ルーシアン力学

古典力学において、ラウスの手順またはラウティアン力学は、エドワード・ジョン・ラウスによって開発されたラグランジュ力学とハミルトン力学のハイブリッド定式化です。それに応じて、ラウティアンとは、ラグランジュ関数とハミルトン関数の両方を置き換える関数です。ラウティアン力学はラグランジュ力学およびハミルトン力学と同等であり、新しい物理学を導入するものではありませんが、力学の問題を解決する代替方法を提供します。

ルーシアンは、ハミルトニアンと同様に、ラグランジアンのルジャンドル変換から得られ、ハミルトニアンと数学的に類似した形式を持ちますが、まったく同じではありません。ラグランジアン、ハミルトニアン、ルーシアン関数の違いは、それらの変数です。システムの自由度を表す一般化座標の特定のセットに対して、ラグランジアンは座標と速度の関数であり、ハミルトニアンは座標と運動量の関数です。

ルーシアン関数は、一部の座標が対応する一般化速度を持つように選択され、残りの座標が対応する一般化運動量を持つように選択されるという点で、これらの関数と異なります。この選択は任意であり、問​​題を単純化するために行うことができます。また、その結果、ルーシアン方程式は、一部の座標と対応する運動量についてはハミルトン方程式、残りの座標とそれらの速度についてはラグランジアン方程式とまったく同じになります。いずれの場合も、ラグランジアン関数とハミルトン関数は、ルーシアン関数という単一の関数に置き換えられます。したがって、完全なセットには、1 つの座標セットをハミルトン方程式に、残りをラグランジアン方程式に分割するという利便性とともに、両方の方程式セットの利点があります。

ラグランジアン力学の場合、一般化座標 q ₁、q ₂、...と対応する速度dq ₁ / dt、dq ₂ / dt、...、および場合によっては時間^{[nb 1]} tがラグランジアンに入力される。

${\displaystyle L(q_{1},q_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\ldots ,t)\,,\quad {\dot {q}}_{i}={\frac {dq_{i}}{dt}}\,,}$

ここで、オーバードットは時間微分を表します。

ハミルトン力学では、一般化座標q ₁、q ₂、...と対応する一般化運動量p ₁、p ₂、...、そして場合によっては時間がハミルトニアンに入ります。

${\displaystyle H(q_{1},q_{2},\ldots ,p_{1},p_{2},\ldots ,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q_{1},q_{2},\ldots ,{\dot {q}}_{1}(p_{1}),{\dot {q}}_{2}(p_{2}),\ldots ,t)\,,\quad p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\,,}$

ここで、2 番目の式は、座標q _iに対応する一般化運動量p _iの定義です(偏導関数は∂ を使用して表されます)。速度dq _i / dt は、定義関係を反転することにより、対応する運動量の関数として表されます。この文脈では、p _{i は}q _iに「正準共役」な運動量であると言われています。

ルーシアンはLとHの中間です。いくつかの座標q ₁、q ₂、...、q _{n は}対応する一般化運動量p ₁、p ₂、...、p _nを持つように選択され、残りの座標ζ ₁、ζ ₂、...、ζ _{s は}一般化速度dζ ₁ / dt、dζ ₂ / dt、...、dζ _s / dtを持つように選択され、時間は明示的に現れることがあります。^{[1] [2]}

ここでも、一般化速度dq _i / dt は、定義関係を介して一般化運動量p _iの関数として表されます。n + s座標のうち、どのn座標が対応する運動量を持つかは任意に選択できます。

上記は、LandauとLifshitz、Goldsteinによって使用されています。一部の著者は、Routhianを上記の定義の否定として定義する場合があります。^[3]

一般的な定義の長さを考慮して、変数の組（またはベクトル）を太字で表記する方が簡潔になります。つまり、 q = ( q ₁ , q ₂ , ..., q _n )、ζ = ( ζ ₁ , ζ ₂ , ..., ζ _s )、p = ( p ₁ , p ₂ , ..., p _n )、d ζ / dt = ( dζ ₁ / dt , dζ ₂ / dt , ..., dζ _s / dt )となり、

${\displaystyle R(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},\mathbf {p} ,{\dot {\boldsymbol {\zeta }}},t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-L(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\zeta }},{\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\boldsymbol {\zeta }}},t)\,,}$

ここで、· はタプルに定義された ドット積です。ここで示す特定の例では、

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}\,.}$

参考までに、自由度sのオイラー・ラグランジュ方程式は、座標における s個の結合した2階常微分方程式のセットである。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\,,}$

ここで、j = 1, 2, ..., sであり、n自由度のハミルトン方程式は、座標と運動量における2 n 個の結合した1階常微分方程式 のセットである。

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}\,.}$

以下では、ルーシアンの運動方程式を 2 つの方法で得ており、その過程で他の場所で使用できる他の有用な導関数が見つかります。

自由度qとζの2つを持ち、一般化された速度dq / dtとdζ / dt を持つシステムの場合を考えてみましょう。ラグランジアンは時間に依存します。（任意の数の自由度への一般化は、2つの自由度の場合とまったく同じ手順に従います）。^[4]システムのラグランジアンは次の形式になります。

${\displaystyle L(q,\zeta ,{\dot {q}},{\dot {\zeta }},t)}$

Lの微分は​

${\displaystyle dL={\frac {\partial L}{\partial q}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$

ここで、変数を ( q、ζ、dq / dt、dζ / dt )のセットから( q、ζ、p、dζ / dt ) に変更します。これは、速度dq / dt を運動量pに切り替えるだけです。この微分における変数の変更は、ルジャンドル変換です。 L を置き換える新しい関数の微分は、 dq、dζ、dp、d ( dζ / dt )、およびdtの微分の合計になります。一般化運動量の定義と座標qのラグランジュ方程式を使用します。

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\,,\quad {\dot {p}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {\partial L}{\partial q}}}$

我々は持っています

${\displaystyle dL={\dot {p}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +pd{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}$

pd ( dq / dt ) を( dq / dt ) dpに置き換えるには、微分積分則^{[nb 2]}を思い出し、

${\displaystyle pd{\dot {q}}=d({\dot {q}}p)-{\dot {q}}dp}$

新しい変数の集合に関して新しい関数の微分を得るには：

${\displaystyle d(L-p{\dot {q}})={\dot {p}}dq+{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta -{\dot {q}}dp+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,.}$

ルーシアンの紹介

${\displaystyle R(q,\zeta ,p,{\dot {\zeta }},t)=p{\dot {q}}(p)-L}$

ここでも速度dq / dtは運動量pの関数であり、

${\displaystyle dR=-{\dot {p}}dq-{\frac {\partial L}{\partial \zeta }}d\zeta +{\dot {q}}dp-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\,,}$

しかし、上記の定義から、ルーシアンの微分は

${\displaystyle dR={\frac {\partial R}{\partial q}}dq+{\frac {\partial R}{\partial \zeta }}d\zeta +{\frac {\partial R}{\partial p}}dp+{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}d{\dot {\zeta }}+{\frac {\partial R}{\partial t}}dt\,.}$

微分係数dq、dζ、dp、d ( dζ / dt )、dtを比較すると、座標qに対するハミルトン方程式が得られる。

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\partial R}{\partial p}}\,,\quad {\dot {p}}=-{\frac {\partial R}{\partial q}}\,,}$

ζ座標に対するラグランジュ方程式

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta }}}$

これは

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \zeta }}=-{\frac {\partial R}{\partial \zeta }}\,,\quad {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}}}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}}}\,,}$

2 番目の方程式の全時間微分を取り、最初の方程式と等しくします。すべての運動方程式で、ハミルトン関数とラグランジアン関数が Routhian に置き換えられていることに注意してください。

残りの式は、 LとRの部分時間微分が負であること を述べている。

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}=-{\frac {\partial R}{\partial t}}\,.}$

上で定義したn + s座標の場合、Routhian

${\displaystyle R(q_{1},\ldots ,q_{n},\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},p_{1},\ldots ,p_{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}(p_{i})-L}$

運動方程式は、前のセクションと同様に、このルーシアンのルジャンドル変換によって導くことができるが、別の方法としては、座標q _iおよびζ _j、運動量p _i、および速度dζ _j / dt（i = 1, 2, ..., n、j = 1, 2, ..., s ）に関してRの偏微分を取るだけである。微分は

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=-{\dot {p}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}_{i}}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}=-{\frac {\partial L}{\partial \zeta _{j}}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}=-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\,,}$

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\,.}$

最初の2つはハミルトン方程式と同じです。4番目の方程式の全時間微分を3番目の方程式（各jの値について）と等しくすると、ラグランジアン方程式が得られます。5番目は、前と同じ時間偏微分の関係です。要約すると^[5]

方程式の総数は2 n + sで、 2 n 個のハミルトン方程式とs 個のラグランジュ方程式が存在します。

ラグランジアン の単位はエネルギーと同じなので、ルーシアン の単位もエネルギーです。SI単位では、これはジュールです。

ラグランジアンの全時間微分をとると、一般的な結果が導かれる。

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}-L\right)\,.}$

ラグランジアンが時間に依存しない場合、ラグランジアンの部分時間微分はゼロ、∂ L /∂ t = 0となるので、括弧内の全時間微分の下の量は定数でなければならず、それはシステムの全エネルギーである^[6]

${\displaystyle E=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}-L\,.}$

（システムの構成要素と相互作用する外部フィールドがある場合、それらは空間全体で変化しますが、時間全体では変化しません）。この式では、すべての速度dq _i / dtとdζ _j / dtに関するLの偏微分が必要です。Rが時間に依存しないという同じ条件下では、Routhian によるエネルギーは、 Rの定義と速度dζ _j / dtに関するRの偏微分を置き換えることで、少し簡単になります。

${\displaystyle E=R-\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\,.}$

速度dζ _j / dtに関するRの偏微分のみが必要であることに注意してください。s = 0で Routhian が明示的に時間に依存しない場合は、E = R 、つまり Routhian はシステムのエネルギーに等しくなります。 s = 0 の場合のRの同じ式はハミルトニアンでもあるため、常にE = R = Hです。

ルーシアンが時間依存性を持つ場合、システムの全エネルギーは一定ではない。一般的な結果は次のようになる。

${\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial t}}={\dfrac {d}{dt}}\left(R-\sum _{j=1}^{s}{\dot {\zeta }}_{j}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}\right)\,,}$

これは、 Lの場合と同じ方法で、Rの全時間微分から導くことができます。

多くの場合、Routhian アプローチには利点がないかもしれませんが、これが役立つ注目すべきケースの 1 つは、システムが循環座標(「無視できる座標」とも呼ばれる) を持つ場合です。循環座標とは、定義上、元のラグランジアンには現れない座標です。ラグランジアン方程式は強力な結果であり、座標内の運動方程式の設定が容易であるため、理論と実践で頻繁に使用されます。ただし、循環座標が発生すると、ラグランジアンに存在しないにもかかわらず、循環座標を含むすべての座標について解くべき方程式がまだ存在します。ハミルトン方程式は理論上は役立ちますが、実際にはあまり役に立ちません。なぜなら、解では座標と運動量が互いに関連しているためです。方程式を解いた後、座標と運動量を互いに排除する必要があります。それでも、循環座標内の方程式は自明に消え、非循環座標内の方程式だけが残るため、ハミルトン方程式は循環座標に完全に適しています。

Routhian アプローチは、両方のアプローチの長所を兼ね備えています。これは、巡回座標をハミルトン方程式に分割して除去し、巡回座標以外の部分をラグランジュ方程式から解くだけで済むためです。全体として、ラグランジュ アプローチに比べて解く必要のある方程式の数が少なくなります。

ルーシアン定式化は、定義によりこれらの座標はL には入らず、したがってR にも入らないため、巡回座標系で有用である。これらの座標に関するLおよびRの対応する偏微分はゼロであり、これは対応する一般化運動量が定数に減少することと等しい。これを具体的にするために、q _{i が}すべて巡回座標であり、ζ _{j が}すべて非巡回座標である場合、

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}={\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad p_{i}=\alpha _{i}\,,}$

ここでα _{i は}定数である。これらの定数をルーシアンに代入すると、Rは非周期座標と速度（および一般の時間も）のみの関数となる。

${\displaystyle R(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\dot {q}}_{i}(\alpha _{i})-L(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{s},{\dot {q}}_{1}(\alpha _{1}),\ldots ,{\dot {q}}_{n}(\alpha _{n}),{\dot {\zeta }}_{1},\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s},t)\,,}$

巡回座標における 2 nハミルトン方程式は自動的に消滅し、

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial R}{\partial \alpha _{i}}}=f_{i}(\zeta _{1}(t),\ldots ,\zeta _{s}(t),{\dot {\zeta }}_{1}(t),\ldots ,{\dot {\zeta }}_{s}(t),\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n},t)\,,\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial R}{\partial q_{i}}}=0\,,}$

そしてsラグランジアン方程式は非巡回座標にある

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\zeta }}_{j}}}={\frac {\partial R}{\partial \zeta _{j}}}\,.}$

このように、問題は、非巡回座標でラグランジアン方程式を解くことに簡略化され、ハミルトン方程式が巡回座標をきれいに除去するという利点があります。これらの解を使用して、 の方程式を積分して を計算することができます。 ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$${\displaystyle q_{i}(t)}$

周期座標が時間とともにどのように変化するかに興味がある場合は、周期座標に対応する一般化速度の方程式を積分することができます。

Routh の手順では、運動方程式が単純になることは保証されませんが、方程式の数は少なくなります。

巡回座標を持つ機械システムの一般的なクラスの 1 つは、中心ポテンシャルを持つシステムです。これは、この形式のポテンシャルは、放射状の分離にのみ依存し、角度には依存しないためです。

球面極座標（r、θ、φ）の中心電位V（r）の影響下にある質量mの粒子を考える。

${\displaystyle L(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+{r}^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)\,.}$

φはラグランジアンには現れないので、循環的であることに注意。φと共役な運動量は定数である。

${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}\,,}$

ここで、rとdφ / dtは時間とともに変化するが、角運動量pφ_は一定である。ルーシアンは次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}R(r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }})&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-L\\&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}+V(r)\\&={\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+V(r)\\&={\frac {p_{\phi }^{2}}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {m}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+V(r)\,.\end{aligned}}}$

ラグランジュ方程式を使ってrとθを解くことができ、 φはハミルトニアン方程式によって消去されるので解く必要はありません。r方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial R}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad -m{\ddot {r}}=-{\frac {p_{\phi }^{2}}{mr^{3}\sin ^{2}\theta }}-mr{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {\partial V}{\partial r}}\,,}$

そしてθ方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad -m(2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }})=-{\frac {p_{\phi }^{2}\cos \theta }{mr^{2}\sin ^{3}\theta }}\,.}$

Routhian アプローチでは、2 つの結合した非線形方程式が得られました。対照的に、Lagrangian アプローチでは、3 つの非線形結合方程式が得られ、Lagrangian には存在しないにもかかわらず、すべての方程式にφの 1 次および 2 次時間微分が混在します。

r方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial L}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+mr\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {\partial V}{\partial r}}\,,}$

θ方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad 2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }}=r^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}\,,}$

φ方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad 2r{\dot {r}}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}+2r^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}{\dot {\phi }}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\ddot {\phi }}=0\,.}$

質量m の球状振り子(「振り子の錘」と呼ばれる)が、局所的な重力場gの影響を受ける、長さlの剛体棒に取り付けられた状態を考えます。このシステムは、一定ではない角速度dφ / dtで回転します。棒と垂直線の間の角度はθで、一定ではありません。

ラグランジアンは^{[nb 3]}

${\displaystyle L(\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {m\ell ^{2}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2})+mg\ell \cos \theta \,,}$

φは一定の運動量を持つ系の巡回座標である。

${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}\,.}$

これは物理的には、垂直方向のシステムの角運動量である。角度θと角速度dφ / dtは時間とともに変化するが、角運動量は一定である。ルーシアンは

${\displaystyle {\begin{aligned}R(\theta ,{\dot {\theta }})&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-L\\&=p_{\phi }{\dot {\phi }}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-mg\ell \cos \theta \\&={\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta \\&={\frac {p_{\phi }^{2}}{2m\ell ^{2}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {m\ell ^{2}}{2}}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell \cos \theta \end{aligned}}}$

θ方程式はラグランジアン方程式から求められる。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad -m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=-{\frac {p_{\phi }^{2}\cos \theta }{m\ell ^{2}\sin ^{3}\theta }}+mg\ell \sin \theta \,,}$

または定数を導入して単純化する

${\displaystyle a={\frac {p_{\phi }^{2}}{m^{2}\ell ^{4}}}\,,\quad b={\frac {g}{\ell }}\,,}$

与える

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=a{\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}-b\sin \theta \,.}$

この方程式は、垂直軸を中心に回転するための追加の項（定数a は角運動量p _φに関連している）を伴い、垂直軸を介して振動することができるため、単純な非線形振り子方程式に似ています。

ラグランジュアプローチを適用すると、解くべき 2 つの非線形結合方程式があります。

θ方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=m\ell ^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-mg\ell \sin \theta \,,}$

そしてφ方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad 2\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}{\dot {\phi }}+\sin ^{2}\theta {\ddot {\phi }}=0\,.}$

質量Mの重対称トップはラグランジアン^{[7] [8]}

${\displaystyle L(\theta ,{\dot {\theta }},{\dot {\psi }},{\dot {\phi }})={\frac {I_{1}}{2}}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta )+{\frac {I_{3}}{2}}({\dot {\psi }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\cos ^{2}\theta )+I_{3}{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}\cos \theta -Mg\ell \cos \theta }$

ここで、ψ、φ、θはオイラー角、θは垂直z軸とトップのz ′軸の間の角度、ψはトップ自身のz ′軸周りの回転、φ は垂直z軸周りのトップのz ′軸の方位角です。主な慣性モーメントは、トップ自身のx ′軸周りのI ₁、トップ自身のy ′軸周りのI ₂、トップ自身のz ′軸周りのI ₃です。トップはz ′軸を中心に対称なので、I ₁ = I ₂です。ここでは、局所的な重力位置エネルギーの単純な関係V = Mgl cos θが使用されています。ここで、 gは重力による加速度、トップの質量の中心は、z ′軸に沿って先端から距離l のところにあります。

角度ψ、φ は周期的です。一定の運動量は、それぞれトップの軸周りの角運動量と垂直周りの歳差運動です。

${\displaystyle p_{\psi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}=I_{3}{\dot {\psi }}+I_{3}{\dot {\phi }}\cos \theta }$

${\displaystyle p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\dot {\phi }}(I_{1}\sin ^{2}\theta +I_{3}\cos ^{2}\theta )+I_{3}{\dot {\psi }}\cos \theta }$

これらからdψ / dtを消去すると次のようになります。

${\displaystyle p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta =I_{1}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta }$

我々は持っています

${\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}\,,}$

dφ / dtを消去するには、この結果をp _ψに代入し、dψ / dtを解いて求めます。

${\displaystyle {\dot {\psi }}={\frac {p_{\psi }}{I_{3}}}-\cos \theta \left({\frac {p_{\phi }-p_{\psi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}\right)\,.}$

ルーシアンは、

${\displaystyle R(\theta ,{\dot {\theta }})=p_{\psi }{\dot {\psi }}+p_{\phi }{\dot {\phi }}-L={\frac {1}{2}}(p_{\psi }{\dot {\psi }}+p_{\phi }{\dot {\phi }})-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta }$

そして

${\displaystyle {\frac {p_{\phi }{\dot {\phi }}}{2}}={\frac {p_{\phi }^{2}}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\,,}$

${\displaystyle {\frac {p_{\psi }{\dot {\psi }}}{2}}={\frac {p_{\psi }^{2}}{2I_{3}}}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}}$

我々は持っています

${\displaystyle R={\frac {p_{\psi }^{2}}{2I_{3}}}+{\frac {p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta }{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta }{I_{1}\sin ^{2}\theta }}-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta \,.}$

最初の項は定数であり、Rの導関数のみが運動方程式に入るため無視できる。情報の損失のない簡略化されたRouthianは、

${\displaystyle R={\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\left[p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta +p_{\phi }^{2}-2p_{\psi }p_{\phi }\cos \theta \right]-{\frac {I_{1}{\dot {\theta }}^{2}}{2}}+Mg\ell \cos \theta }$

θの運動方程式は、直接計算すると、

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial R}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad }$

${\displaystyle -I_{1}{\ddot {\theta }}=-{\frac {\cos \theta }{I_{1}\sin ^{3}\theta }}\left[p_{\psi }^{2}\cos ^{2}\theta +p_{\phi }^{2}-{\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2}}\cos \theta \right]+{\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\theta }}\left[-2p_{\psi }^{2}\cos \theta \sin \theta +{\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2}}\sin \theta \right]-Mg\ell \sin \theta \,,}$

あるいは定数を導入することによって

${\displaystyle a={\frac {p_{\psi }^{2}}{I_{1}^{2}}}\,,\quad b={\frac {p_{\phi }^{2}}{I_{1}^{2}}}\,,\quad c={\frac {p_{\psi }p_{\phi }}{2I_{1}^{2}}}\,,\quad k={\frac {Mg\ell }{I_{1}}}\,,}$

より単純な形の方程式が得られる。

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin ^{3}\theta }}(a\cos ^{2}\theta +b-c\cos \theta )+{\frac {1}{2\sin \theta }}(2a\cos \theta -c)+k\sin \theta \,.}$

この方程式は高度に非線形ですが、解くべき方程式は 1 つだけであり、直接得られたものであり、巡回座標は関係ありません。

対照的に、ラグランジアンアプローチでは、ラグランジアンに 座標ψとφが存在しないにもかかわらず、解くべき3 つの非線形結合方程式が生じます。

θ方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad I_{1}{\ddot {\theta }}=(I_{1}-I_{3}){\dot {\phi }}^{2}\sin \theta \cos \theta -I_{3}{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}\sin \theta +Mg\ell \sin \theta \,,}$

ψ方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\psi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \psi }}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\psi }}+{\ddot {\phi }}\cos \theta -{\dot {\phi }}{\dot {\theta }}\sin \theta =0\,,}$

そしてφ方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}\quad \Rightarrow \quad {\ddot {\phi }}(I_{1}\sin ^{2}\theta +I_{3}\cos ^{2}\theta )+{\dot {\phi }}(I_{1}-I_{3})2\sin \theta \cos \theta {\dot {\theta }}+I_{3}{\ddot {\psi }}\cos \theta -I_{3}{\dot {\psi }}\sin \theta {\dot {\theta }}=0\,,}$

静的（時間に依存しない）均一（空間全体で一定）磁場B内の質量mと電荷qの古典的な荷電粒子を考える。^{[9]一般的な}電磁場内の荷電粒子のラグランジアンは、磁気ポテンシャルAと電位によって与えられる。 ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}-q\phi +q{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} \,,}$

円筒座標 （r、θ、z）を使うと便利で、

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} =(v_{r},v_{\theta },v_{z})=({\dot {r}},r{\dot {\theta }},{\dot {z}})\,,}$

${\displaystyle \mathbf {B} =(B_{r},B_{\theta },B_{z})=(0,0,B)\,.}$

この場合、電場はゼロであり、磁気ポテンシャルの軸ゲージを選択することができる。 ${\displaystyle \phi =0}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times \mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {A} =(A_{r},A_{\theta },A_{z})=(0,Br/2,0)\,,}$

そしてラグランジアンは

${\displaystyle L(r,{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {z}})={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2})+{\frac {qBr^{2}{\dot {\theta }}}{2}}\,.}$

このポテンシャルは実質的に円筒対称性を持つことに注意してください (角速度依存性もありますが)。唯一の空間依存性は、仮想円筒軸からの半径の長さだけであるためです。

2つの巡回座標、 θとzがあります。θとzに共役な正準運動量は定数です 。

${\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}+{\frac {qBr^{2}}{2}}\,,\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}\,,}$

つまり速度は

${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {1}{mr^{2}}}\left(p_{\theta }-{\frac {qBr^{2}}{2}}\right)\,,\quad {\dot {z}}={\frac {p_{z}}{m}}\,.}$

z軸周りの角運動量はp _θではなく 、磁場の寄与により保存されない量mr ² dθ / dtです。標準運動量p _θは保存される量です。p z_はz軸に沿った直線運動量または並進運動量であり、これも保存されます。

半径成分rと角速度dθ / dtは時間とともに変化するが、pθは一定であり、_pzが一定であるためdz _/ dtも一定となる。Routhianは次の形式をとることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}R(r,{\dot {r}})&=p_{\theta }{\dot {\theta }}+p_{z}{\dot {z}}-L\\&=p_{\theta }{\dot {\theta }}+p_{z}{\dot {z}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}-{\frac {p_{\theta }{\dot {\theta }}}{2}}-{\frac {p_{z}{\dot {z}}}{2}}-{\frac {1}{2}}qBr^{2}{\dot {\theta }}\\[6pt]&=(p_{\theta }-qBr^{2}){\frac {\dot {\theta }}{2}}-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {p_{z}{\dot {z}}}{2}}\\[6pt]&={\frac {1}{2mr^{2}}}\left(p_{\theta }-qBr^{2}\right)\left(p_{\theta }-{\frac {qBr^{2}}{2}}\right)-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}\\[6pt]&={\frac {1}{2mr^{2}}}\left(p_{\theta }^{2}-{\frac {3}{2}}qBr^{2}+{\frac {(qB)^{2}r^{4}}{2}}\right)-{\frac {m}{2}}{\dot {r}}^{2}\end{aligned}}}$

ここで、最後の行のp _z ² /2 m項は定数であり、連続性を失うことなく無視できます。θとzのハミルトン方程式は自動的に消えるため、解く必要はありません。rのラグランジアン方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial R}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial R}{\partial r}}}$

直接計算による

${\displaystyle -m{\ddot {r}}={\frac {1}{2m}}\left[{\frac {-2}{r^{3}}}\left(p_{\theta }^{2}-{\frac {3}{2}}qBr^{2}+{\frac {(qB)^{2}r^{4}}{2}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}(-3qBr+2(qB)^{2}r^{3})\right]\,,}$

用語を収集した後、

${\displaystyle m{\ddot {r}}={\frac {1}{2m}}\left[{\frac {2p_{\theta }^{2}}{r^{3}}}-(qB)^{2}r\right]\,,}$

さらに定数を導入することで単純化できる。

${\displaystyle a={\frac {p_{\theta }^{2}}{m^{2}}}\,,\quad b=-{\frac {(qB)^{2}}{2m^{2}}}\,,}$

微分方程式は

${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {a}{r^{3}}}+br}$

zが時間とともにどのように変化するかを見るには、上記の p _zの運動量式を積分します。

${\displaystyle z={\frac {p_{z}}{m}}t+c_{z}\,,}$

ここで、c _{z は}任意の定数であり、zの初期値は初期条件で指定されます。

このシステムにおける粒子の運動はらせん状であり、軸方向の運動は均一（一定）ですが、半径方向および角度方向の成分は上で導出された運動方程式に従ってらせん状に変化します。r、dr / dt、θ、dθ / dtの初期条件によって、粒子の軌道が一定のrを持つか変化するr を持つかが決まります。最初にrがゼロ以外でdr / dt = 0であり、θとdθ / dt が任意である場合、粒子の初期速度には半径方向の成分がなく、rは一定であるため、運動は完全ならせん状になります。rが一定の場合、保存されるp _θに従って角速度も一定になります。

ラグランジアンアプローチでは、 rの方程式には削除する必要があるdθ / dtが含まれ、θとz を解く方程式が存在することになります。

r方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}={\frac {\partial L}{\partial r}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {r}}=mr{\dot {\theta }}^{2}+qBr{\dot {\theta }}\,,}$

θ方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}\quad \Rightarrow \quad m(2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r^{2}{\ddot {\theta }})+qBr{\dot {r}}=0\,,}$

そしてz方程式は

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}={\frac {\partial L}{\partial z}}\quad \Rightarrow \quad m{\ddot {z}}=0\,.}$

z方程式を積分するのは簡単ですが、r方程式とθ方程式はそうではありません。いずれにしても、時間微分はすべての方程式に混在しており、除去する必要があります。

• 変分法
• 位相空間
• 構成スペース
• 多体問題
• 剛体力学

• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1976年1月15日)。力学(第3版)。Butterworth Heinemann。p. 134。ISBN 9780750628969。
• Hand, LN; Finch, JD (1998年11月13日)。解析力学(第2版)。ケンブリッジ大学出版局。p. 23。ISBN 9780521575720。
• Kibble, TWB; Berkshire, FH (2004).古典力学(第 5 版). インペリアル カレッジ プレス. p. 236. ISBN 9781860944352。
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• ゴールドスタイン、ハーバート、プール、チャールズ P. Jr.、サフコ、ジョン L. (2002)。古典力学 (第 3 版)。サンフランシスコ、カリフォルニア州: アディソン ウェスレー。pp. 347–349。ISBN 0-201-65702-3。