波の干渉

上記は、2つの波の和の公式を導出することで1次元で実証できます。x軸に沿って右方向に伝搬する 正弦波の振幅の式は次のとおりです。$${\displaystyle W_{1}(x,t)=A\cos(kx-\omega t)}$$ どこ${\displaystyle A}$はピーク振幅です。${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$波数であり、${\displaystyle \omega =2\pi f}$は波の 角周波数です。同じ周波数と振幅を持つが位相が異なる第2の波も右方向に伝わっているとします。$${\displaystyle W_{2}(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )}$$ どこ${\displaystyle \varphi }$は波間の位相差（ラジアン）です。2つの波は重ね合わされて加算されます。2つの波の合計は $${\displaystyle W_{1}+W_{2}=A[\cos(kx-\omega t)+\cos(kx-\omega t+\varphi )].}$$2つのコサインの和に関する三角関数の恒等式 を用いると、次のようになる。${\textstyle \cos a+\cos b=2\cos \left({ab \over 2}\right)\cos \left({a+b \over 2}\right),}$これは次のように書くことができる $${\displaystyle W_{1}+W_{2}=2A\cos \left({\varphi \over 2}\right)\cos \left(kx-\omega t+{\varphi \over 2}\right).}$$ これは、元の周波数の波を表しており、その成分と同様に右方向に伝播し、振幅はコサインに比例します。${\displaystyle \varphi /2}$。

• 建設的干渉：位相差がπの偶数倍である場合：${\displaystyle \varphi =\ldots ,-4\pi ,-2\pi ,0,2\pi ,4\pi ,\ldots }$それから${\displaystyle \left|\cos(\varphi /2)\right|=1}$したがって、2つの波の合計は振幅が2倍の波になります。$${\displaystyle W_{1}+W_{2}=2A\cos(kx-\omega t)}$$
• 破壊的干渉：位相差がπの奇数倍の場合：${\displaystyle \varphi =\ldots ,-3\pi ,\,-\pi ,\,\pi ,\,3\pi ,\,5\pi ,\ldots }$それから${\displaystyle \cos(\varphi /2)=0\,}$したがって、2つの波の合計はゼロになります。$${\displaystyle W_{1}+W_{2}=0}$$

同じ周波数の2つの平面波が角度をつけて交差すると、単純な干渉パターンが得られます。一方の波は水平方向に伝搬し、もう一方の波は最初の波に対して角度θで下向きに伝搬します。2つの波が点Bで同位相であると仮定すると、相対位相はx軸に沿って変化します。点Aにおける位相差は次のように表されます。

$${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {2\pi d}{\lambda }}={\frac {2\pi x\sin \theta }{\lambda }}.}$$

2つの波が同位相であることがわかるのは、

$${\displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots ,}$$

そして半周期位相がずれている

$${\displaystyle {\frac {x\sin \theta }{\lambda }}=\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {3}{2}},\ldots }$$

波が同位相のときに建設的干渉が起こり、半周期位相がずれているときに破壊的干渉が起こる。したがって、干渉縞パターンが生成され、最大値の間隔は

$${\displaystyle d_{f}={\frac {\lambda }{\sin \theta }}}$$

d _fは干渉縞の間隔として知られています。干渉縞の間隔は波長の増加とともに増加し、角度θの減少とともに増加します。

干渉縞は2つの波が重なる箇所すべてで観察され、干渉縞の間隔は全体を通して均一である。

点光源は球面波を生成します。2つの点光源からの光が重なると、干渉パターンによって2つの波の位相差が空間的にどのように変化するかが明らかになります。これは波長と点光源間の距離に依存します。右の図は、2つの球面波の干渉を示しています。波長は上から下に向かって長くなり、光源間の距離は左から右に向かって長くなります。

観測面が十分に遠ければ、波はほぼ平面状になるため、干渉縞のパターンはほぼ直線の連続となる。

干渉は、複数の波が重ね合わされる際に発生する現象であり、ただし、観測時間を通してそれらの波間の位相差が一定に保たれることが条件となる。

同じ周波数と振幅を持つ複数の波が、互いに打ち消し合ってゼロになる（つまり、干渉し合って相殺される）ことが望ましい場合がある。これは、例えば3相電力や回折格子などの原理である。これらの場合、位相の間隔を均一にすることで、このような結果が得られる。

振幅が同じで位相が等間隔であれば、一連の波は打ち消し合うことは容易にわかる。フェーザを用いると、各波は次のように表すことができる。${\displaystyle Ae^{i\varphi _{n}}}$のために${\displaystyle N}$波から${\displaystyle n=0}$に${\displaystyle n=N-1}$、 どこ $${\displaystyle \varphi _{n}-\varphi _{n-1}={\frac {2\pi }{N}}.}$$

それを示すために $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}Ae^{i\varphi _{n}}=0}$$

逆を仮定し、両辺に${\displaystyle e^{i{\frac {2\pi }{N}}}.}$

ファブリ・ペロー干渉計は、複数の反射光間の干渉を利用する。

回折格子は、多光束干渉計と考えることができます。なぜなら、回折格子が生成するピークは、格子内の各要素を透過した光同士の干渉によって生じるからです。詳細については、「干渉と回折」の項を参照してください。

上記の議論では、互いに干渉する波は単色波、つまり単一の周波数を持つと仮定している。これは、波が時間的に無限であることを意味する。しかし、これは実際的にも必要条件でもない。有限の持続時間を持つ同一の2つの波は、その持続時間の間周波数が一定であれば、重なり合う間に干渉縞を生じる。有限の持続時間（ただし、コヒーレンス時間より短い）を持つ狭い周波数スペクトルの波からなる同一の2つの波は、わずかに異なる間隔の干渉縞パターンを生じ、間隔のばらつきが平均干渉縞間隔よりかなり小さければ、2つの波が重なり合う間にも干渉縞パターンが観測される。

従来の光源は、光源内の異なる場所から異なる周波数と異なる時間に波を放出します。光を2つの波に分割して再結合すると、個々の光波はもう一方の半分と干渉パターンを生成する可能性がありますが、生成される個々の干渉縞パターンは位相と間隔が異なり、通常は全体的な干渉縞パターンは観察できません。しかし、ナトリウムランプや水銀蒸気ランプなどの単一素子光源は、非常に狭い周波数スペクトルの発光線を持っています。これらを空間フィルターとカラーフィルターでフィルタリングし、2つの波に分割すると、重ね合わせて干渉縞を生成できます。^{[ 3 ]}レーザーの発明以前のすべての干渉法は、このような光源を使用して行われ、幅広い分野で成功を収めました。

レーザー光は一般的に単色光源に非常に近い性質を持つため、レーザー光を用いて干渉縞を生成することは非常に容易です。しかし、レーザー光で干渉縞を容易に観察できることが、時に問題となることがあります。それは、迷光による反射によって偽の干渉縞が生じ、誤差が生じる可能性がある点です。

通常、干渉法では単一のレーザービームが使用されますが、位相要件を満たすのに十分な周波数が一致した2つの独立したレーザーを使用して干渉が観測されています。^{[ 4 ]} これは、2つの非干渉性レーザー光源間の広視野干渉でも観測されています。^{[ 5 ]}

白色光を用いて干渉縞を観察することも可能です。白色光の干渉縞パターンは、それぞれわずかに間隔が異なる干渉縞パターンの「スペクトル」で構成されていると考えることができます。すべての干渉縞パターンが中心で同位相である場合、波長が短くなるにつれて干渉縞のサイズは大きくなり、合計強度は色の異なる3～4本の干渉縞を示します。ヤングはこのことを2つのスリット干渉に関する議論の中で非常に優雅に説明しています。白色光の干渉縞は、2つの波が光源から等しい距離を移動した場合にのみ得られるため、ゼロ光路差干渉縞を識別できるため、干渉法において非常に有用です。^{[ 6 ]}

干渉縞を生成するには、光源からの光を2つの波に分割し、その後再び合成する必要がある。従来、干渉計は振幅分割方式と波面分割方式に分類されてきた。

振幅分割方式では、ビームスプリッターを用いて光を異なる方向に進む2つのビームに分割し、それらを重ね合わせることで干渉縞を生成します。マイケルソン干渉計やマッハ・ツェンダー干渉計は、振幅分割方式の例です。

波面分割システムでは、波は空間的に分割されます。例としては、ヤングの二重スリット干渉計やロイドの鏡などがあります。

干渉は、虹色や構造色といった日常的な現象にも見られます。例えば、シャボン玉に見られる色は、薄い石鹸膜の表裏両面で反射する光の干渉によって生じます。膜の厚さによって、異なる色が強め合ったり弱め合ったりして干渉します。

• 薄膜干渉によって引き起こされる虹彩現象
• 
  虹色に輝く背面パネルを備えたスマートフォン
• 
  石油流出
• 
  石鹸の泡の中で見られる白色光の干渉現象。

音響学において、うなりとは、わずかに周波数の異なる2つの音の間の干渉パターンであり、2つの周波数の差に等しい周期的な音量変化として知覚される。

持続音を生成できる調律器具を使えば、うなりを容易に認識できます。2つの音をユニゾンに調律すると、独特な効果が現れます。2つの音のピッチが近いが同一ではない場合、周波数の差によってうなりが発生します。音が交互に建設的干渉と破壊的干渉を起こすため、音量はトレモロのように変化します。2つの音が徐々にユニゾンに近づくにつれて、うなりは遅くなり、知覚できないほど遅くなることがあります。2つの音が離れるにつれて、うなりの周波数が人間のピッチ知覚の範囲に近づき始め、^{[ 9 ]}うなりは音符のように聞こえ始め、合成音が生成されます。この合成音は、任意の2つの音のうなりの周波数がそれらの暗示的な基本周波数の周波数と等しいため、欠落基本音とも呼ばれます。

干渉法は、干渉を測定または利用するための実験手法です。様々な種類の波に適用できます。すべての干渉計は、コヒーレント波の発生源を必要とします。

電波干渉法

1946年、天文干渉計と呼ばれる技術が開発されました。天文電波干渉計は通常、放物面アンテナのアレイ、または全方向アンテナの2次元アレイのいずれかで構成されます。アレイ内のすべての望遠鏡は広く離れており、通常は同軸ケーブル、導波管、光ファイバー、またはその他の種類の伝送線路を使用して接続されています。干渉計は収集される信号の総量を増加させますが、その主な目的は、開口合成と呼ばれるプロセスによって解像度を大幅に向上させることです。この技術は、位相が同じ波は互いに加算され、位相が反対の2つの波は互いに打ち消し合うという原理に基づいて、異なる望遠鏡からの信号波を重ね合わせる（干渉させる）ことによって機能します。これにより、アレイ内で最も離れたアンテナの間隔に等しい直径を持つ単一のアンテナと同等の解像度（感度は異なります）を持つ複合望遠鏡が作成されます。