ヤコブ・ベルヌーイ

ヤコブ・ベルヌーイ
生まれる	( 1655-01-06 )1655年1月6日 バーゼル、スイス
死亡	1705年8月16日（1705-08-16）（50歳） バーゼル、スイス
教育	バーゼル大学 (1676 年神学博士号、1684 年哲学博士号)
知られている	ベルヌーイ微分方程式、 ベルヌーイ数、 ベルヌーイの公式、 ベルヌーイ多項式、ベルヌーイ 写像、ベルヌーイ 試行、ベルヌーイ過程、ベルヌーイ方式、ベルヌーイ演算子、隠れベルヌーイモデル、ベルヌーイサンプリング、ベルヌーイ分布、ベルヌーイ乱数変数、ベルヌーイの黄金定理、ベルヌーイの不等式、ベルヌーイのレムニスケート
科学者としてのキャリア
フィールド	数学、力学
機関	バーゼル大学
論文	『プリミとセクンディ・アダミ』のコレクション (1676) Solutionem tergemini issueatis arithmetici, geometryi et astronomici... (算術、幾何学、天文学における三重問題の解決策...)  (1684)
博士課程の指導教員	ペーター・ヴェレンフェルス （1676年論文指導教官）
その他の学術アドバイザー	ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ（書簡通信員）
博士課程の学生	ヤコブ・ヘルマン・ ニコラウス1世ベルヌーイ
その他の著名な学生	ヨハン・ベルヌーイ
注記
ヨハン・ベルヌーイの兄弟

ヤコブ・ベルヌーイ^（英語ではジェームズ、フランス語ではジャックとも呼ばれる。 1655年1月6日[旧暦1654年12月27日] - 1705年8月16日）は、スイスのベルヌーイ家の多くの著名な数学者の一人である。ライプニッツ・ニュートン微積分論争ではゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツの側に立ち、ライプニッツ微積分の初期の提唱者で、この分野に多大な貢献をした。兄のヨハンとともに変分法の創始者の一人でもある。また、基本的な数学定数eを発見した。しかし、彼の最も重要な貢献は確率の分野であり、その分野で彼は著書『予想の技術』で大数の法則の最初のバージョンを導き出した。^[3]

ヤコブ・ベルヌーイは、旧スイス連邦のバーゼルで生まれた。父の希望に従って神学を学び、牧師になった。しかし、両親の希望に反して^{[4] 、}数学と天文学も学んだ。1676年から1682年にかけてヨーロッパ中を旅し、当時の指導的人物から数学と科学の最新の発見について学んだ。その中にはヨハネス・フッデ、ロバート・ボイル、ロバート・フックの研究も含まれていた。この間、彼は彗星に関する誤った理論も発表した。

ベルヌーイはスイスに戻り、 1683年からバーゼル大学で力学を教え始めた。博士論文「双対問題の解決」は1684年に提出された。^[5] 1687年に印刷された。^[6]

1684年、ベルヌーイはジュディス・ステュパヌスと結婚し、2人の子供をもうけた。この10年間、彼は研究活動も活発に始めた。旅を通じて、同時代の多くの一流数学者や科学者と文通し、生涯にわたってそれを続けた。この間、彼はクリスティアーン・ホイヘンスの『論理的思考について』、デカルトの『幾何学』、フランス・ファン・スホーテンによるその補遺など、数学における新たな発見を研究した。また、アイザック・バローやジョン・ウォリスについても研究し、微小幾何学への関心を抱くようになった。これらとは別に、1684年から1689年の間には、 『予想の技術』を構成する結果の多くが発見された。

1687年に彼はバーゼル大学の数学教授に任命され、その後終身その職に就いたと人々は信じています。その頃までに、彼は数学の話題について兄のヨハン・ベルヌーイの家庭教師を始めていました。2人の兄弟は、1684年にActa Eruditorumに掲載された「 Nova Methodus pro Maximis et Minimis」という微分積分に関する論文でライプニッツが提示した微積分を学び始めました。彼らはまた、フォン・チルンハウスの出版物も研究しました。ライプニッツの微積分に関する出版物は当時の数学者には非常に難解であり、ベルヌーイ兄弟はライプニッツの理論を理解して応用しようとした最初の人々の1人であったことを理解する必要があります。

ヤコブは兄と微積分のさまざまな応用について協力した。しかし、ヨハン自身の数学的才能が成熟し始めると、兄弟間の協力関係はライバル関係に変わり、両者は印刷物で互いを攻撃し合い、互いのスキルを試すために難しい数学的課題を課した。^[7] 1697年までに、関係は完全に崩壊した。

月のクレーター「ベルヌーイ」も、彼の兄弟ヨハンと共同で彼にちなんで名付けられました。

ヤコブ・ベルヌーイの最初の重要な貢献は、1685 年に出版された論理と代数の類似点に関するパンフレット、1685 年の確率に関する研究、および 1687 年の幾何学でした。彼の幾何学の結果は、任意の三角形を 2 本の垂直線で 4 つの等しい部分に分割する構造を与えました。

1689年までに、彼は無限級数に関する重要な研究を発表し、確率論における大数の法則も発表した。ヤコブ・ベルヌーイは1682年から1704年の間に無限級数に関する5つの論文を発表した。最初の2つには、発散するという基本結果など多くの結果が含まれていた。ベルヌーイはこれが新しいものだと考えていたが、実際には40年前にピエトロ・メンゴリによって証明されており、14世紀にはすでにニコラ・オレームによって証明されていた。^[8]ベルヌーイは の閉じた形を見つけることができなかったが、2未満の有限極限に収束することを示した。 1737年にこの級数の極限を見つけたのはオイラーが初めてだった。ベルヌーイは複利の調査から生まれた指数級数も研究した。 ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}}$${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{2}}}}$

1690 年 5 月、ヤコブ・ベルヌーイはActa Eruditorumに発表した論文で、等時線を決定する問題は1 次非線形微分方程式を解くことと同等であることを示した。等時線、つまり定降下曲線とは、出発点がどこであっても、重力によって粒子がどの点からでもまったく同じ時間で底まで降下する曲線である。これは 1687 年にホイヘンス、1689 年にライプニッツによって研究されていた。微分方程式を見つけた後、ベルヌーイはそれを現在では変数分離と呼ばれる方法で解いた。1690 年のヤコブ・ベルヌーイの論文は、積分という用語が積分の意味を持って初めて登場したため、微積分学の歴史にとって重要である。1696 年、ベルヌーイは現在ベルヌーイ微分方程式と呼ばれる方程式を解いた。

${\displaystyle y'=p(x)y+q(x)y^{n}.}$

ヤコブ・ベルヌーイは、曲線の縮閉線をその曲率円の包絡線として決定する一般的な方法も発見しました。彼はまた、コースティック曲線を調査し、特に放物線、対数螺旋、外サイクロイドなどの関連する曲線を1692 年頃に研究しました。ベルヌーイのレムニスケートは、1694 年にヤコブ・ベルヌーイによって初めて考案されました。1695 年に彼は、ケーブルに沿って滑る重りが常に跳ね橋のバランスを保つために必要な曲線を求める跳ね橋の問題を調査しました。

ベルヌーイの最も独創的な著作は、彼の死後8年経った1713年にバーゼルで出版された『予想の技術』である。彼の死の時点では未完​​成であったが、確率論において今でも最も重要な著作である。この本では、組合せ論、特にファン・スホーテン、ライプニッツ、プレステットの著作のレビューや、指数級数の議論におけるベルヌーイ数の使用など、関連する他の主題も取り上げている。ホイヘンスの仕事に触発されて、ベルヌーイはさまざまなギャンブルでどれくらいの勝ちが期待できるかについて多くの例を挙げている。ベルヌーイ試行という用語は、この著作から生まれたものである。

本の最後の部分で、ベルヌーイは、測定可能な確実性としての確率、必然性と偶然性、道徳的期待値と数学的期待値、事前確率と事後確率、プレイヤーが器用さに応じて分けられた場合の勝利の期待値、利用可能なすべての議論、その価値、および計算可能な評価の考慮、および大数の法則を含む、数学的確率の多くの分野について概説しています。

ベルヌーイは、高等解析の形式的手法の最も重要な推進者の一人です。彼のプレゼンテーションや表現方法には、抜け目なさや優雅さはほとんど見られませんが、誠実さは最大限に保たれています。

1683年、ベルヌーイは複利に関する問題を研究し、次の式の値（実際はe ）を求めることで定数eを発見した。^{[9] [10]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

一例として、1 ドルから始まり、年間 100 パーセントの利息を支払う口座があります。利息が 1 回入金されると、年末にその金額は 2 ドルになりますが、利息が計算されて 1 年に 2 回加算されると、1 ドルは 1.5 倍に 2 回乗算され、1.00 × 1.5 ²  = 2.25 ドルになります。四半期ごとに複利計算すると、1.00 × 1.25 ⁴  = 2.4414... ドルになり、毎月複利計算すると、1.00 × (1.0833...) ¹²  = 2.613035... ドルに なります。

ベルヌーイは、この数列は複利期間が長くなるほど、また短くなるほど限界（利子の力）に近づくことに気づきました。毎週の複利では $2.692597... となり、毎日複利では $2.714567... となり、わずか 2 セント多くなります。複利期間の数をnとし、各期間の利子を 100% / nとすると、大きなnの限界は、後にオイラーがe と名付けた数になります。つまり、継続的な複利計算では、口座の価値は $2.7182818... に達します。より一般的には、$1 から始まり、複利で (1+ R ) ドルを生み出す口座は、継続的な複利計算でe ^Rドルを生み出します。

ベルヌーイは対数螺旋を望み、墓石には「Eadem mutata resurgo（変わっても、私は同じ姿で再び立ち上がる）」というモットーが刻まれていた。彼は、自己相似螺旋は「逆境における不屈の精神と不変性、あるいは、あらゆる変化を経て死後も、正確で完璧な姿に回復する人体の象徴として使われるかもしれない」と記している。ベルヌーイは1705年に亡くなったが、対数螺旋ではなくアルキメデスの螺旋が刻まれた。^[11]

ラテン語碑文の翻訳:

比類のない数学者、ヤコブ・ベルヌーイ。

バーゼル大学教授。18年以上。

パリとベルリンの王立アカデミーの会員であり、著作で有名。

慢性的な病気を抱えながらも、最後まで健全な精神を保っていた。

1705年8月16日、50歳7ヶ月でこの世を去り、復活を待ち続けた。

ジュディス・スタパヌス、

妻と20年間

そして彼の二人の子供は、とても懐かしがる夫と父親のために記念碑を建てました。

• Conamen novi systematis Cometarum (ラテン語)。アムステラエダミ: apud Henr.ウェステニウム。 1682年。（タイトルは「彗星系に関する新たな仮説」と大まかに翻訳されます。）
• デ・グラビテイト・アテリス（ラテン語）。アムステラエダミ: アプド・ヘンリクム・ヴェステニウム。 1683年。
• Ars conjectandi、opus posthumum、Basileae、impensis Thurnisiorum Fratrum、1713 年。
• オペラ（ラテン語）。 Vol. 1. ジュネーブ: ヘリティエ クラメール & フレール フィリベール。 1744年。
  • オペラ（ラテン語）。 Vol. 2. ジュネーブ: ヘリティエ クラメール & フレール フィリベール。 1744年。

• 
  エーテルの重力について、1683年
• 
  オペラ、第1巻、1744年

• ホフマン、JE (1970–1980)。「ベルヌーイ、ヤコブ (ジャック) I」。科学人名辞典。第 2 巻。ニューヨーク: チャールズ スクリブナー サンズ。pp. 46–51。ISBN 978-0-684-10114-9。
• シュナイダー、I. (2005)。「ヤコブ・ベルヌーイのアルス・コンジェクタンディ (1713)」。グラッタン・ギネス、アイヴァー(編)。西洋数学のランドマーク著作 1640-1940。エルゼビア。pp. 88-104。ISBN 978-0-08-045744-4。

• ウィキメディア・コモンズのヤコブ・ベルヌーイに関連するメディア

Wikiquote にヤコブ・ベルヌーイに関する引用があります。

• 数学系譜プロジェクトにおけるヤコブ・ベルヌーイ
• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ヤコブ ベルヌーイ」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• ベルヌーイ、ジャコビ。 「無限感染症の治療法」(PDF)。
• ワイスタイン、エリック・ヴォルフガング（編）。 「ベルヌーイ、ヤコブ（1654–1705）」。サイエンスワールド。
• ゴットフリート・ライプニッツとヤコブ・ベルヌーイの推測の技術に関する書簡」2016-04-06 にWayback Machineでアーカイブ