機能的派生語

数学的解析学の分野である変分法において、関数微分（または変分微分）^[1]は関数（この意味での関数とは関数に作用する関数である）の変化と関数が依存する関数の変化を関連付けます。

変分法では、関数は通常、関数の積分、その引数、およびその導関数によって表現されます。関数の被積分関数Lにおいて、関数fに任意の小さな別の関数δf を加えて変化させ、その結果得られる被積分関数をδfのべき乗で展開した場合、第 1 項のδfの係数は関数の導関数と呼ばれます。

例えば、 f ′( x ) ≡ df / dxと なる関数を考えます。関数δfを加えてfを変化させ、その結果得られる積分関数L ( x , f + δf , f ′+ δf ′)をδfのべき乗で展開すると、 δfにおけるJの値の1 次への変化は次のように表すことができます。^{[1] [注 1]} ここで、導関数δf ′の変化は、変化( δf ) ′の導関数として書き直され、これらの導関数では部分積分が使用されています。 $${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(\,x,f(x),f'{(x)}\,)\,dx\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta J&=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\delta f(x)+{\frac {\partial L}{\partial f'}}{\frac {d}{dx}}\delta f(x)\right)\,dx\,\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\delta f(x)\,dx\,+\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(b)\delta f(b)\,-\,{\frac {\partial L}{\partial f'}}(a)\delta f(a)\end{aligned}}}$$

この節では、関数微分（または変分、第一変分）^{[注 2]}を定義します。次に、関数微分に基づいて関数導関数を定義します。

がバナッハ空間で、が上で定義された汎関数であるとします。点におけるの微分は、 上の線型汎関数で、 ^[2]で定義される条件によって、すべての に対してと なるようにに依存する実数です 。これは、が におけるのフレシェ微分であることを意味します。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho \in B}$ ${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi \in B}$$${\displaystyle F[\rho +\phi ]-F[\rho ]=\delta F[\rho ;\phi ]+\varepsilon \left\|\phi \right\|}$$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \|\phi \|}$${\displaystyle \varepsilon \to 0}$${\displaystyle \|\phi \|\to 0}$${\displaystyle \delta F[\rho ,\cdot ]}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho}$

しかし、この関数微分の概念は強すぎるため存在しない可能性があり、^[3]その場合はガトー微分のような弱い概念が好まれます。多くの実用的なケースでは、関数微分は方向微分として 定義されます^[4]。 この関数微分の概念は、ノルムなしでも定義できることに留意してください。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta F[\rho ,\phi ]&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho +\varepsilon \phi ]-F[\rho ]}{\varepsilon }}\\[1ex]&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}.\end{aligned}}}$$

多くの応用において、関数の定義域は、何らかの空間上で定義される微分可能関数の空間であり、、値、および導関数に依存する可能性のある 何らかの関数 に対して の形をとります 。この場合、 が の積分と別の関数 ( δF / δρで表記) の積分として表されることができる 場合、この関数δF / δρ はρにおけるFの関数微分と呼ばれます。^{[5] [6]}が特定の関数だけに制限される場合(たとえば、何らかの境界条件が課されている場合)、 はこれらの条件を満たし続けるよう な関数に制限されます。${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle F[\rho ]=\int _{\Omega }L(x,\rho (x),D\rho (x))\,dx}$$${\displaystyle L(x,\rho (x),D\rho (x))}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \rho (x)}$${\displaystyle D\rho (x)}$${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]}$${\displaystyle \phi}$$${\displaystyle \delta F[\rho ,\phi ]=\int _{\Omega }{\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\ \phi (x)\ dx}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \rho +\varepsilon \phi }$

経験的に、は における変化なので、「正式には」となり、これは関数 の全微分 （ は独立 変数）の形式に似ています。最後の 2 つの式を比較すると、関数微分は偏微分 と同様の役割を果たします。偏微分では、積分変数は総和指数 の連続バージョンのようなものです。^[7] δF / δρは点ρにおけるFの勾配と考えられるため、値δF / δρ(x)は、関数ρが点xで変化した場合に関数F がどれだけ変化するかを測定します。したがって、この式は 点における の 方向の方向微分と見なされます。これはベクトル解析に類似しており、ベクトルと勾配の内積はの方向の方向微分を与えます。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \phi =\delta \rho }$${\displaystyle F(\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n})}$$${\displaystyle dF=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial \rho _{i}}}\ d\rho _{i},}$$${\displaystyle \rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}}$${\displaystyle \delta F/\delta \rho (x)}$${\displaystyle \partial F/\partial \rho _{i}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \int {\frac {\delta F}{\delta \rho }}(x)\phi (x)\;dx}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$

関数の微分と同様に、関数微分はF [ ρ ]とG [ ρ ]が関数であるとき、以下の性質を満たす：^[注3]

• 直線性：^[8] ここでλ、μは定数である。$${\displaystyle {\frac {\delta (\lambda F+\mu G)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}=\lambda {\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}+\mu {\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}},}$$
• 積の法則: ^[9] $${\displaystyle {\frac {\delta (FG)[\rho ]}{\delta \rho (x)}}={\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho (x)}}G[\rho ]+F[\rho ]{\frac {\delta G[\rho ]}{\delta \rho (x)}}\,,}$$
• チェーンルール:
  • Fが関数でGが別の関数である場合、^[10] $${\displaystyle {\frac {\delta F[G[\rho ]]}{\delta \rho (y)}}=\int dx{\frac {\delta F[G]}{\delta G(x)}}_{G=G[\rho ]}\cdot {\frac {\delta G[\rho ](x)}{\delta \rho (y)}}\ .}$$
  • Gが通常の微分可能関数（局所関数）gである場合、これは^{[11]に帰着する。} $${\displaystyle {\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta \rho (y)}}={\frac {\delta F[g(\rho )]}{\delta g[\rho (y)]}}\ {\frac {dg(\rho )}{d\rho (y)}}\ .}$$

一般的な関数の関数微分を決定する式は、関数とその微分の積分として記述できます。これはオイラー・ラグランジュ方程式の一般化です。実際、関数微分は、ラグランジュ力学(18 世紀)の最小作用原理から第 2 種のラグランジュ方程式を導出する際に物理学に導入されました。以下の最初の 3 つの例は密度汎関数理論(20 世紀) から、4 番目の例は統計力学(19 世紀)から取られています。

関数 と積分領域の境界で消える 関数が与えられている。前節の定義から、$${\displaystyle F[\rho ]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$$${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\,\phi ({\boldsymbol {r}})\,d{\boldsymbol {r}}&=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int f({\boldsymbol {r}},\rho +\varepsilon \phi ,\nabla \rho +\varepsilon \nabla \phi )\,d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +{\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\cdot \nabla \phi \right)d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi +\nabla \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\,\phi \right)-\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left[{\frac {\partial f}{\partial \rho }}\,\phi -\left(\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi \right]d{\boldsymbol {r}}\\&=\int \left({\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}\right)\phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$$

2行目は全微分を使って得られます。ここで、∂f / ∂∇ρはスカラーのベクトル に対する微分です。^{[注 4]}

3行目は発散の積の法則を使って得られた。4行目は発散定理と積分領域の境界上での条件を使って得られた。 も任意の関数なので、変分法の基本補題を最後の行に適用すると、関数の微分は次のようになる。 ${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle \phi }$$${\displaystyle {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial \nabla \rho }}}$$

ここで、ρ = ρ ( r )かつf = f ( r , ρ , ∇ ρ )です。この式は、このセクションの冒頭でF [ ρ ]で示した関数形式の場合のものです。他の関数形式については、関数微分の定義をその決定の出発点として使用できます。(クーロンポテンシャルエネルギー関数の例を参照してください。)

上記の関数微分方程式は、高次元および高次の微分を含む場合に一般化できます。関数は次のようになります。 $${\displaystyle F[\rho ({\boldsymbol {r}})]=\int f({\boldsymbol {r}},\rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla \rho ({\boldsymbol {r}}),\nabla ^{(2)}\rho ({\boldsymbol {r}}),\dots ,\nabla ^{(N)}\rho ({\boldsymbol {r}}))\,d{\boldsymbol {r}},}$$

ここでベクトルr ∈ R ⁿであり、∇ ^{( i )は}n ⁱ個の成分がi次偏微分演算子であるテンソルである。 ^{[注 5]}$${\displaystyle \left[\nabla ^{(i)}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\qquad \qquad {\text{where}}\quad \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{i}=1,2,\dots ,n\ .}$$

関数微分の定義を同様に適用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\rho ]}{\delta \rho }}&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial f}{\partial (\nabla \rho )}}+\nabla ^{(2)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(2)}\rho \right)}}+\dots +(-1)^{N}\nabla ^{(N)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(N)}\rho \right)}}\\&{}={\frac {\partial f}{\partial \rho }}+\sum _{i=1}^{N}(-1)^{i}\nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\ .\end{aligned}}}$$

最後の2つの式では、テンソルのn ⁱ成分はρの 偏微分に対するfの偏微分で あり、テンソルのスカラー積は ^{[注6]である。}${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}}$$${\displaystyle \left[{\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}\right]_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}={\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}}$$${\displaystyle \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}\equiv {\frac {\partial ^{\,i}\rho }{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}}$$${\displaystyle \nabla ^{(i)}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \left(\nabla ^{(i)}\rho \right)}}=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{i}=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{\,i}}{\partial r_{\alpha _{1}}\,\partial r_{\alpha _{2}}\cdots \partial r_{\alpha _{i}}}}\ {\frac {\partial f}{\partial \rho _{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{i}}}}\ .}$$

1927年のトーマス・フェルミ模型は、電子構造の 密度汎関数理論の最初の試みとして、相互作用しない均一電子ガスの運動エネルギー汎関数を使用した。T _TF [ ρ ] の積分関数はρ ( r )の微分を含まないため、 T TF [ ρ _]の汎関数微分は、^[12]$${\displaystyle T_{\mathrm {TF} }[\rho ]=C_{\mathrm {F} }\int \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} \,.}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {TF} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=C_{\mathrm {F} }{\frac {\partial \rho ^{5/3}(\mathbf {r} )}{\partial \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {5}{3}}C_{\mathrm {F} }\rho ^{2/3}(\mathbf {r} )\,.}$$

電子-原子核ポテンシャルについては、トーマスとフェルミはクーロンポテンシャルエネルギー関数 を採用した。$${\displaystyle V[\rho ]=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}.}$$

関数微分の定義を適用する と、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\ \phi ({\boldsymbol {r}})\ d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\right]_{\varepsilon =0}\\[1ex]&{}=\int {\frac {\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ d{\boldsymbol {r}}\,.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\delta V}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}\ .}$$

電子間相互作用の古典的な部分については、トーマスとフェルミはクーロンポテンシャルエネルギー関数 を採用した 。関数微分の定義から、 最後の式の右辺の第1項と第2項は等しい。なぜなら、第2項のrとr′は積分の値を変えずに交換できるからである。したがって、 電子間クーロンポテンシャルエネルギー関数J [ ρ ]の関数微分は、^{[13]である。}$${\displaystyle J[\rho ]={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}&{}=\left[{\frac {d\ }{d\varepsilon }}\,J[\rho +\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\left[{\frac {d\ }{d\varepsilon }}\,\left({\frac {1}{2}}\iint {\frac {[\rho ({\boldsymbol {r}})+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}})]\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')+\varepsilon \phi ({\boldsymbol {r}}')]}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\right]_{\varepsilon =0}\\&{}={\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')\phi ({\boldsymbol {r}})}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {1}{2}}\iint {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\phi ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \int {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}=\int \left(\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\phi ({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta J}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\int {\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}')}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'|}}d{\boldsymbol {r}}'\,.}$$

2番目の関数導関数は $${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}J[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} ')\delta \rho (\mathbf {r} )}}={\frac {\partial }{\partial \rho (\mathbf {r} ')}}\left({\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$$

1935年にフォン・ヴァイツゼッカーはトーマス・フェルミの運動エネルギー関数に勾配補正を加えて分子電子雲に適合させることを提案した。 ここで、 関数微分に以前に導出された式を用いると、 結果は次のようになる。^[14]$${\displaystyle T_{\mathrm {W} }[\rho ]={\frac {1}{8}}\int {\frac {\nabla \rho (\mathbf {r} )\cdot \nabla \rho (\mathbf {r} )}{\rho (\mathbf {r} )}}d\mathbf {r} =\int t_{\mathrm {W} }\ d\mathbf {r} \,,}$$$${\displaystyle t_{\mathrm {W} }\equiv {\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho }}\qquad {\text{and}}\ \ \rho =\rho ({\boldsymbol {r}})\ .}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}&={\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \rho }}-\nabla \cdot {\frac {\partial t_{\mathrm {W} }}{\partial \nabla \rho }}\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-\left({\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}\right)\qquad {\text{where}}\ \ \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla \ ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\delta T_{\mathrm {W} }}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}}=\ \ \,{\frac {1}{8}}{\frac {\nabla \rho \cdot \nabla \rho }{\rho ^{2}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\nabla ^{2}\rho }{\rho }}\ .}$$

離散確率変数のエントロピーは確率質量関数の関数です。

$${\displaystyle H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)}$$ したがって、 したがって、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{x}{\frac {\delta H}{\delta p(x)}}\,\phi (x)&{}=\left[{\frac {d}{d\varepsilon }}H[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=\left[-\,{\frac {d}{d\varepsilon }}\sum _{x}\,[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\ \log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right]_{\varepsilon =0}\\&{}=-\sum _{x}\,[1+\log p(x)]\ \phi (x)\,.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\frac {\delta H}{\delta p(x)}}=-1-\log p(x).}$$

させて $${\displaystyle F[\varphi (x)]=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}.}$$

デルタ関数をテスト関数として使用すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (x-y))g(x)dx}-e^{\int \varphi (x)g(x)dx}}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon \int \delta (x-y)g(x)dx}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon g(y)}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{\int \varphi (x)g(x)dx}g(y).\end{aligned}}}$$

したがって、 $${\displaystyle {\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)}}=g(y)F[\varphi (x)].}$$

これは、量子場理論における分割関数から相関関数を計算する場合に特に役立ちます。

関数は、関数のように積分の形で書くことができる。例えば、 被積分関数はρ の導関数に依存しないので、 ρ ( r )の関数導関数は、 $${\displaystyle \rho ({\boldsymbol {r}})=F[\rho ]=\int \rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\,d{\boldsymbol {r}}'.}$$$${\displaystyle {\frac {\delta \rho ({\boldsymbol {r}})}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\equiv {\frac {\delta F}{\delta \rho ({\boldsymbol {r}}')}}={\frac {\partial \ \ }{\partial \rho ({\boldsymbol {r}}')}}\,[\rho ({\boldsymbol {r}}')\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')]=\delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}').}$$

反復関数の関数微分は次のように与えられる 。 ${\displaystyle f(f(x))}$$${\displaystyle {\frac {\delta f(f(x))}{\delta f(y)}}=f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y)}$$$${\displaystyle {\frac {\delta f(f(f(x)))}{\delta f(y)}}=f'(f(f(x))(f'(f(x))\delta (x-y)+\delta (f(x)-y))+\delta (f(f(x))-y)}$$

一般的に： $${\displaystyle {\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)}$$

N = 0とすると次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\delta f^{-1}(x)}{\delta f(y)}}=-{\frac {\delta (f^{-1}(x)-y)}{f'(f^{-1}(x))}}}$$

物理学では、一般的なテスト関数の代わりにディラックのデルタ関数 を使用して、点（部分微分は勾配の要素であるため、これは全関数微分の一点である）における関数微分を生成するのが一般的である。 ^[15]${\displaystyle \delta (x-y)}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\frac {\delta F[\rho (x)]}{\delta \rho (y)}}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]-F[\rho (x)]}{\varepsilon }}.}$$

これは、 が の級数として（または少なくとも 1 次まで）形式的に展開できる場合に機能します。ただし、は通常は定義されていない ため、この式は数学的に厳密ではありません。${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon f(x)]}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle F[\rho (x)+\varepsilon \delta (x-y)]}$

前のセクションで与えられた定義は、すべてのテスト関数に当てはまる関係に基づいているため、デルタ関数などの特定の関数として が選択された場合にも当てはまると考えるかもしれません。ただし、後者は有効なテスト関数ではありません（適切な関数でもありません）。 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \phi (x)}$

定義では、関数の微分は、関数 全体の小さな変化の結果として関数がどのように変化するかを説明します。 における変化の特定の形式は指定されていませんが、 が定義されている区間全体に及ぶ必要があります。 デルタ関数によって与えられた摂動の特定の形式を使用することは、が点 でのみ変化することを意味します。 この点を除いて、 には変化がありません。 ${\displaystyle F[\rho (x)]}$${\displaystyle \rho (x)}$${\displaystyle \rho (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \rho (x)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \rho (x)}$

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