ラグランジュ力学における逆問題

数学において、ラグランジュ力学の逆問題とは、与えられた常微分方程式系が、あるラグランジュ関数に対するオイラー・ラグランジュ方程式として現れるかどうかを判定する問題である。

この問題の研究は20世紀初頭から盛んに行われてきた。この分野における特筆すべき進歩は、1941年にアメリカの数学者ジェシー・ダグラスが発表した論文である。彼はこの論文の中で、この問題に解が存在するための必要十分条件を示した。これらの条件は、ドイツの物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツにちなんで、現在ではヘルムホルツ条件として知られている。

微分可能な経路を考える$\displaystyle u:[0,T]\to \mathbb {R} ^{n}}$経路の動作${\displaystyle u}$、と表記される${\displaystyle S(u)}$は、

${\displaystyle S(u)=\int _{0}^{T}L(t,u(t),{\dot {u}}(t))\,\mathrm {d} t,}$

どこ${\displaystyle L}$は時間、位置、速度の関数であり、ラグランジアンとして知られています。最小作用の原理は、初期状態が与えられた場合、${\displaystyle x_{0}}$そして最終状態${\displaystyle x_{1}}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$システムが決定した軌道${\displaystyle L}$実際に従うのは、アクション関数の最小化である必要がある${\displaystyle S}$境界条件を満たす${\displaystyle u(0)=x_{0}}$そして${\displaystyle u(T)=x_{1}}$さらに、​${\displaystyle S}$オイラー・ラグランジュ方程式を満たさなければならない${\displaystyle S}$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {u}}^{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial u^{i}}}=0}$

のために${\displaystyle 1\leq i\leq n}$上のインデックスは${\displaystyle i}$の構成要素を表す${\displaystyle u=(u^{1},\dots ,u^{n})}$古典的なケースでは

${\displaystyle T({\dot {u}})={\frac {1}{2}}m|{\dot {u}}|^{2},\quad \;V:[0,T]\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\quad \;L(t,u,{\dot {u}})=T({\dot {u}})-V(t,u),}$

オイラー・ラグランジュ方程式は、ニュートンの運動法則としてよく知られている2階常微分方程式である。

${\displaystyle m{\ddot {u}}^{i}=-{\frac {\partial V(t,u)}{\partial u^{i}}}}$

のために${\displaystyle 1\leq i\leq n}$つまり${\displaystyle m{\ddot {u}}=-\nabla _{u}V(t,u)}$。

ラグランジュ力学の逆問題は次のとおりです。2階常微分方程式のシステムが与えられたとき、

${\displaystyle {\ddot {u}}^{i}=f^{i}(u^{j},{\dot {u}}^{j})\quad {\mbox{(E)}}}$

のために${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$それは、${\displaystyle 0\leq t\leq T}$ラグランジアンは存在するのか？${\displaystyle L:[0,T]\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$これらの常微分方程式（E）は、オイラー・ラグランジュ方程式となるのはどのような場合でしょうか？一般に、この問題はユークリッド空間ではなく、別の空間で提起されます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$しかし、${\displaystyle n}$次元多様体${\displaystyle M}$、そしてラグランジアンは関数である${\displaystyle L:[0,T]\times TM\to \mathbb {R} }$、 どこ${\displaystyle TM}$接束を表す${\displaystyle M}$。

表記を簡略化するために、

${\displaystyle v^{i}={\dot {u}}^{i}}$

そして、 n ^{2 個}の関数 Φ _j ⁱの集合を次のように定義します。

${\displaystyle \Phi _{j}^{i}={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial f^{i}}{\partial v^{j}}}-{\frac {\partial f^{i}}{\partial u^{j}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\partial f^{i}}{\partial v^{k}}}{\frac {\partial f^{k}}{\partial v^{j}}}.}$

定理。 （ダグラス 1941）方程式（E）がオイラー・ラグランジュ方程式となるようなラグランジアンL  :  [0, T ] × T M → Rが存在するのは、uとvの両方に依存する要素g _ijを持つ非特異対称行列g が存在し、以下の 3 つのヘルムホルツ条件を満たす場合に限る。     

${\displaystyle g\Phi =(g\Phi )^{\top },\quad {\mbox{(H1)}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} g_{ij}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial f^{k}}{\partial v^{i}}}g_{kj}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial f^{k}}{\partial v^{j}}}g_{ki}=0{\mbox{ for }}1\leq i,j\leq n,\quad {\mbox{(H2)}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial g_{ij}}{\partial v^{k}}}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial v^{j}}}{\mbox{ for }}1\leq i,j,k\leq n.\quad {\mbox{(H3)}}}$

（繰り返し添え字にはアインシュタインの総和規約が適用されます。）

• ダグラス、ジェシー (1941)。「変分法における逆問題の解法」。アメリカ数学会紀要。50 ( 1 ) : 71–128。doi : 10.2307 / 1989912。ISSN 0002-9947。JSTOR 1989912。PMC 1077987。PMID 16588312。    
• Rawashdeh, M., & Thompson, G. (2006). "6次元余次元2の零根基リー代数の逆問題". Journal of Mathematical Physics . 47 (11): 112901. Bibcode : 2006JMP....47k2901R . doi : 10.1063/1.2378620 . ISSN 0022-2488 . {{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

• Montesinos, M., Gonzalez, D., Meza, J. (2026). "対称性とヘルムホルツの法則を組み合わせてラグランジアンを構築する" . Advances in Mathematical Physics . 2026 (1) 9534805. arXiv : 2603.07760 . doi : 10.1155/admp/9534805 .{{cite journal}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)