概要 ハミルトン・ヤコビ方程式は、1階の非線形 偏微分方程式である。
− ∂ S ∂ t = H （ q 、 ∂ S ∂ q 、 t ） 。 {\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}.}
座標 q \displaystyle \mathbf {q} } H {\displaystyle H} は系のエネルギーを与える系のハミルトニアン である。この方程式の解は作用 で S {\displaystyle S} ハミルトンの主関数 と呼ばれる。 [ 4 ] ： 291 L {\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ } 最小作用の原理 で使用される形式の不定積分によって：[ 5 ] ： S = ∫ L d t + s o m e c o n s t 1 n t {\displaystyle \ S=\int {\mathcal {L}}\ \mathrm {d} t+~{\mathsf {何らかの定数}}~} [ 6 ] ：
表記法 太字の変数などq \displaystyle \mathbf {q} } N {\displaystyle N} 一般化座標 、 q = （ q 1 、 q 2 、 … 、 q N − 1 、 q N ） {\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})}
変数またはリストの上にドットが付いている場合は、時間微分を表します（ニュートンの記法を 参照）。たとえば、 q ˙ = d q d t 。 {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.}
同じ数の座標を持つ 2 つのリスト間のドット積 表記は、対応するコンポーネントの積の合計の略記法です。 p ⋅ q = ∑ k = 1 N p k q k 。 {\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}
意味 ヘッセ行列 をH L （ q 、 q ˙ 、 t ） = { ∂ 2 L / ∂ q ˙ 私 ∂ q ˙ j } 私 j {\textstyle H_{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}} d d t ∂ L ∂ q ˙ 私 = ∑ j = 1 n （ ∂ 2 L ∂ q ˙ 私 ∂ q ˙ j q ¨ j + ∂ 2 L ∂ q ˙ 私 ∂ q j q ˙ j ） + ∂ 2 L ∂ q ˙ 私 ∂ t 、 私 = 1 、 … 、 n 、 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,} オイラー・ラグランジュ方程式 は、n × n {\displaystyle n\times n} H L {\displaystyle H_{\mathcal {L}}} q ¨ 私 = F 私 （ q 、 q ˙ 、 t ） 、 私 = 1 、 … 、 n 。 {\displaystyle {\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.}
時間を一瞬としますt 0 t0 q 0 ∈ M {\displaystyle \mathbf {q} _{0}\in M} v 0 、 {\displaystyle \mathbf {v} _{0},} 値問題 γ | τ = t 0 = q 0 {\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}} γ ˙ | τ = t 0 = v 0 {\displaystyle {\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}} γ = γ （ τ ; t 0 、 q 0 、 v 0 ） 。 {\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0})。} （ t 0 、 t 1 ） {\displaystyle (t_{0},t_{1})} v 0 \displaystyle \mathbf {v} _{0}} M × （ t 0 、 t 1 ） 。 {\displaystyle M\times (t_{0},t_{1}).} q ∈ M {\displaystyle \mathbf {q} \in M} t ∈ （ t 0 、 t 1 ） 、 {\displaystyle t\in (t_{0},t_{1}),} γ = γ （ τ ; t 、 t 0 、 q 、 q 0 ） {\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})} γ | τ = t 0 = q 0 {\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}} γ | τ = t = q 。 {\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .} γ = γ （ τ ; t 、 t 0 、 q 、 q 0 ） {\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})} 作用 関数はハミルトンの主関数（HPF）の結果をもたらす
S （ q 、 t ; q 0 、 t 0 ） = 定義 ∫ t 0 t L （ γ （ τ ; ⋅ ） 、 γ ˙ （ τ ; ⋅ ） 、 τ ） d τ 、 {\displaystyle S(\mathbf {q} ,t;\mathbf {q} _{0},t_{0})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{t_{0}}^{t}{\mathcal {L}}(\gamma (\tau ;\cdot ),{\dot {\gamma }}(\tau ;\cdot ),\tau )\,d\tau ,}
どこ
γ = γ （ τ ; t 、 t 0 、 q 、 q 0 ） 、 {\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}),} γ | τ = t 0 = q 0 、 {\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0},} γ | τ = t = q 。 {\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}
運動量は 、以下の量として定義されます。p 私 （ q 、 q ˙ 、 t ） = ∂ L / ∂ q ˙ 私 。 {\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.} p 私 {\displaystyle p_{i}} q ˙ {\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }
確かに、一瞬の時間t 0 {\displaystyle t_{0}} q 0 {\displaystyle \mathbf {q} _{0}} t {\displaystyle t} q 、 {\displaystyle \mathbf {q} ,} γ = γ （ τ ; t 、 t 0 、 q 、 q 0 ） {\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})} 。 S {\displaystyle S} v = 定義 γ ˙ （ τ ; t 、 t 0 、 q 、 q 0 ） | τ = t {\displaystyle \mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}} は τ = t {\displaystyle \tau =t}
∂ S ∂ q 私 = ∂ L ∂ q ˙ 私 | q ˙ = v 、 私 = 1 、 … 、 n 。 {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q^{i}}}=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right|_{\mathbf {\dot {q}} =\mathbf {v} }\!\!\!\!\!\!\!,\quad i=1,\ldots ,n.}
証拠 以下の証明では、構成空間が以下の開部分集合であると仮定する。R n 、 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} 空間 にも同様に適用できる。この証明の文脈では、書道の文字S {\displaystyle {\mathcal {S}}} S {\displaystyle S}
ステップ1 .ξ = ξ （ t ） {\displaystyle \xi =\xi (t)} δ ξ = δ ξ （ t ） {\displaystyle \delta \xi =\delta \xi (t)} ξ {\displaystyle \xi } t 、 {\displaystyle t,} δ ξ （ t ） {\displaystyle \delta \xi (t)} これは摂動 、微小変化 、または点における機械システムの仮想変位 ξ （ t ） {\displaystyle \xi (t)} 変動を思い出してください δ S δ ξ [ γ 、 t 1 、 t 0 ] {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\gamma ,t_{1},t_{0}]} S {\displaystyle {\mathcal {S}}} ξ {\displaystyle \xi } δ ξ {\displaystyle \delta \xi } δ S δ ξ [ ξ 、 t 1 、 t 0 ] = ∫ t 0 t 1 （ ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ ） δ ξ d t + ∂ L ∂ q ˙ δ ξ | t 0 t 1 、 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t_{1},t_{0}]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)\delta \xi \,dt+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,\delta \xi {\Biggl |}_{t_{0}}^{t_{1}},} q 私 = ξ 私 （ t ） {\displaystyle q^{i}=\xi ^{i}(t)} q ˙ 私 = ξ ˙ 私 （ t ） {\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\dot {\xi }}^{i}(t)}
と仮定するξ {\displaystyle \xi } ξ {\displaystyle \xi } ξ {\displaystyle \xi } q 0 {\displaystyle \mathbf {q} _{0}} δ ξ （ t 0 ） = 0. {\displaystyle \delta \xi (t_{0})=0.} δ S δ ξ [ ξ 、 t ; t 0 ] = ∂ L ∂ q ˙ | q ˙ = ξ ˙ （ t ） q = ξ （ t ） δ ξ （ t ） 。 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right|_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}\,\delta \xi (t).}
ステップ2 .γ = γ （ τ ; q 、 q 0 、 t 、 t 0 ） {\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})} は δ γ = δ γ （ τ ） {\displaystyle \delta \gamma =\delta \gamma (\tau )} γ 、 {\displaystyle \gamma ,} γ ε = γ ε （ τ ; q ε 、 q 0 、 t 、 t 0 ） {\displaystyle \gamma _{\varepsilon }=\gamma _{\varepsilon }(\tau ;\mathbf {q} _{\varepsilon },\mathbf {q} _{0},t,t_{0})} γ {\displaystyle \gamma } δ γ 。 {\displaystyle \delta \gamma .} γ ε | ε = 0 = γ 、 {\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\gamma ,} γ ˙ ε | ε = 0 = δ γ 、 {\displaystyle {\dot {\gamma }}_{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\delta \gamma ,} γ ε | τ = t 0 = γ | τ = t 0 = q 0 。 {\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\tau =t_{0}}=\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}.}
HPFおよびガトー誘導体の定義により、 δ S δ γ [ γ 、 t ] = 定義 d S [ γ ε 、 t ] d ε | ε = 0 = d S （ γ ε （ t ） 、 t ） d ε | ε = 0 = ∂ S ∂ q δ γ （ t ） 。 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \gamma }[\gamma ,t]{\overset {\text{def}}{{}={}}}\left.{\frac {d{\mathcal {S}}[\gamma _{\varepsilon },t]}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\left.{\frac {dS(\gamma _{\varepsilon }(t),t)}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}={\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\,\delta \gamma (t).}
ここでは、q = γ （ t ; q 、 q 0 、 t 、 t 0 ） {\displaystyle \mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})} t 0 {\displaystyle t_{0}}
ステップ3. ここで代入しますξ = γ {\displaystyle \xi =\gamma } δ ξ = δ γ {\displaystyle \delta \xi =\delta \gamma } δ S δ ξ [ ξ 、 t ; t 0 ] {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]} t > t 0 、 {\displaystyle t>t_{0},} δ γ {\displaystyle \delta \gamma }
ハミルトニアン が与えられた場合H （ q 、 p 、 t ） {\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)} 非線形 偏微分方程式である。 S {\displaystyle S} 7 ]
− ∂ S ∂ t = H （ q 、 ∂ S ∂ q 、 t ） 。 {\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}.}
導出 極端な場合ξ = ξ （ t ; t 0 、 q 0 、 v 0 ） 、 {\displaystyle \xi =\xi (t;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}),} v 0 = ξ ˙ | t = t 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{0}={\dot {\xi }}|_{t=t_{0}}} L （ ξ （ t ） 、 ξ ˙ （ t ） 、 t ） = d S （ ξ （ t ） 、 t ） d t = [ ∂ S ∂ q q ˙ + ∂ S ∂ t ] q ˙ = ξ ˙ （ t ） q = ξ （ t ） 。 {\displaystyle {\mathcal {L}}(\xi (t),{\dot {\xi }}(t),t)={\frac {dS(\xi (t),t)}{dt}}=\left[{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\mathbf {\dot {q}} +{\frac {\partial S}{\partial t}}\right]_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}.}
式からp 私 = p 私 （ q 、 t ） {\displaystyle p_{i}=p_{i}(\mathbf {q} ,t)} H （ q 、 p 、 t ） = p q ˙ − L （ q 、 q ˙ 、 t ） 、 {\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \mathbf {\dot {q}} -{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),} q ˙ （ p 、 q 、 t ） {\displaystyle \mathbf {\dot {q}} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)} q ˙ ） {\displaystyle \mathbf {\dot {q}} )} p = ∂ L （ q 、 q ˙ 、 t ） ∂ q ˙ 、 {\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}{\partial \mathbf {\dot {q}} }},} ∂ S ∂ t = L （ q 、 q ˙ 、 t ） − ∂ S ∂ q q ˙ = − H （ q 、 ∂ S ∂ q 、 t ） 、 {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}={\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-{\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\mathbf {\dot {q}} =-H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)},} q = ξ （ t ） {\displaystyle \mathbf {q} =\xi (t)} q ˙ = ξ ˙ （ t ） 。 {\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t).}
あるいは、以下に説明するように、ハミルトン力学 からハミルトン・ヤコビ方程式を導出することもできます。S {\displaystyle S} 正準変換 の生成関数 としてH = H （ q 1 、 q 2 、 … 、 q N ; p 1 、 p 2 、 … 、 p N ; t ） 。 {\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).}
共役運動量は、S {\displaystyle S} p k = ∂ S ∂ q k 。 {\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.}
ハミルトン・ヤコビ方程式の解として、主関数は以下を含む。N + 1 {\displaystyle N+1} N {\displaystyle N} α 1 、 α 2 、 … 、 α N {\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}} ∂ S ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}
関係p {\displaystyle \mathbf {p} } q {\displaystyle \mathbf {q} } そして、これらの運動の保存量 を用いて位相空間 における軌道を記述する。さらに、これらの量は β k = ∂ S ∂ α k 、 k = 1 、 2 、 … 、 N {\displaystyle \beta _{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,N} q {\displaystyle \mathbf {q} } α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } [ 8 ]
タイプ2生成関数 を含む任意の正準変換 G 2 （ q 、 P 、 t ） {\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)} p = ∂ G 2 ∂ q 、 Q = ∂ G 2 ∂ P 、 K （ Q 、 P 、 t ） = H （ q 、 p 、 t ） + ∂ G 2 ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }},\quad \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }},\quad \\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}} P 、 Q {\displaystyle \mathbf {P} ,\,\mathbf {Q} } K {\displaystyle K} P ˙ = − ∂ K ∂ Q 、 Q ˙ = + ∂ K ∂ P 。 {\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} },\quad {\dot {\mathbf {Q} }}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }.}
HJEを導出するには、生成関数G 2 （ q 、 P 、 t ） {\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)} K = 0 {\displaystyle K=0} P ˙ = Q ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0} 運動の 保存量 P {\displaystyle \mathbf {P} } α 1 、 α 2 、 … 、 α N {\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}} P m = α m {\displaystyle P_{m}=\alpha _{m}} 一般化座標 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } β 1 、 β 2 、 … 、 β N {\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}} Q m = β m {\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}}
生成関数をハミルトンの主関数に任意の定数を加えたものに等しいと設定するA {\displaystyle A} G 2 （ q 、 α 、 t ） = S （ q 、 t ） + A 、 {\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=S(\mathbf {q} ,t)+A,} p = ∂ G 2 ∂ q = ∂ S ∂ q → H （ q 、 p 、 t ） + ∂ G 2 ∂ t = 0 → H （ q 、 ∂ S ∂ q 、 t ） + ∂ S ∂ t = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\\[1ex]\rightarrow {}&H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\\[1ex]\rightarrow {}&H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}+{\partial S \over \partial t}=0.\end{aligned}}}
解決するとS （ q 、 α 、 t ） {\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)} Q = β = ∂ S ∂ α 、 {\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}},} Q m = β m = ∂ S （ q 、 α 、 t ） ∂ α m 。 {\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}.}
理想的には、これらのN個の方程式を逆算することで、元の 一般化座標を 求めることができる。q {\displaystyle \mathbf {q} } α 、 β 、 {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},} t {\displaystyle t}
変数の分離 問題が変数の加法的分離を 許容する場合、HJEは直接運動の保存量 につながります。たとえば、ハミルトニアンが時間tに明示的に依存しない場合、時間t を分離できます。この場合、時間微分は∂ S ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}} − E {\displaystyle -E} S = W （ q 1 、 q 2 、 … 、 q N ） − E t {\displaystyle S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et} W （ q ） {\displaystyle W(\mathbf {q} )} 省略作用 またはハミルトンの特性関数と呼ばれることもあり [ 5 ] : [ 9 ] : S 0 {\displaystyle S_{0}} 作用原理名を 参照）。簡略化されたハミルトン・ヤコビ方程式は次のように書ける。 H （ q 、 ∂ S ∂ q ） = E 。 {\displaystyle H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)}=E.}
他の変数の分離可能性を説明するために、ある一般化座標 q k {\displaystyle q_{k}} ∂ S ∂ q k {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}} ψ （ q k 、 ∂ S ∂ q k ） {\displaystyle \psi {\left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)}} H = H （ q 1 、 q 2 、 … 、 q k − 1 、 q k + 1 、 … 、 q N ; p 1 、 p 2 、 … 、 p k − 1 、 p k + 1 、 … 、 p N ; ψ ; t ） 。 {\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).}
この場合、関数S は2つの関数に分割でき、1つはq k のみに依存する関数、もう1つは残りの一般化座標のみに依存する関数である。 S = S k （ q k ） + S レム （ q 1 、 … 、 q k − 1 、 q k + 1 、 … 、 q N 、 t ） 。 {\displaystyle S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).}
これらの式をハミルトン・ヤコビ方程式に代入すると、関数ψ は 定数でなければならないことがわかる（ここでは次のように表される）。Γ k {\displaystyle \Gamma _{k}} 常微分方程式が得られる。 S k （ q k ） 、 {\displaystyle S_{k}(q_{k}),}
ψ （ q k 、 d S k d q k ） = Γ k 。 {\displaystyle \psi {\left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)}=\Gamma _{k}.}
幸運なケースでは、S {\displaystyle S} N {\displaystyle N} S m （ q m ） 、 {\displaystyle S_{m}(q_{m}),} S = S 1 （ q 1 ） + S 2 （ q 2 ） + ⋯ + S N （ q N ） − E t 。 {\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.}
このような場合、問題は次のようになる。N {\displaystyle N} 常微分方程式 。
S の分離可能性は、ハミルトニアンと一般化座標 の選択の両方に依存します。直交座標 と、時間依存性がなく一般化運動量に関して二次であるハミルトニアンの場合、 S {\displaystyle S} シュタッケル条件 ）。説明のために、次のセクションでは直交座標系 におけるいくつかの例を取り上げます。
アプリケーション
電磁場におけるHJE 静止質量 を持つ粒子の場合m {\displaystyle m} e {\displaystyle e} 4つの電位 を持つ電磁場内を移動するA 私 = （ ϕ 、 A ） {\displaystyle A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )} g 私 k = g 私 k {\displaystyle g^{ik}=g_{ik}} g 私 k （ ∂ S ∂ x 私 + e c A 私 ） （ ∂ S ∂ x k + e c A k ） = m 2 c 2 {\displaystyle g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {e}{c}}A_{i}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}} S {\displaystyle S} [ 15 ] x = − e c γ ∫ A z d ξ 、 y = − e c γ ∫ A y d ξ 、 z = − e 2 2 c 2 γ 2 ∫ （ A 2 − A 2 ¯ ） d ξ 、 ξ = c t − e 2 2 γ 2 c 2 ∫ （ A 2 − A 2 ¯ ） d ξ 、 p x = − e c A x 、 p y = − e c A y 、 p z = e 2 2 γ c （ A 2 − A 2 ¯ ） 、 E = c γ + e 2 2 γ c （ A 2 − A 2 ¯ ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi ,&y&=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi ,\\[1ex]z&=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}}\int \left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right)\,d\xi ,&\xi &=ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}}\int \left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right)\,d\xi ,\\[1ex]p_{x}&=-{\frac {e}{c}}A_{x},&p_{y}&=-{\frac {e}{c}}A_{y},\\[1ex]p_{z}&={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}\left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right),&{\mathcal {E}}&=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}}\left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right),\end{aligned}}} ξ = c t − z {\displaystyle \xi =ct-z} γ 2 = m 2 c 2 + e 2 c 2 A ¯ 2 {\displaystyle \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}}{c^{2}}}{\overline {A}}^{2}} A ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}
円偏光波 円偏光 の場合、 E x = E 0 罪 ω ξ 1 、 E y = E 0 コス ω ξ 1 、 A x = c E 0 ω コス ω ξ 1 、 A y = − c E 0 ω 罪 ω ξ 1 。 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=E_{0}\sin \omega \xi _{1},&E_{y}&=E_{0}\cos \omega \xi _{1},\\[1ex]A_{x}&={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},&A_{y}&=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1}.\end{aligned}}}
したがって x = − e c E 0 ω 罪 ω ξ 1 、 y = − e c E 0 ω コス ω ξ 1 、 p x = − e E 0 ω コス ω ξ 1 、 p y = e E 0 ω 罪 ω ξ 1 、 {\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},&y&=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},\\[1ex]p_{x}&=-{\frac {eE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},&p_{y}&={\frac {eE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},\end{aligned}}}
どこξ 1 = ξ / c {\displaystyle \xi _{1}=\xi /c} e c E 0 / γ ω 2 {\displaystyle ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}} e E 0 / ω 2 {\displaystyle eE_{0}/\omega ^{2}}
単色直線偏光平面波 平坦で単色、直線偏光の波で電場がE {\displaystyle E} y {\displaystyle y} E y = E 0 コス ω ξ 1 、 A y = − c E 0 ω 罪 ω ξ 1 、 {\displaystyle {\begin{aligned}E_{y}&=E_{0}\cos \omega \xi _{1},&A_{y}&=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},\end{aligned}}} x = const 、 y = y 0 コス ω ξ 1 、 y 0 = − e c E 0 γ ω 2 、 z = C z y 0 罪 2 ω ξ 1 、 C z = e E 0 8 γ ω 、 γ 2 = m 2 c 2 + e 2 E 0 2 2 ω 2 、 {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\text{const}},\\[1ex]y&=y_{0}\cos \omega \xi _{1},&y_{0}&=-{\frac {ecE_{0}}{\gamma \omega ^{2}}},\\[1ex]z&=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},&C_{z}&={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }},\\[1ex]\gamma ^{2}&=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}E_{0}^{2}}{2\omega ^{2}}},\end{aligned}}} p x = 0 、 p y = p y 、 0 罪 ω ξ 1 、 p y 、 0 = e E 0 ω 、 p z = − 2 C z p y 、 0 コス 2 ω ξ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=0,\\[1ex]p_{y}&=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},&p_{y,0}&={\frac {eE_{0}}{\omega }},\\[1ex]p_{z}&=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1}\end{aligned}}}
これは、粒子が電場に沿って軸を向けた8の字軌道を描くことを意味する。E {\displaystyle E}
ソレノイド磁場を持つ電磁波 軸方向（ソレノイド）磁場を持つ電磁波の場合：[ 16 ] E = E ϕ = ω ρ 0 c B 0 コス ω ξ 1 、 {\displaystyle E=E_{\phi }={\frac {\omega \rho _{0}}{c}}B_{0}\cos \omega \xi _{1},} A ϕ = − ρ 0 B 0 罪 ω ξ 1 = − L s π ρ 0 N s 私 0 罪 ω ξ 1 、 {\displaystyle A_{\phi }=-\rho _{0}B_{0}\sin \omega \xi _{1}=-{\frac {L_{s}}{\pi \rho _{0}N_{s}}}I_{0}\sin \omega \xi _{1},} x = 絶え間ない 、 y = y 0 コス ω ξ 1 、 y 0 = − e ρ 0 B 0 γ ω 、 z = C z y 0 罪 2 ω ξ 1 、 C z = e ρ 0 B 0 8 c γ 、 γ 2 = m 2 c 2 + e 2 ρ 0 2 B 0 2 2 c 2 、 {\displaystyle {\begin{aligned}x&={\text{constant}},\\y&=y_{0}\cos \omega \xi _{1},&y_{0}&=-{\frac {e\rho _{0}B_{0}}{\gamma \omega }},\\z&=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},&C_{z}&={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{8c\gamma }},\\\gamma ^{2}&=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}\rho _{0}^{2}B_{0}^{2}}{2c^{2}}},\end{aligned}}} p x = 0 、 p y = p y 、 0 罪 ω ξ 1 、 p y 、 0 = e ρ 0 B 0 c 、 p z = − 2 C z p y 、 0 コス 2 ω ξ 1 、 {\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=0,\\p_{y}&=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},&p_{y,0}&={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{c}},\\p_{z}&=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1},\end{aligned}}} B 0 {\displaystyle B_{0}} ρ 0 {\displaystyle \rho _{0}} L s {\displaystyle L_{s}} N s {\displaystyle N_{s}} 私 0 {\displaystyle I_{0}} y z {\displaystyle yz} φ {\displaystyle \varphi }
参考文献 ↑ ゴールドスタイン、ハーバート (1980).古典力学 版). レディング、マサチューセッツ州: アディソン・ウェスリー. pp. 484–492 . ISBN 978-0-201-02918-5 。↑ 櫻井、JJ (1994). 現代量子力学 （改訂 版）. レディング、マサチューセッツ州：アディソン・ウェスリー. pp. 103–107 . ISBN 0-201-53929-2 。↑ カルマン、ルドルフ E. (1963). 「最適制御理論と変分法」。ベルマン、リチャード (編)『数学的最適化手法』所収 。 バークレー ： カリフォルニア大学出版局。pp. 309–331。OCLC 1033974 。 ↑ Hand, LN; Finch, JD (2008). 解析力学 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0 。1 2 3 ゴールドスタイン、ハーバート;プール、チャールズ P.ジョン L. サフコ (2008)。 古典力学 (3、[Nachdr.] 編)。サンフランシスコ・ミュンヘン：アディソン・ウェスリー。 ISBN 978-0-201-65702-9 。↑ クーパーズミス、ジェニファー (2017). 『怠惰な宇宙：最小作用の原理入門 』 オックスフォード、英国／ニューヨーク、ニューヨーク州：オックスフォード大学出版局 。ISBN 978-0-19-874304-0 。↑ Hand, LN; Finch, JD (2008). 解析力学 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-57572-0 。↑ ゴールドスタイン、ハーバート （1980）。 古典力学 （第2 版）。マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー。440 ページ 。ISBN 978-0-201-02918-5 。↑ Hanc, Jozef; Taylor, Edwin F.; Tuleja, Slavomir (2005-07-01). "1次元および2次元における変分力学" . American Journal of Physics . 73 (7): 603– 610. Bibcode : 2005AmJPh..73..603H . doi : 10.1119/1.1848516 . ISSN 0002-9505 . 1 2 ランダウ、レフ・ダビドヴィッチ;リフシッチ、エフゲニジ・M.ランダウ、レフ・ダビドヴィッチ;ランダウ、レフ・ダビドヴィッチ (2011)。 力学 。理論物理学のコース / LD Landau および EM Lifshitz (第 3 版、再版 )。アムステルダム・ハイデルベルク：エルゼビア、バターワース・ハイネマン。 ISBN 978-0-7506-2896-9 。↑ Houchmandzadeh, Bahram (2020). "ハミルトン・ヤコビ方程式：代替アプローチ" . American Journal of Physics . 85 (5) 10.1119/10.0000781. arXiv : 1910.09414 . Bibcode : 2020AmJPh..88..353H . doi : 10.1119/10.0000781 . S2CID 204800598 . ↑ ゴールドスタイン、ハーバート （1980）。 古典力学 （第2 版）。マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー。490 ～ 491頁 。ISBN 978-0-201-02918-5 。↑ Türe, Mustafa; Ünsal, Mithat (2025年5月12日). "量子ハミルトン・ヤコビ理論、スペクトル経路積分、および厳密なWKB解析" . Physical Review D . 111 (10) 105010. American Physical Society. doi : 10.1103/PhysRevD.111.105010 . ↑ ウィーラー、ジョン；ミスナー、チャールズ；ソーン、キップ（1973）。 重力 。WHフリーマン社。649、1188 ページ 。ISBN 978-0-7167-0344-0 。↑ Landau, L. ; Lifshitz, E. (1959). The Classical Theory of Fields . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. OCLC 17966515 . ↑ EV Shun'ko; DE Stevenson; VS Belkin (2014). "プラズマ電子エネルギーを約6～100 eVの範囲で制御可能な誘導結合プラズマリアクター". IEEE Transactions on Plasma Science . 42, part II (3): 774–785 . Bibcode : 2014ITPS...42..774S . doi : 10.1109/TPS.2014.2299954 . S2CID 34765246 .
さらに読む アーノルド、VI （1989）。古典力学の数学的方法 （第2 版）。ニューヨーク：シュプリンガー。ISBN 0-387-96890-3 。ハミルトン、W. (1833). 「特性関数の係数によって光と惑星の経路を表す一般的な方法について」(PDF) .ダブリン大学レビュー : 795–826 . ハミルトン、W. (1834). 「光学に以前適用された一般的な数学的方法の力学への応用について」(PDF) .英国科学振興協会レポート : 513–518 . フェッター、A. & ワレッカ、J. (2003).粒子と連続体の理論力学 . ドーバーブックス. ISBN 978-0-486-43261-8 。 Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975).力学 . アムステルダム: Elsevier.櫻井、JJ（1985）。現代量子力学 。ISBN 978-0-8053-7501-5 。 Jacobi、CGJ (1884)、Vorlesungen über Dynamik 、CGJ Jacobi's Gesammelte Werke (ドイツ語)、ベルリン: G. Reimer、OL 14009561M 中根美千代フレイザー、クレイグ G. (2002)。 「ハミルトン・ヤコビ・ダイナミクスの初期の歴史」。ケンタウルス座 。44 ( 3–4 ): 161–227 .土井 : 10.1111/j.1600-0498.2002.tb00613.x。PMID 17357243。 
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\gamma ,t_{1},t_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71dd163b6cf419cb2a0006678e33463bfa99cf45)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t_{1},t_{0}]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)\delta \xi \,dt+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,\delta \xi {\Biggl |}_{t_{0}}^{t_{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7e3bf779dcb67c46d08337ea0a70756827e3dc)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right|_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}\,\delta \xi (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15fa9e99e9d0e16d103ee996d23aedf24f9bad9)
![\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \gamma }[\gamma ,t]{\overset {\text{def}}{{}={}}}\left.{\frac {d{\mathcal {S}}[\gamma _{\varepsilon },t]}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\left.{\frac {dS(\gamma _{\varepsilon }(t),t)}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}={\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\,\delta \gamma (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7bbff3f143ff3ef6a7932407dfff82981c74d9)
![{\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e187cb52c9ce0f9adb8ae57a890a93506dbafd)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}(\xi (t),{\dot {\xi }}(t),t)={\frac {dS(\xi (t),t)}{dt}}=\left[{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\mathbf {\dot {q}} +{\frac {\partial S}{\partial t}}\right]_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5493f04e04c781f778267c4ae7d4f01358164aac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\\[1ex]\rightarrow {}&H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\\[1ex]\rightarrow {}&H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}+{\partial S \over \partial t}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8662c600bf3d7114d94fee5d19c8ff8efb4191bd)
![{\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d84f2cba2231029bc99e6c3bcaeb5de497e9874)
![{\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}=E.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2932dab4e74efcd454e6c253adb5fc171a77ffaa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi ,&y&=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi ,\\[1ex]z&=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}}\int \left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right)\,d\xi ,&\xi &=ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}}\int \left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right)\,d\xi ,\\[1ex]p_{x}&=-{\frac {e}{c}}A_{x},&p_{y}&=-{\frac {e}{c}}A_{y},\\[1ex]p_{z}&={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}\left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right),&{\mathcal {E}}&=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}}\left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e118b1ac999d02a28ae31cebd244003471d3ffda)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=E_{0}\sin \omega \xi _{1},&E_{y}&=E_{0}\cos \omega \xi _{1},\\[1ex]A_{x}&={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},&A_{y}&=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc6b93883d9e825fdb7fb5b41ac432baa965ad5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},&y&=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},\\[1ex]p_{x}&=-{\frac {eE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},&p_{y}&={\frac {eE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9aad1fc33fe70a3aea3e6ba51e8c4109812d005)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\text{const}},\\[1ex]y&=y_{0}\cos \omega \xi _{1},&y_{0}&=-{\frac {ecE_{0}}{\gamma \omega ^{2}}},\\[1ex]z&=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},&C_{z}&={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }},\\[1ex]\gamma ^{2}&=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}E_{0}^{2}}{2\omega ^{2}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad23d3f5f3fbc98c94c7e8267b1e2301819141e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=0,\\[1ex]p_{y}&=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},&p_{y,0}&={\frac {eE_{0}}{\omega }},\\[1ex]p_{z}&=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\オメガ \xi _{1}\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f193b904920292f9d90eca68eb256776428f5558)
