力学 において、仮想仕事は、 最小作用の原理を 力学系 の力 と運動 の研究に適用する際に生じる概念である。粒子が変位 に沿って移動する際に粒子に作用する力の仕事 は、変位によって異なる。粒子がたどる可能性のあるすべての変位（仮想変位と呼ばれる）の中で、 作用を 最小にする変位が存在する。したがって、この変位が、最小作用の原理に従って粒子がたどる変位となる。
仮想的な変位に沿って粒子に作用する力の仕事は、仮想仕事として知られています。
歴史的に、仮想仕事とそれに関連する変分法は 剛体のシステムを解析するために定式化されましたが、[ 1 ] [ 2 ]
歴史 仮想仕事の原理は、 古代から静力学の研究において何らかの形で常に用いられてきた。ギリシャ人、中世のアラブ人やラテン人、ルネサンス期のイタリア人はこれを「てこの法則」として用いた。[ 3 ] [ 3 ] ヨハン・ベルヌーイは 、ライプニッツの概念に基づいて 仮想仕事の原理を体系化し、微小変位の概念を明確にした。彼は、剛体と流体の両方の問題を解くことができた。ベルヌーイの仮想仕事法則のバージョンは、1715年にピエール・ヴァリニョン に宛てた手紙に登場し、後に1725年にヴァリニョンの『新力学または静力学』 第2巻に掲載されました。この原理の定式化は今日では仮想速度の原理として知られており、現代の仮想仕事の原理の原型として一般的に考えられています。[ 3 ] 『動力学論』 を出版し、ベルヌーイの研究に基づいて仮想仕事の原理を動力学のさまざまな問題の解決に適用しました。彼のアイデアは、慣性力 を導入することによって動力学の問題を静力学の問題に変換することでした。[ 4 ] ラグランジュは 、一般化座標を導入することによって仮想仕事の原理をより効率的な形で提示し、すべての平衡問題を解決できる力学の代替原理として提示しました。ラグランジュがこのアプローチを静的および動的の両方の力学全体に適用するという計画、本質的にはダランベールの原理 の体系的な説明は、 1788年の彼の著書『解析力学』 に記されている。[ 3 ] ラグランジュはこの著作以前に最小作用原理 の独自のバージョンを発表していたが、仮想仕事原理の方がより根本的であると認識していた。それは主に、最小作用原理が非保存力を考慮しないという現代の理解とは異なり、仮想仕事原理はすべての力学の基礎として単独で想定できるからである。[ 3 ]
数学的処理 粒子P が軌道r ( t ) に沿って点A から点B へ移動するとき、力F ( r ( t )) が粒子 P に作用していると考える。力 F W = ∫ r （ t 0 ） = A r （ t 1 ） = B F ⋅ d r = ∫ t 0 t 1 F ⋅ d r d t d t = ∫ t 0 t 1 F ⋅ v d t 、 {\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt,} d r はP の軌跡である曲線に沿った微分要素であり、v W r ( t )
ここで、粒子P が再び点A から点B へ移動すると仮定します。ただし今回は、r ( t )δ r ( t ) = ε h ( t )ε は h ( t )はh ( t 0 ) = h ( t 1 ) = 0F ( r ( t ) + ε h ( t ))がF ( r ( t ))W ¯ = ∫ r （ t 0 ） = A r （ t 1 ） = B F ⋅ d （ r + ε h ） = ∫ t 0 t 1 F ⋅ d （ r （ t ） + ε h （ t ） ） d t d t = ∫ t 0 t 1 F ⋅ （ v + ε h ˙ ） d t 。 {\displaystyle {\bar {W}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\varepsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\varepsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.} δW の変化（仮想仕事 と呼ばれる）は、次のように計算できる。 δ W = W ¯ − W = ∫ t 0 t 1 （ F ⋅ ε h ˙ ） d t 。 {\displaystyle \delta W={\bar {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \varepsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}
P の運動に制約がない場合、任意の時刻 t における P の位置を完全に記述するには 3 つのパラメータが必要です。k ( k ≤ 3 ) の 制約 力 がある場合、n = (3 − k )個のパラメータが必要です。したがって、 n 個 q i ( t ) ( i = 1,..., n r ( t ) およびδ r = ε h ( t ) を一般化座標で表すことができます。つまり、 r （ t ） = r （ q 1 、 q 2 、 … 、 q n ; t ） 、 {\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t),} h （ t ） = h （ q 1 、 q 2 、 … 、 q n ; t ） 。 {\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t).} δ r = ε h ( t )d d t δ r = d d t ε h = ∑ 私 = 1 n ∂ h ∂ q 私 ε q ˙ 私 、 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\varepsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i},} δ W = ∫ t 0 t 1 （ ∑ 私 = 1 n F ⋅ ∂ h ∂ q 私 ε q ˙ 私 ） d t = ∑ 私 = 1 n （ ∫ t 0 t 1 F ⋅ ∂ h ∂ q 私 ε q ˙ 私 d t ） 。 {\displaystyle \delta W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\varepsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right).}
任意の変動δ r ( t ) = ε h ( t )Q 私 = F ⋅ ∂ h ∂ q 私 = 0 、 私 = 1 、 … 、 n 。 {\displaystyle Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.} Q i δ r に関連する一般化力 と呼ばれます。
静的平衡 静的平衡 とは、系に作用する正味の力と正味のトルクがゼロである状態です。言い換えれば、系の線運動量 と角運動量 の両方が保存されます。仮想仕事の原理は、静的平衡 からの系のあらゆる 仮想運動 に対して、作用する力の仮想仕事はゼロであると述べています。この原理は、3次元 回転 を含むように一般化できます。作用する力と作用するモーメントの仮想仕事は、静的平衡からの系のあらゆる仮想運動 に対してゼロです。つまり、 δ W = ∑ 私 = 1 m F 私 ⋅ δ r 私 + ∑ j = 1 n M j ⋅ δ φ j = 0 、 {\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot \delta \mathbf {\varphi } _{j}=0,} F i i = 1, 2, ..., m およびM j j = 1, 2, ..., n はそれぞれ加えられた力と加えられたモーメントであり、δ r i i = 1, 2, ..., m およびδ φ j 、j = 1, 2, ..., n はそれぞれ仮想変位 と仮想回転 である。
システムがN個の粒子から構成され、 f ( f ≤ 6 N )の自由度 を持つと仮定します。システムの運動を完全に記述するにはf 個の 座標のみを使用すれば十分なので、仮想運動がこれらの 一般化座標 で表現できる ように、 f 個 の一般化座標 q k 、k = 1, 2, ..., f が定義されます。つまり、 δ r 私 （ q 1 、 q 2 、 … 、 q f ; t ） 、 私 = 1 、 2 、 … 、 m ; {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad i=1,2,\dots ,m;} δ ϕ j （ q 1 、 q 2 、 … 、 q f ; t ） 、 j = 1 、 2 、 … 、 n 。 {\displaystyle \delta \phi _{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad j=1,2,\dots ,n.}
仮想仕事は、一般化座標 によって再パラメータ化する ことができる。 δ W = ∑ k = 1 f [ （ ∑ 私 = 1 m F 私 ⋅ ∂ r 私 ∂ q k + ∑ j = 1 n M j ⋅ ∂ ϕ j ∂ q k ） δ q k ] = ∑ k = 1 f Q k δ q k 、 {\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},} 一般化力 Q k は次のように定義される。 Q k = ∑ 私 = 1 m F 私 ⋅ ∂ r 私 ∂ q k + ∑ j = 1 n M j ⋅ ∂ ϕ j ∂ q k 、 k = 1 、 2 、 … 、 f 。 {\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.} [ 5 ] 一般化された力は 時間微分の比で定式化することもできることを示している。つまり、 Q k = ∑ 私 = 1 m F 私 ⋅ ∂ v 私 ∂ q ˙ k + ∑ j = 1 n M j ⋅ ∂ ω j ∂ q ˙ k 、 k = 1 、 2 、 … 、 f 。 {\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\omega } _{j}}{\partial {\dot {q}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}
仮想仕事の原理によれば、システムが平衡状態 にある場合、力F i M j Q k δ W = 0 ⇒ Q k = 0 k = 1 、 2 、 … 、 f 。 {\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad Q_{k}=0\quad k=1,2,\dots ,f.}
てこの法則 レバーは 、支点と呼ばれるヒンジ付きジョイントで地面フレームに接続された剛体棒としてモデル化されます。レバーは、 棒上の座標ベクトルr A Aに入力力 F A を加えることで操作されます。するとレバーは、 r B Bに出力力 F B を及ぼします。支点P を中心としたレバーの回転は、回転角θ で定義されます。
これは1824年にロンドンで発行された『メカニクス・マガジン』 に掲載された版画です。 支点を定義する点P の座標ベクトルをr P 1 = | r A − r P | 、 b = | r B − r P | 、 {\displaystyle a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|,} A および出力点B までの距離である。
ここで、支点から点A と点B への単位ベクトルe A e B r A − r P = 1 e A 、 r B − r P = b e B 。 {\displaystyle \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}.} A と点B の速度を次のように 定義できます。v A = θ ˙ 1 e A ⊥ 、 v B = θ ˙ b e B ⊥ 、 {\displaystyle \mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp },} e A ⊥ およびe B ⊥は、それぞれ e A e B
角度θ はレバーの構成を定義する一般化座標であるため、1自由度機構に作用する力の上記の式を用いると、一般化力は次のように与えられる。 Q = F A ⋅ ∂ v A ∂ θ ˙ − F B ⋅ ∂ v B ∂ θ ˙ = 1 （ F A ⋅ e A ⊥ ） − b （ F B ⋅ e B ⊥ ） 。 {\displaystyle Q=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }).}
ここで、半径方向の線分PA とPB に垂直な力の成分をF A F B F A = F A ⋅ e A ⊥ 、 F B = F B ⋅ e B ⊥ 。 {\displaystyle F_{A}=\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad F_{B}=\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }.} Q = 1 F A − b F B = 0. {\displaystyle Q=aF_{A}-bF_{B}=0.}
出力力F B F A 機械的利点 であり、仮想仕事の原理から次のように得られる。 M A = F B F A = 1 b 。 {\displaystyle MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}.}
この式は、支点から入力力が加えられる点A までの距離aが 、支点から出力力が加えられる点Bまでの距離 b よりも大きい場合、てこは入力力を増幅することを示しています。逆に、支点から入力点A までの距離が支点から出力点B までの距離よりも小さい場合は、てこは入力力の大きさを減少させます。
これはてこの法則 であり、アルキメデス が幾何学的推論を用いて証明したものである。[ 6 ]
ギアトレイン 歯車列は、歯車の歯が噛み合うようにフレームに歯車を取り付けることで形成されます。歯車の歯は、噛み合う歯車のピッチ円が互いに滑ることなく転がるように設計されており、これにより、ある歯車から次の歯車へと回転がスムーズに伝達されます。この解析では、自由度が1つの歯車列を考えます。つまり、歯車列内のすべての歯車の角度回転は、入力歯車の角度によって定義されます。
陸軍兵站部隊の機械輸送訓練（1911年）図112「歯車による運動と力の伝達、複合列車」からの図解 歯車のサイズと噛み合う順序によって、入力歯車の角速度ω A と出力歯車の角速度ω B の比が決まり、これは歯車列の速度比、またはギア比 として知られています。速度比を Rとすると、 ω A ω B = R 。 {\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}=R.}
入力ギアG A T A G B によって発生する出力トルクT B
入力ギアの角度θを ギアトレインの一般化座標とすると、ギアトレインの速度比Rは、 入力ギアに関して出力ギアの 角速度を定義する。 ω A = ω 、 ω B = ω / R 。 {\displaystyle \omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}=\omega /R.}
印加トルクによる仮想仕事の原理に関する上記の式は、一般化された力を与える。 Q = T A ∂ ω A ∂ ω − T B ∂ ω B ∂ ω = T A − T B / R = 0. {\displaystyle Q=T_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-T_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=T_{A}-T_{B}/R=0.}
歯車列の機械的利点は、出力トルク T B と入力トルク T A の比であり、上記 の 式 次 の M A = T B T A = R 。 {\displaystyle MA={\frac {T_{B}}{T_{A}}}=R.}
このように、歯車列の速度比は機械的利点も決定づける。つまり、入力歯車が出力歯車よりも速く回転する場合、歯車列は入力トルクを増幅する。そして、入力歯車が出力歯車よりも遅く回転する場合、歯車列は入力トルクを減少させる。
剛体の動的平衡 剛体 の個々の粒子に対して、加えられた力に対する仮想仕事の原理を用いると、その原理は剛体全体に一般化できる。平衡状態にある剛体に仮想的な適合変位を与えると、すべての外力による仮想仕事の合計はゼロになる。逆に、剛体に作用するすべての外力による仮想仕事の合計がゼロであれば、その剛体は平衡状態にある 。
システムが静的平衡状態にない場合、ダランベールは、ニュートンの法則の加速度項を慣性力として導入することで、このアプローチを動的平衡の定義に一般化できることを示した。その結果得られたのが、ダランベールの仮想仕事の原理であり、これは剛体の機械システムの運動方程式を導出するために用いられる。
適合 変位とは、粒子が接触した状態を保ち、粒子間の作用・反作用力のペアによってなされる仕事が相殺されるように一緒に変位することを意味する。この原理の様々な形態は、ヨハン（ジャン）ベルヌーイ （1667～1748）とダニエル・ベルヌーイ （1700～1782）に帰せられている。
一般化された慣性力 機械システムが n 個の剛体 B i 、i=1,...,n から構成されているとし、各剛体に作用する力の合力を力-トルク対F i およびT i 、i = 1,..., n とする。これらの作用力には、剛体が接続されている箇所での反力は含まれないことに注意してください。最後に、各剛体の速度V i および角速度ω i 、i =1,..., n は 、単一の一般化座標 q によって定義されると仮定します。このような剛体のシステムは、1自由度 を持つと言われます。
合力F とトルクT の作用を受けて運動する単一の剛体を考えます。自由度は一般化座標 q で定義されます。合力とトルクの基準点が剛体の重心であると仮定すると、一般化座標 q に関連付けられた一般化慣性力 Q* は次のように与えられます。 Q * = − （ M A ） ⋅ ∂ V ∂ q ˙ − （ [ 私 R ] α + ω × [ 私 R ] ω ） ⋅ ∂ ω ∂ q ˙ 。 {\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.} T = 1 2 M V ⋅ V + 1 2 ω ⋅ [ 私 R ] ω 、 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},} Q * = − （ d d t ∂ T ∂ q ˙ − ∂ T ∂ q ） 。 {\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}
m個の一般化座標を持つn個の剛体のシステムは、運動エネルギーを持つ。 T = ∑ 私 = 1 n （ 1 2 M V 私 ⋅ V 私 + 1 2 ω 私 ⋅ [ 私 R ] ω 私 ） 、 {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),} [ 7 ] Q j * = − （ d d t ∂ T ∂ q ˙ j − ∂ T ∂ q j ） 、 j = 1 、 … 、 m 。 {\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}
ダランベールの仮想仕事の原理は、剛体のシステムが動的平衡状態にあるのは、システムの任意の仮想変位に対して、加えられた力と慣性力の合計の仮想仕事がゼロである場合であると述べている。したがって、m個の一般化座標を持つn個の剛体のシステムの動的平衡には、 δ W = （ Q 1 + Q 1 * ） δ q 1 + ⋯ + （ Q m + Q m * ） δ q m = 0 、 {\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}=0,} δq j に対して、この条件はm 個の方程式 を与える。Q j + Q j * = 0 、 j = 1 、 … 、 m 、 {\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,} d d t ∂ T ∂ q ˙ j − ∂ T ∂ q j = Q j 、 j = 1 、 … 、 m 。 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.} ラグランジュ方程式 または一般化運動方程式 として知られています。
一般化された力 Q j がポテンシャルエネルギーV ( q 1 ,..., q m d d t ∂ T ∂ q ˙ j − ∂ T ∂ q j = − ∂ V ∂ q j 、 j = 1 、 … 、 m 。 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}
この場合、ラグランジアン L T − V 。 d d t ∂ L ∂ q ˙ j − ∂ L ∂ q j = 0 j = 1 、 … 、 m 。 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.} オイラー・ラグランジュ方程式、または 第2種ラグランジュ方程式 として知られています。
変形可能な物体に対する仮想仕事の原理 ここで、無限個の微小立方体から構成される変形可能な物体 の自由体図を考えてみましょう。物体に対して、互いに関連性のない2つの状態を定義します。
のσ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} T 、体積力f 、および内部応力を示します。σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} のϵ {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}} u * {\displaystyle \mathbf {u} ^{*}} ϵ * {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}} 上付き文字の*は、2つの状態が無関係であることを強調しています。上記の条件以外に、いずれかの状態が実在状態か仮想状態かを明示する必要はありません。
今度は、σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} - 州 は、ϵ {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}} -状態：すべての立方体の面に作用するすべての力
この2つの結果を等式で結ぶと、変形可能な物体に対する仮想仕事の原理が得られる。
ここで、外部仮想仕事の総量はT とf によって行われる。したがって、
（ d e 平衡状態にある力と応力が互いに無関係ではあるものの、一貫した変位とひずみを受ける場合、外部仮想仕事は内部仮想仕事に等しいと 述べています。この原理には、内部仮想仕事がゼロとなる特殊なケースとして、剛体に対する仮想仕事の原理が含まれます。
仮想仕事の原理と平衡方程式の等価性の証明 まず、指定された変形を受ける物体に対して表面牽引力が行う仕事の総量を調べてみましょう。 ∫ S u ⋅ T d S = ∫ S u ⋅ σ ⋅ n d S {\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {T} dS=\int _{S}\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} dS}
右辺に 発散定理 を適用すると、次の式が得られる。∫ S u ⋅ σ ⋅ n d S = ∫ V ∇ ⋅ （ u ⋅ σ ） d V {\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot n} dS=\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV}
導出を容易にするため、次に指標表記に切り替えます。 ∫ V ∇ ⋅ （ u ⋅ σ ） d V = ∫ V ∂ ∂ x j （ u 私 σ 私 j ） d V = ∫ V （ ∂ u 私 ∂ x j σ 私 j + u 私 ∂ σ 私 j ∂ x j ） d V {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV&=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(u_{i}\sigma _{ij}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV\end{aligned}}}
導出を続けるために、平衡方程式に代入します。∂ σ 私 j ∂ x j + f 私 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0} ∫ V （ ∂ u 私 ∂ x j σ 私 j + u 私 ∂ σ 私 j ∂ x j ） d V = ∫ V （ ∂ u 私 ∂ x j σ 私 j − u 私 f 私 ） d V {\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV}
右辺の最初の項は、以下のように対称部分と歪んだ部分に分解する必要があります。 ∫ V （ ∂ u 私 ∂ x j σ 私 j − u 私 f 私 ） d V = ∫ V （ 1 2 [ （ ∂ u 私 ∂ x j + ∂ u j ∂ x 私 ） + （ ∂ u 私 ∂ x j − ∂ u j ∂ x 私 ） ] σ 私 j − u 私 f 私 ） d V = ∫ V （ [ ϵ 私 j + 1 2 （ ∂ u 私 ∂ x j − ∂ u j ∂ x 私 ） ] σ 私 j − u 私 f 私 ） d V = ∫ V （ ϵ 私 j σ 私 j − u 私 f 私 ） d V = ∫ V （ ϵ : σ − u ⋅ f ） d V {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV&=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\left[\epsilon _{ij}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\epsilon _{ij}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} \right)dV\end{aligned}}} ϵ {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}
まとめると、上記の導出を通して、 ∫ S u ⋅ T d S = ∫ V ϵ : σ d V − ∫ V u ⋅ f d V {\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV-\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV}
方程式の右辺にある第2項を左辺に移動します。 ∫ S u ⋅ T d S + ∫ V u ⋅ f d V = ∫ V ϵ : σ d V {\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS+\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV}
上記の式の物理的な解釈は、平衡状態にある力と応力が互いに無関係だが一貫した変位とひずみを受ける場合、外部仮想仕事は内部仮想仕事に等しいということである 。
実用的な用途向け：
実際の応力と力に平衡状態を課すために、仮想仕事の式において、一貫性のある仮想変位と仮想ひずみを用いる。 一貫した変位とひずみを与えるために、仮想仕事方程式では平衡化された仮想応力と仮想力を使用します。 これら二つの一般的なシナリオは、しばしば言及される二つの変分原理を生み出す。これらは物質の挙動に関係なく有効である。
仮想変位の原理 目的に応じて、仮想仕事の式を特殊化することができます。例えば、支持された物体に対する変分表記法で仮想変位の原理を導出するには、次のように指定します。
仮想変位と仮想ひずみは、変分表記法を用いて実際の変位とひずみの変分として表されます。δ u ≡ u * {\displaystyle \delta \ \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} ^{*}} δ ϵ ≡ ϵ * {\displaystyle \delta \ {\boldsymbol {\epsilon }}\equiv {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}} 規定された変位を持つ表面部分では仮想変位はゼロとなり、したがって反力によってなされる仕事はゼロとなる。その部分には外部表面力のみが残る。S t {\displaystyle S_{t}} 仮想仕事の式は、仮想変位の原理となる。
この関係は、変形可能な物体内の微小要素に対して記述された平衡方程式のセット、および部品上の応力境界条件と同等である。S t {\displaystyle S_{t}} f ) に到達することができる。 S t {\displaystyle S_{t}} （ a b
仮想変位は連続的な 一価関数 で表現される場合、自動的に整合性が保たれるため、ひずみと変位の整合性の必要性のみを述べることが多い。仮想仕事の原理は大きな実変位にも適用できるが、その場合、式( f
仮想力の原理 ここでは、以下のように明記します。
仮想的な力と応力は、実際の力と応力の変形として定義される。 仮想力は部分でゼロになるS t {\displaystyle S_{t}} S u {\displaystyle S_{u}} 仮想仕事の式は、仮想力の原理となる。
この関係は、ひずみ適合方程式のセットと、部品上の変位境界条件のセットに相当します。S u {\displaystyle S_{u}}
仮想力の原理の特殊化として、単位ダミー力法が あり、これは構造システムの変位を計算するのに非常に有用です。ダランベールの原理 によれば、慣性力を追加の体積力として含めることで、動的システムに適用可能な仮想仕事方程式が得られます。より一般化された原理は、次のように導出できます。
あらゆる数量の変動を許容する。 ラグランジュ乗数 を用いて境界条件を課したり、2つの状態において指定された条件を緩和したりする。これらはいくつかの参考文献に記載されている。
構造力学における 数多くのエネルギー原理の中でも、仮想仕事の原理は、その普遍性から構造解析 、固体力学 、構造力学における有限要素法 において強力な応用につながるため、特別な位置を占めるに値する。
参考文献 1 2 C. ランチョス、『力学の変分原理』第4版、ジェネラル・パブリッシング社、カナダ、1970年 ↑ Dym, CL および IH Shames、『固体力学：変分法によるアプローチ』 、McGraw-Hill、1973 年。 1 2 3 4 5 Capecchi, Danilo (2012).仮想労働法の歴史 . Science Networks. Historical Studies. Vol. 42. Milano: Springer Milan. doi : 10.1007/978-88-470-2056-6 . ISBN 978-88-470-2055-9 。 ↑ ルネ・デュガス著『機械の歴史』、クーリエ・コーポレーション、2012年 ↑ TR ケイン、DA レビンソン著『動力学：理論と応用』マグロウヒル社、ニューヨーク、1985年 ↑ アッシャー、AP （1929）。 『機械発明史 』ハーバード大学出版局（1988年ドーバー出版より復刻）。94 ページ 。ISBN 978-0-486-14359-0 . OCLC 514178 . 2013年 4月7日 取得 . ↑ TR Kane および DA Levinson、『Dynamics, Theory and Applications』、McGraw-Hill、ニューヨーク、2005 年。
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![{\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0cd60c4c9c6921560a96631a730172280957d62)
![{\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25089ea7b3a2a88186ff4d1d72f337d170e35376)
![{\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918b678cc8c65f480ff35ddb93888ae75ad23dbe)
![{\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5642041e1ddc2551edbbbf8c44359ae6f874bf)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV&=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\left[\epsilon _{ij}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\epsilon _{ij}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} \right)dV\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d59278223ee684a75f9b8effd8329bfbe024ee6b)
