行動原則

物体の相互作用に関する科学である力学の入門的な学習は、通常、質量に作用したときに生じる加速度によって定義される力の概念に基づくニュートンの法則から始まります。F = ma 。この力学へのアプローチは、空間と時間の単一の点に焦点を当て、「次に何が起こるか」という質問に答えようとします。^{[ 3 ]}作用原理に基づく力学は、問題の物理学によって定義される運動エネルギーと位置エネルギーの間のエネルギーのトレードオフである作用の概念から始まります。これらのアプローチは、開始点と終了点に関連する質問に答えます。どの軌道でバスケットボールをフープに入れるか? 今日ロケットを月に打ち上げた場合、5日後にそこに着陸するにはどうすればよいか? ^{[ 3 ]}ニュートン形式と作用原理形式は同等であり、どちらでも同じ問題を解決できますが、適切な形式を選択すると、解決がはるかに容易になる場合があります。

作用原理におけるエネルギー関数は、全エネルギー（孤立系では保存される）ではなく、運動エネルギーと位置エネルギーの差であるラグランジアンである。運動エネルギーは系内のすべての物体の運動エネルギーを合わせたものであり、位置エネルギーは物体の瞬間的な位置に依存し、物体の運動を駆動する。物体の運動によって、物体は新たな位置と新たな位置エネルギー値を持つようになり、ラグランジアンも新たな値となる。^{[ 4 ]： 125}

力ではなくエネルギーを使うことで、力学の基礎としてすぐに利点が得られます。力学では、シナリオ内の各オブジェクトに対して 3 つの空間座標と 3 つの運動量座標を持つ 3 次元ベクトル解析が伴います。エネルギーはすべてのオブジェクトからの情報を結合したスカラー量であり、多くの場合すぐに簡略化されます。力の成分は座標系によって変化しますが、エネルギーの値はすべての座標系で同じです。^{[ 5 ]： xxv}力には慣性系が必要です。^{[ 6 ]： 65}速度が光速に近づくと、特殊相対性理論は力に基づく力学に大きな影響を与えます。作用原理では、相対性理論は単に異なるラグランジアンを必要とするだけで、原理自体は座標系に依存しません。^{[ 7 ]}

力に基づく力学の説明図は通常、運動量の中心などの単一の点に焦点を当て、力と速度のベクトルを示します。作用に基づく力学の説明図には、実際の経路と可能な経路で結ばれた2つの点があります。^{[ 8 ]}これらの図式上の慣例は、それぞれの方法の異なる強みを繰り返しています。

力の図解補助

行動原理の図解補助

作用原理によっては、図中の経路で結ばれた2つの点は、異なる時点における2つの粒子の位置を表す場合もあれば、構成空間や位相空間における値を表す場合もある。作用原理の数学的技術と用語は、まず物理空間で考えることで習得し、その後、より強力で一般的な抽象空間に適用することができる。

アクション原理は、2点間の可能な各経路に数値（アクション）を割り当てます。この数値は、経路の各小さな区間のエネルギー値にその区間で費やした時間を掛け合わせることによって計算されます。^{[ 8 ]}

アクション${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigl (}{\text{KE}}(t)-{\text{PE}}(t){\bigr )}\,dt,}$

運動エネルギー（ KE）と位置エネルギー（PE ）の式は、物理問題によって異なり、経路上の各点におけるそれらの値は、その点に対応する相対座標によって決まります。エネルギー関数はラグランジアンと呼ばれ、単純な問題では、系の運動エネルギーから位置エネルギーを引いた値になります。

古典力学では、2点間を移動する系は特定の経路をたどり、他の類似した経路はたどりません。考えられるすべての経路は、作用の値に対応します。作用原理は、たどられた特定の経路が系の作用に対して定常的な値を持つことを予測または説明します。つまり、たどられた経路の近くにある類似した経路は、非常に類似した作用値を持つということです。この作用値の変動こそが、作用原理の鍵となります。

量子力学では、考えられるすべての経路が系の挙動に振幅を与え、各振幅の位相はその経路の作用によって決定されます（位相 =作用/ ħ ）。古典的な経路が現れる理由は以下のとおりです。

• 定常作用の経路の近くでのみ、隣接する経路は同様の位相を持ち、建設的干渉が生じる。
• 隣接する経路は位相によって急速に変化する動作を持ち、他の経路に干渉する。

問題の規模がプランク定数ħ（古典的な限界）よりもはるかに大きい場合、干渉を免れるのは定常作用経路のみである。

記号δは経路の変化を示すために使用され、作用原理は数学的に次のように表されます。

${\displaystyle (\delta S)_{C}=0,}$

つまり、定常点では、固定された制約Cの下での作用Sの変化はゼロである。^{[ 9 ] : 38} 作用原理の場合、定常点は最小値または鞍点である可能性があるが、最大値ではない。^{[ 10 ]}楕円形の惑星軌道は、軌道の周りの各方向に 1 つずつ、作用が等しい 2 つの経路の簡単な例を提供する。どちらも最小値または「最小作用」にはなり得ない。^{[ 2 ] : 175} δによって示される経路の変化は、dtのような微分と同じではない。作用積分はオブジェクトの座標に依存し、これらの座標はたどった経路に依存する。したがって、作用積分は関数であり、関数の関数である。 

幾何学における重要な結果であるノーターの定理は、ラグランジアンにおける保存量は連続対称性を意味し、その逆もまた真であると述べている。^{[ 11 ]}例えば、時間に依存しないラグランジアンはエネルギー保存系に対応し、空間並進の独立性は運動量保存を意味し、角回転の不変性は角運動量保存を意味する。^{[ 12 ]： 489} これらの例はグローバル対称性であり、独立性自体が空間や時間に依存しない。空間や時間に関数的に依存するより一般的なローカル対称性はゲージ理論につながる。^{[ 13 ]}観測されたアイソスピンの保存は、 1953年に楊振寧とロバート・ミルズによって中間子のゲージ理論を構築するために用いられ、数十年後に現代の素粒子物理学理論へとつながった。^{[ 14 ]： 202}

全エネルギーと終点が固定されている場合、モーペルテュイの最小作用原理が適用されます。例えば、バスケットボールで得点するには、ボールはシューターの手から離れてフープを通過しなければなりませんが、飛行時間は制限されません。^{[ 3 ]}モーペルテュイの最小作用原理は、数学的には定常条件として表されます。 $${\displaystyle (\delta W)_{E}=0}$$簡略化された訴訟 について$${\displaystyle W[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{q_{1}}^{q_{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {dq} ,}$$ （S ₀と表記されることもある）ここで、p = ( p ₁ , p ₂ ,…, p _N )は、次の式で定義される 一般化座標の粒子運動量または共役運動量である。$${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}},}$$ ここで、L ( q , q̇ , t )はラグランジアンです。一部の教科書では^{、この形式}の作用原理で使用される変分がハミルトンの変分とは異なることを強調するために、 Δ S ₀として[ 15 ] ^{: 76 [ 9 ] : 356} ( δW ) _E = 0と書いています。ここでは、全エネルギーEは変分中に固定されますが、時間は固定されません。これはハミルトンの原理の制約の逆です。^{[ 16 ]}その結果、同じ経路と終点でも、2 つの形式では異なる時間とエネルギーになります。この形式のモーペルテュイの原理の場合の解は軌道です。軌道とは、時間が単なるインデックスまたはパラメータである座標同士の関係を表す関数です。^{[ 16 ]}

物理問題で2つの終点が位置と時間、つまりイベントとして与えられる場合、ハミルトンの作用の原理が適用されます。たとえば、月への旅行を計画していると想像してみてください。旅行中、月は地球の周りを公転し続けます。つまり、月は動く目標物です。位置q ( t )にある物体に対するハミルトンの原理は、数学的に次のように表されます。 $${\displaystyle (\delta {\mathcal {S}})_{\Delta t}=0,\quad {\text{ただし}}\ {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt.}$$ 制約Δ t = t ₂ − t ₁は、同じ時間で同じ 2 つの点q ( t ₁ )とq ( t ₂ )を結ぶ経路のみを考慮することを意味します。ラグランジアン${\displaystyle L=TV}$は、経路上の各点における運動エネルギーと位置エネルギーの差である。^{[ 17 ] : 62}結果として得られる方程式の解は、世界線q ( t )を与える。^{[ 3 ]}ハミルトンの原理から出発して、固定エネルギーのシステムに対して局所微分オイラー・ラグランジュ方程式を導出することができる。${\displaystyle S}$ハミルトンの原理は、モーペルテュイの原理における作用のルジャンドル変換である。 ^{[ 18 ]}

粒子力学で有用な概念や多くの手法は、連続場にも適用できる。作用積分はラグランジュ密度上で行われるが、概念が非常に近いため、密度はしばしば単にラグランジアンと呼ばれる。^{[ 19 ]： 15}

量子力学においては、作用原理には大きな利点がある。すなわち、必要な力学的公準は1つだけで、作用に共変ラグランジアンを用いると、結果は相対論的に正しく、古典力学的な等価物へと明確に移行する。^{[ 2 ]： 128}

リチャード・ファインマンとジュリアン・シュウィンガーは、ポール・ディラックの初期の研究に基づいて量子作用原理を発展させた。ファインマンの積分法は変分原理ではなく、古典的な最小作用原理に帰着し、ファインマン図につながった。シュウィンガーの微分法は、微小な振幅の変化を微小な作用の変化に関連付ける。^{[ 2 ]： 138}

作用原理は、荷重を受けた弾性棒の形状^{[ 23 ] : 9、2枚} の垂直板間の液体の形状（毛細管）^{[ 23 ] : 22} 、または支持 部が動いているときの振り子の運動^{[ 23 ] : 39など、古典力学の多くの問題に直接適用できる。}

量子作用原理は、分子内の原子の量子論（QTAIM）で使用されており、分子の計算された電子密度を原子に分解することで化学結合についての洞察を得る方法です。^{[ 24 ]}

アインシュタインの一般相対性理論の研究に触発され、著名な数学者デイヴィッド・ヒルベルトは最小作用の原理を適用して一般相対性理論の場の方程式を導出した。^{[ 25 ]： 186}彼の作用は現在アインシュタイン・ヒルベルト作用として知られている。

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x,}$

相対論的に不変な体積要素√ − g d ⁴ xとリッチスカラー曲率Rが含まれていた。スケールファクター${\displaystyle \kappa }$はアインシュタインの重力定数です。

作用原理は現代物理学と数学において非常に中心的な役割を果たしており、熱力学^{[ 26 ] [ 27 ] [ 28 ]} 、流体力学^{[ 29 ]} 、相対性理論、量子力学^{[ 30 ]}、素粒子物理学、弦理論^{[ 31 ]}など、幅広い分野で応用されている。