三体問題

物理学、特に古典力学において、三体問題とは、空間内で互いに周回する3つの質点の初期位置と速度（または運動量）を取得し、ニュートンの運動の法則とニュートンの万有引力の法則を使用してその後の軌道を計算することである。^[1]

二体問題とは異なり、三体問題には一般的な閉形式の解が存在せず、常にそれを解く方程式は存在しない。^[1] 3つの物体が互いの周りを回る場合、結果として生じる力学系は、ほとんどの初期条件に対してカオス的になる。ほとんどの三体系には解ける方程式が存在しないため、物体の運動を予測する唯一の方法は、数値的方法を使用して運動を推定することである。

三体問題はn体問題の特殊なケースです。歴史的に、最初に詳しく研究された三体問題は、地球、月、太陽に関する問題でした。^[2]現代的な意味での三体問題とは、 3つの粒子の運動をモデル化する 古典力学または量子力学の問題です。

三体問題の数学的表現は、重力で相互作用する質量を持つ3つの物体のベクトル位置に対するニュートンの運動方程式で表すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})}$${\displaystyle m_{i}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}}$$ここで は重力定数である。天文学者のユハン・フランクは「これら3つの2階ベクトル微分方程式は18の1階スカラー微分方程式と同等である」と述べている。^{[3] [より良い情報源が必要]}ジューン・バロー・グリーンは別の表現に関して次のように述べている。${\displaystyle G}$

${\displaystyle P_{i}}$慣性座標系における質量、距離= 、座標(i,j = 1,2,3)を持つ 3 つの粒子を表します。この問題は 9 つの 2 次微分方程式で記述されます。 ^{[4] : 8}${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle P_{j}}$${\displaystyle r_{ij}}$${\displaystyle q_{ij}}$

この問題はハミルトン形式でも同等に表現することができ、その場合、位置と運動量の各成分ごとに1つずつ、合計18個の1階微分方程式で記述される。^{[要出典] [5]}${\displaystyle \mathbf {r_{i}} }$${\displaystyle \mathbf {p_{i}} }$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}$$

ハミルトニアンはどこにありますか: ^{[引用が必要]}${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}$$

この場合、は単に重力エネルギーと運動エネルギーを合わせたシステムの総エネルギーです。^{[引用が必要]}${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

制限された三体問題の定式化 では、バロー・グリーン^[4]の記述において^、11–14

2 つの物体は、相互の重力の影響を受けて、質量の中心の周りを円軌道で回転し、2 体系を形成します。[その] 運動は既知です。3 番目の物体 (一般に小惑星と呼ばれる) は、他の 2 つの物体に対して質量がないと想定され、2 つの回転物体によって定義される平面内を動き、それらの重力の影響を受けますが、それ自体は影響を与えません。^{[4] : 11}

バロー・グリーンによれば、「問題は第三の物体の運動を確かめることである」^{[4] ：11}

つまり、この 2 体運動は質量中心の周りの円軌道から成り、小惑星は円軌道によって定義される平面内を移動すると仮定されます。^{[明確化が必要]} (つまり、有効ポテンシャルを考慮すると便利です。^{[明確化が必要] [誰によると? ] )}回転基準フレームに関しては、2 つの共軌道物体は静止しており、3 つ目の物体はラグランジュ点で静止しているか、たとえば馬蹄形軌道上でそれらの周りを移動することができます。^{[出典が必要]}

制限三体問題は、完全な問題よりも理論的に分析しやすい。また、地球・月・太陽系など、現実世界の多くの問題を正確に記述するため、実用的にも興味深い。これらの理由から、制限三体問題は三体問題の歴史的発展において重要な役割を果たしてきた。^[6]

数学的には、この問題は次のように表現されます。^{[要出典] を}2 つの巨大な物体の質量とし、(平面) 座標を および とし、小惑星の座標を とします。簡単にするために、2 つの巨大な物体間の距離と重力定数が両方とも に等しくなるように単位を選択します。すると、小惑星の運動は次のように表されます。^[要出典]${\displaystyle m_{1,2}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle 1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}}$$

ここで。^[要出典]この形式では、運動方程式は座標を通じて明示的な時間依存性を持ちます。^[要出典]ただし、この時間依存性は回転参照フレームへの変換によって除去することができ、これにより後続の解析が簡素化されます。^{[独自の研究? ] [7]}${\displaystyle r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}$${\displaystyle x_{i}(t),y_{i}(t)}$

三体問題には一般的な閉形式の解は存在しない。 ^[1]言い換えれば、有限個の標準的な数学的演算で表現できる一般解は存在しない。さらに、三体運動は、特殊な場合を除いて、一般的には非反復的である。^[8]

しかし、1912年にフィンランドの 数学者 カール・フリティオフ・スンドマンは、三体問題に対する解析解がピュイズー級数、具体的にはt ^1/3のべき乗によるべき級数の形で存在することを証明した。^{[9]この級数は、}角運動量ゼロに対応する初期条件を除いて、すべての実数tに対して収束する。実際には、角運動量ゼロの初期条件はまれであり、ルベーグ測度がゼロであるため、後者の制限は重要ではない。

この結果を証明する上で重要な問題は、この級数の収束半径が最も近い特異点までの距離によって決まるという事実です。したがって、三体問題の可能な特異点を研究する必要があります。以下で簡単に説明するように、三体問題における唯一の特異点は、二体衝突 (瞬間に 2 つの粒子が衝突する) と三体衝突 (瞬間に 3 つの粒子が衝突する) です。

衝突は、測定ゼロの初期条件のセットに対応することが示されているため、いかなる数の衝突も起こりにくい。しかし、対応するソリューションの衝突を回避するために初期状態に適用する基準は知られていない。そこで、Sundman の戦略は次の手順で構成されていた。

1. 適切な変数の変更を使用して、バイナリ衝突を超えてソリューションの分析を継続します。これは、正規化と呼ばれるプロセスです。
2. 三体衝突は角運動量L がゼロになったときにのみ発生することを証明しました。初期データをL ≠ 0に制限することで、三体問題の変換された方程式からすべての実数特異点を除去しました。
3. L ≠ 0の場合、三体衝突は発生しないだけでなく、システムは三体衝突から厳密に制限されていることを示しています。これは、微分方程式のコーシーの存在定理により、実軸を中心とする複素平面上のストリップ（ Lの値に依存）に複素特異点が存在しないことを意味します（コーシー-コバレフスカヤの定理に関連）。
4. このストリップを単位円に写像する共形変換を求めよ。例えば、s = t ^1/3（正規化後の新しい変数）かつ| ln s | ≤ βの場合、^{[説明が必要]}、この写像は次のように与えられる。$${\displaystyle \sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.}$$

これでSundmanの定理の証明は終了です。

対応する級数は極めてゆっくりと収束する。つまり、意味のある精度の値を得るには多くの項が必要となるため、この解法はほとんど実用的ではない。実際、1930年にデイヴィッド・ベロリスキーは、サンドマン級数を天文観測に使用した場合、計算には少なくとも10倍の計算時間が必要であると計算した。^800万語[10 ]

1767 年、レオンハルト オイラーは、 3 つの質量が各瞬間に同一直線上にある 3 つの周期解の族を発見しました。

1772 年、ラグランジュは3 つの質量が各瞬間に正三角形を形成する解の族を発見しました。これらの解はオイラーの共線解とともに三体問題の中心構成を形成します。これらの解は任意の質量比に対して有効であり、質量はケプラーの楕円上を動きます。これら 4 つの族は、明示的な解析式が存在する唯一の既知の解です。円形に制限された三体問題の特殊なケースでは、これらの解は、原色とともに回転するフレームで見ると、ラグランジュ点と呼ばれる点になり、 L ₁、 L ₂、 L ₃、 L ₄ 、およびL ₅とラベル付けされます。 L ₄と L ₅は、ラグランジュの解の対称的な例です。

1892年から1899年にかけてまとめられた研究で、アンリ・ポアンカレは、制限三体問題に対する周期解が無限に存在すること、およびこれらの解を一般の三体問題に継続させる手法を確立しました。

1893年、マイセルは現在ピタゴラスの三体問題と呼ばれる問題を提起した。これは、3:4:5の比の3つの質量が3 :4:5の直角三角形の頂点に静止しており、最も重い物体が直角にあり、最も軽い物体が小さい鋭角にあるというものである。ブラー^[11]は1913年にこの問題をさらに調査した。1967年、ヴィクター・シェベヘリーとC・フレデリック・ピーターズは、数値積分を用いてこの問題の最軽量物体の最終的な脱出を確立し、同時に近傍周期解を見つけた。^[12]

1970年代に、ミシェル・エノンとロジャー・A・ブルーケはそれぞれ、同じ解のファミリーの一部を形成する一連の解を発見した。それはブルーケ・エノン・ハジデメトリウ・ファミリーである。このファミリーでは、3つの物体はすべて同じ質量を持ち、逆行形と順行形の両方を示すことができる。ブルーケの解のいくつかでは、2つの物体が同じ経路をたどる。^[14]

1993年、サンタフェ研究所の物理学者クリス・ムーアは、 3つの等しい質量が8の字の周りを回るゼロ角運動量解を発見した。^[15] 2000年、数学者のアラン・シェンシネとリチャード・モンゴメリーは、その正式な存在を証明した。^{[16] [17]}この解は、質量と軌道パラメータの小さな摂動に対して数値的に安定していることが示されており、これにより、そのような軌道が物理的宇宙で観測される可能性がある。しかし、安定領域が小さいため、これはありそうにないという議論もある。たとえば、8の字軌道をもたらすバイナリ-バイナリ散乱イベント^{[説明が必要]}の確率は、1パーセントのわずかな割合であると推定されている。^[18]

2013年、ベオグラード物理学研究所の物理学者ミロヴァン・シュヴァコフとヴェリコ・ドミトラシノビッチは、等質量ゼロ角運動量の三体問題に対する13の新しい解族を発見した。^{[8] [14]}

2015年、物理学者アナ・フドマルは、等質量ゼロ角運動量の三体問題に対する14の新しい解の族を発見した。^[19]

2017年、研究者の李暁明と廖士俊は、質量が等しく角運動量がゼロの三体問題の669個の新しい周期軌道を発見した。^[20]これに続いて2018年には、質量が等しくない角運動量がゼロの系に対する1,223個の新しい解がさらに発見された。^[21]

2018年、リーとリャオは、質量が等しくない「自由落下」三体問題に対する234の解を報告した。^[22]自由落下の定式化は、3つの物体すべてが静止している状態から始まります。このため、自由落下構成の質量は閉じた「ループ」で周回するのではなく、開いた「トラック」に沿って前後に移動します。

2023年、イヴァン・フリストフ、ラドスラヴァ・フリストヴァ、ドミトラシノビッチ、谷川清隆は、等質量の場合に限定した「周期的自由落下軌道」の三体問題の探索を発表し、12,409の異なる解を発見した。^[23]

コンピュータを使用すると、数値積分を使用して任意の高精度で問題を解くことができますが、高精度には大量のCPU時間が必要です。電磁気相互作用と重力相互作用の両方を含む3体問題（および拡張によりn体問題）を数値的に解き、特殊相対性理論などの現代の物理学の理論を組み込むコンピュータプログラムを作成する試みがありました。^[24]さらに、ランダムウォークの理論を使用して、さまざまな結果のおおよその確率を計算することができます。^{[25] [26]}

伝統的な意味での三体重力問題は、実質的には1687年にアイザック・ニュートンが『自然哲学の数学的原理』を出版したときに遡る。この著書でニュートンは、特に地球、月、太陽のようなシステムでは長期的な安定性が可能かどうかを解明しようとした。ルネッサンス期の主要な天文学者であるニコラウス・コペルニクス、ティコ・ブラーエ、ヨハネス・ケプラーの導きにより、ニュートンは後の世代に三体重力問題の始まりを紹介した。^{[27]ニュートンは『}プリンキピア』第1巻の命題66とその22の系において、相互に摂動を与える重力の影響を受ける3つの巨大な物体の運動の問題の定義と研究の第一歩を踏み出した。ニュートンは第3巻の命題25から35で、命題66の結果を月の理論、つまり地球と太陽の重力の影響下での月の運動に適用する最初の一歩を踏み出しました。^[28]その後、この問題は他の惑星と地球および太陽の相互作用にも適用されました。^[27]

この物理的な問題は、最初にアメリゴ・ヴェスプッチによって取り組まれ、続いてガリレオ・ガリレイやシモン・ステヴィンによって取り上げられたが、彼らは自分たちが何に貢献したか理解していなかった。ガリレオはすべての物体の落下速度が均一に同じように変化することを決定したが、それを惑星の運動には適用しなかった。^[27]一方、1499年にヴェスプッチは月の位置に関する知識を使用してブラジルでの位置を決定した。 ^{[29]これは1720年代に技術的に重要になり、正確な解決策は航海、特に}海上での経度の決定に応用でき、実際にはジョン・ハリソンのマリンクロノメーターの発明によって解決された。しかし、太陽と惑星が地球の周りの月の動きに摂動を与えるため、月の理論の精度は低かった。

ジャン・ル・ロン・ダランベールとアレクシ・クレローは長年ライバル関係にあり、両者ともある程度の一般性をもってこの問題を解析しようと試み、1747年に王立科学アカデミーに最初の解析結果を提出した。^[30] 1740年代のパリでの彼らの研究に関連して、「三体問題」（フランス語：Problème des trois Corps）という名前が一般的に使われるようになった。1761年にジャン・ル・ロン・ダランベールが出版した論文によると、この名前が初めて使われたのは1747年である。^[31]

19世紀末から20世紀初頭にかけて、短距離二体引力を利用して三体問題を解く方法が科学者によって開発され、PFベダック、H.-W.ハマー、U.ファン・コルクに短距離三体問題を再正規化するアイデアがもたらされ、21世紀初頭に科学者に再正規化群の リミットサイクルの珍しい例がもたらされた。 ^[32] ジョージ・ウィリアム・ヒルは19世紀後半に金星と水星の運動を応用して制限された問題に取り組んだ。^[33]

20世紀初頭、 カール・スンドマンは、あらゆる時間の値に対して有効な問題に対する機能的理論的証明を提供することで、数学的かつ体系的に問題に取り組みました。これは、科学者が三体問題を理論的に解決した初めてのことでした。しかし、このシステムには定性的な解決策がなく、科学者が実際に適用するには時間がかかりすぎたため、この解決策ではいくつかの問題が未解決のままでした。^{[34] 1970年代には、2体の力から3体の力への含意が}V.エフィモフによって発見され、エフィモフ効果と名付けられました。^[35]

2017年、 Shijun LiaoとXiaoming Liは、国立スーパーコンピュータを使用して、クリーン数値シミュレーション（CNS）と呼ばれるカオスシステムの数値シミュレーションの新しい戦略を適用し、等質量の3体系の周期解の695族を取得することに成功しました。^[36]

2019年に、ブリーンらは数値積分器を使用して訓練された三体問題のための高速ニューラルネットワークソルバーを発表しました。 ^[37]

2023年9月現在、この問題に対するいくつかの解決策が見つかったとの報告がある。^{[38] [39]}

「三体問題」という用語は、3 つの物体の相互作用を伴うあらゆる物理的問題を指すために、より一般的な意味で使用されることがあります。

古典力学における重力三体問題の量子力学的類似物はヘリウム原子であり、ヘリウム原子核と2つの電子が逆二乗 クーロン相互作用に従って相互作用する。重力三体問題と同様に、ヘリウム原子は正確に解くことができない。^[40]

しかし、古典力学と量子力学の両方において、逆二乗力以外にも、正確な解析的三体解を導く非自明な相互作用法則が存在する。そのようなモデルの 1 つは、調和引力と反発する逆三乗力の組み合わせで構成される。^[41]このモデルは、特異点を含む非線形微分方程式のセットに関連付けられているため、非自明であると見なされている (たとえば、調和相互作用のみでは簡単に解ける線形微分方程式のシステムになる)。この 2 つの点で、このモデルはクーロン相互作用を持つ (解けない) モデルに類似しており、その結果、ヘリウム原子などの物理システムを直感的に理解するためのツールとして提案されている。^{[41] [42]}

点渦モデルでは、 2次元の理想流体における渦の運動は、1次の時間微分のみを含む運動方程式によって記述される。すなわち、ニュートン力学とは対照的に、相対的な位置によって決定されるのは速度であり、加速度ではない。結果として、3渦問題は依然として積分可能であるが^[43]、混沌とした挙動を得るには少なくとも4つの渦が必要である。^[44] 3つの渦の速度場における受動トレーサー粒子の運動とニュートン力学の制限された3体問題との間には類似点を見出すことができる。^[45]

重力三体問題も一般相対性理論を用いて研究されてきた。物理的には、ブラックホールの事象の地平線付近など、非常に強い重力場を持つシステムでは相対論的扱いが必要となる。しかし、相対論的問題はニュートン力学よりもかなり難しく、高度な数値技術が必要となる。完全な二体問題（つまり、任意の質量比）でさえ、一般相対性理論では厳密な解析解は存在しない。^[46]

三体問題はn体問題の特殊なケースであり、重力などの物理的な力の 1 つを受けてn 個の物体がどのように動くかを記述する。これらの問題には、 n = 3の場合はKarl F. Sundmanによって、 n > 3の場合はQiudong Wangによって証明されたように、収束するべき級数の形で大域的な解析解が存在する(詳細についてはn体問題を参照)。しかし、Sundman 級数と Wang 級数は収束が非常に遅いため、実用的ではない。^{[47]そのため、現在は}数値積分という形で数値解析によって解を近似するか、場合によっては古典的な三角級数近似を行う必要がある ( n体シミュレーションを参照)。原子系、例えば原子、イオン、分子は、量子n体問題として扱うことができる。古典的な物理系の中で、n体問題は通常、銀河または銀河団を指す。恒星、惑星、およびそれらの衛星などの惑星系も、 n体系として扱うことができます。一部の応用では、摂動論によって便利に扱われます。摂動論では、システムは 2 体系問題と、仮想的な摂動を受けない 2 体系の軌道からの逸脱を引き起こす追加の力として考えられます。

• チェンシナー、アラン(2007)。「三体問題」。Scholarpedia。2 ( 10 ) : 2111。Bibcode : 2007SchpJ...2.2111C。doi : 10.4249/scholarpedia.2111。
• 「3体問題」は結局それほど混沌としていないかもしれない、と新たな研究が示唆している（Live Science、 2024年10月22日）
• 物理学者が三体問題に対するなんと 13 の新しい解を発見 (サイエンス、 2013 年 3 月 8 日)