一般化された力

解析力学（特にラグランジュ力学）では、一般化力は一般化座標と共役です。これらは、一般化座標で定義された構成を持つシステムに作用する適用力 F _i、i = 1、…、nから得られます。仮想仕事の定式化では、各一般化力は一般化座標の変化の係数です。

一般化された力は、加えられた力の仮想仕事δWを計算することで得られる。 ^{[1] ：265}

粒子P _i（i = 1, ..., n ）に作用する力F _iの仮想仕事は次のように表されます。 ここで、δ r _{i は}粒子P _iの仮想変位です。 $${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}}$$

各粒子の位置ベクトルr _iを一般化座標q _j、j = 1、...、mの関数とします。すると、仮想変位δ r _{i は}次のように表されます 。 ここで、δq _jは一般化座標q _jの仮想変位です。 $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n,}$$

粒子系の仮想仕事は δq _j の係数を次のように 集める。$${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{1}}{\partial q_ {j}}}\delta q_{j}+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{n}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}.}$$$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{1}}}\delta q_{1}+\dots +\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{m}}}\delta q_{m}.}$$

粒子系の仮想仕事は、 一般化座標q _j、j = 1、...、mに関連付けられた一般化力と呼ばれる 形式 で表すことができます。 $${\displaystyle \delta W=Q_{1}\delta q_{1}+\dots +Q_{m}\delta q_{m},}$$$${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,}$$

仮想仕事の原理を応用する場合、システムの速度から仮想変位を得るのが便利な場合が多い。n粒子システムの場合、各粒子P _{iの速度を}V _iとすると、仮想変位δ r _{i は}次のようにも書ける^[2]。 $${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j},\quad i=1,\ldots ,n.}$$

これは、一般化された力Q _jも次のように決定できること を意味する。$${\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ダランベールは、粒子の力学を、作用した力と慣性力（見かけの力）の平衡として定式化しました。これをダランベールの原理と呼びます。質量m _iの粒子の慣性力P _iは、 粒子の加速度 A _iです。$${\displaystyle \mathbf {F} _{i}^{*}=-m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad i=1,\ldots ,n,}$$

粒子系の構成が一般化座標q _j , j = 1, ..., mに依存する場合、一般化慣性力は次のように表される。 $${\displaystyle Q_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}^{*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

ダランベールの仮想仕事の原理の形式は、 $${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}.}$$

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