変分法の基本補題

数学、特に変分法においては、関数fの変分δ fは任意の小さな区間に集中させることができますが、一点に集中させることはできません。したがって、極値（関数の導関数がゼロに等しい）の必要条件は、任意の関数δ fと積分された弱い形式（変分形式）に現れます。変分法の基本補題は、通常、この弱い形式を、任意の関数との積分を含まない強い形式（微分方程式）に変換するために用いられます。証明は通常、f が正または負の符号を保つ区間に集中したδ f を選択できる可能性を利用します。この補題にはいくつかのバージョンが用いられています。基本的なバージョンは簡単に定式化および証明できます。より強力なバージョンは必要に応じて使用されます。

連続関数${\displaystyle f}$オープンインターバル中${\displaystyle (a,b)}$等式を満たす

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

コンパクトにサポートされている すべての滑らかな関数${\displaystyle h}$の上${\displaystyle (a,b)}$、 それから${\displaystyle f}$は完全にゼロである。^{[ 1 ] [ 2 ]}

ここで「滑らか」は「無限回微分可能」と解釈される場合もあるが^{[ 1 ]}、「2回連続微分可能」または「連続微分可能」、あるいは単に「連続」と解釈されることも多い^{[ 2 ]。}これは、これらの弱い表現でも特定のタスクには十分である可能性があるためである。「コンパクトにサポートされている」とは「外側で消滅する」という意味である。${\displaystyle [c,d]}$一部の人にとって${\displaystyle c}$、${\displaystyle d}$そのため${\displaystyle a<c<d<b}$「; ^{[ 1 ]}しかし多くの場合、より弱い表現で十分であり、${\displaystyle h}$（または${\displaystyle h}$（およびその多くの導関数）は端点で消滅する${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$[ ^{2 ]この場合、}閉区間${\displaystyle [a,b]}$使用されます。

仮定する${\displaystyle f({\bar {x}})\neq 0}$一部の人にとって${\displaystyle {\bar {x}}\in (a,b)}$。 以来${\displaystyle f}$連続であり、ある値に対して同じ符号でゼロではない。${\displaystyle c,d}$そのため${\displaystyle a<c<{\bar {x}}<d<b}$一般性を失うことなく、${\displaystyle f({\bar {x}})>0}$.次に${\displaystyle h}$それは${\displaystyle (c,d)}$例えば、他の場所ではゼロ

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(xc)(dx)}}\right),&c<x<d\\0,&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$。

このバンプ関数は、以下の条件を満たしていることに注意してください。$\displaystyle C^{\infty }}$。 以来

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)h(x)dx>0,}$

矛盾に陥る。^{[ 3 ]}

区間 ( a , b ) 上の連続関数f、gのペアが等式を満たす 場合

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x))\,\mathrm {d} x=0}$

( a , b ) 上のコンパクト台を持つ滑らかな関数hに対して、gは微分可能であり、g' = f が至るところで成り立つ。^{[ 4 ] [ 5 ]} 

g = 0の特殊なケースは、基本バージョンと同じです。

以下は、 f = 0の場合の特殊なケースです（多くの場合、これで十分です）。

区間 ( a , b ) 上の連続関数g が等式を満たす 場合

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,h'(x)\,\mathrm {d} x=0}$

( a , b )上のすべての滑らかな関数hに対して、${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$、この場合gは定数である。^{[ 6 ] [ 7 ]}

さらに、gの連続微分可能性を仮定すると、部分積分によって両方の命題は基本形に帰着します。このケースはジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによるものとされ、 gの微分可能性の証明はポール・デュ・ボワ＝レイモンによるものです。

与えられた関数 ( f、g ) は、局所的に積分可能(与えられた区間上)であれば、不連続であっても構いません。この場合、ルベーグ積分が意味され、結論はほとんど至るところで(つまり、すべての連続点で) 成り立ち、gの微分可能性は(連続微分可能性ではなく)局所的な絶対連続性として解釈されます。 ^{[ 8 ] [ 9 ]}与えられた関数が区分的に連続であると仮定される場合もあり、その場合はリーマン積分で十分であり、結論は有限個の不連続点を除いて至るところで述べられます。^{[ 5 ]}

連続関数のタプル${\displaystyle f_{0},f_{1},\dots ,f_{n}}$区間 ( a , b ) において等式が成り立つ

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{0}(x)\,h(x)+f_{1}(x)\,h'(x)+\dots +f_{n}(x)\,h^{(n)}(x))\,\mathrm {d} x=0}$

( a , b ) 上のコンパクト台を持つ滑らかな関数hに対して、連続微分可能な関数が存在する。${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots ,u_{n-1}}$( a , b ) 上で、

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&=u'_{0},\\f_{1}&=u_{0}+u'_{1},\\f_{2}&=u_{1}+u'_{2}\\\vdots \\f_{n-1}&=u_{n-2}+u'_{n-1},\\f_{n}&=u_{n-1}\end{aligned}}}$

どこにでも。^{[ 10 ]}

この必要条件は十分条件でもある。なぜなら、被積分関数は次のようになるからである。${\displaystyle (u_{0}h)'+(u_{1}h')'+\dots +(u_{n-1}h^{(n-1)})'.}$

n = 1の場合は、2 つの関数が与えられた場合のバージョンです。${\displaystyle f=f_{0}=u'_{0}}$そして${\displaystyle f_{1}=u_{0},}$したがって、${\displaystyle f_{0}-f'_{1}=0.}$

対照的に、 n = 2の場合は次の関係は成り立たない。${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0,}$関数が${\displaystyle f_{2}=u_{1}}$2回微分可能である必要はない。十分条件${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0}$は必ずしも必要ではない。むしろ、必要かつ十分な条件は次のように書ける。${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-f'_{2})'=0}$n = 2 の場合、${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-(f_{2}-f'_{3})')'=0}$n = 3の場合など。一般に、微分不可能なため括弧を開くことはできません。

ベクトル値関数への一般化$\displaystyle (a,b)\to \mathbb {R} ^{d}}$は簡単です。スカラー関数の結果を各座標に個別に適用するか、^{[ 11 ]}最初からベクトル値の場合を扱います。^{[ 12 ]}

開集合上の連続多変数関数fの場合$\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$等式を満たす

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

Ω上のコンパクトな台を持つ滑らかな関数hすべてに対して、fは恒等的にゼロである。

基本バージョンと同様に、Ωの閉包上の連続関数fを考えることができる。ただし、 hはΩの境界上でゼロになる（コンパクト台を持つのではなく）と仮定する。^{[ 13 ]}

不連続な多変数関数に対応したバージョンを以下に示します。

させて$\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$開集合であり、${\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}$等式を満たす

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

Ω 上のコンパクト台を持つ滑らかな関数hすべてに対して、 f = 0 ( L ²内、つまりほとんど至るところで) が成り立つ。^{[ 14 ]}

この補題は、関数の極値を証明するために使用されます。

${\displaystyle J[y]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L(t,y(t),{\dot {y}}(t))\,\mathrm {d} t}$

弱い解決策 ${\displaystyle y:[x_{0},x_{1}]\to V}$（適切なベクトル空間の場合）${\displaystyle V}$オイラー・ラグランジュ方程式の

$\displaystyle {\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial y}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial {\dot {y}}}.}$

オイラー・ラグランジュ方程式は、古典力学と微分幾何学において重要な役割を果たしている。

• Jost, Jürgen ; Li-Jost, Xianqing (1998), Calculus of variations , Cambridge University
• ゲルファンド、IM；フォミン、SV（1963）、『変分法』、プレンティス・ホール（ロシア語からの翻訳）
• ヘステネス、マグナス・R. (1966)、『変分法と最適制御理論』、ジョン・ワイリー
• ジャクインタ、マリアーノ；ヒルデブラント、ステファン（1996）、『変分法 I』、シュプリンガー
• リベルゾン、ダニエル（2012）、『変分法と最適制御理論』、プリンストン大学出版局