\dot {Q_{1}}},{\dot {Q_{2}}})-\lambda (Q_{2}-{\dot {Q_{1}}})}$、

そこから、オイラー・ラグランジアン方程式は次 のようになる。${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\lambda }$

${\displaystyle Q_{1}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+{\dot {\lambda }}-{\frac {\partial L}{\partial Q_{1}}}=0}$、

${\displaystyle Q_{2}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}+{\lambda }=0}$、

${\displaystyle \lambda :Q_{2}-{\dot {Q_{1}}}=0}$、

さて、に対する正準運動量は、次のように簡単に示される。 ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle {\tilde {L}}}$

${\displaystyle P_{1}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+\lambda ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

${\displaystyle P_{2}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}={\frac {\partial {L}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

その間

${\displaystyle P_{\lambda }=0}$

これらはまさにオストログラツキが上で示した定義である。さらに進んでハミルトニアンを評価することもできる。

${\displaystyle {\tilde {H}}=P_{1}{\dot {Q_{1}}}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-{\tilde {L}}=P_{1}Q_{2}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}-{L}}$、

ここで、2 番目の等式には上記のオイラー-ラグランジアン方程式を使用します。非退化のため、と書くことができます。ラグランジアン自体には 3 つの自由パラメータしかないため、ここでは3 つの引数のみが必要です。したがって、最後の式は のみに依存し、実質的に元の理論のハミルトニアンとして機能します。つまり、 ${\displaystyle {\ddot {q}}={\dot {Q_{2}}}}$${\displaystyle a(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$${\displaystyle P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}}$

${\displaystyle H=P_{1}Q_{2}+P_{2}a(Q_{1},Q_{2},P_{2})-L(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$。

ここで、ハミルトニアンは で線形であることがわかります。これがオストログラツキー不安定性の原因であり、ラグランジアンが依存する座標の数が標準座標（問題を特定するために必要な初期パラメータに対応）の数より少ないことから生じます。より高次元のシステムへの拡張も同様であり、より高次の導関数への拡張は、位相空間が配置空間よりもさらに高次元であることを意味します。 ${\displaystyle P_{1}}$