相対論的ラグランジアン力学

理論物理学において、相対論的ラグランジアン力学は、特殊相対性理論と一般相対性理論の文脈で応用されたラグランジアン力学です。

相対論的ラグランジアンは相対論的力学において次の形式として導出されます。

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}-V(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)\,.}$

非相対論的力学とは異なり、相対論的ラグランジアンは運動エネルギーと位置エネルギーの差として表現されませんが、相対論的ハミルトニアンは同様に全エネルギーに対応しますが、静止エネルギーは含まれません。ラグランジアン形式により、相対論的作用は時空内の経路の固有時間に比例して機能します。

共変形式では、ラグランジアンは次のように表される: ^{[1] [2]}

${\displaystyle \Lambda =g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\sigma }},}$

ここでσは時空曲線をパラメータ化する アフィンパラメータです。

ラグランジアン力学は特殊相対論では次のように定式化できます。 1 つの粒子を考えます ( N個の粒子については後で考えます)。

システムがラグランジアンLで記述される場合、オイラー・ラグランジュ方程式

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}={\frac {\partial L}{\partial \ mathbf {r} }}}$

ラグランジアンが特殊相対論と整合する運動方程式を生成する限り、特殊相対論でもその形を保つ。ここでr = ( x , y , z )は、実験室のフレームで測定された粒子の位置ベクトルであり、簡略化のために直交座標が使用される。

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {r} }}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)}$

は座標速度、つまり位置rの座標時間tに関する微分です。(この記事全体を通して、上線は座標時間に関するものであり、固有時間に関するものではありません)。位置座標を一般化座標に変換することは、非相対論的力学とまったく同じように可能です。r = r ( q , t ) 。rの全微分を取ると、速度vの一般化座標、一般化速度、および座標時間へ の変換が得られます。

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\,,\quad {\dot {q}}_{j}={\frac {dq_{j}}{dt}}}$

は同じままです。しかし、運動する粒子のエネルギーは、非相対論的力学とは異なります。自由試験粒子の全相対論的エネルギーを見ることは有益です。実験室フレームの観測者は、座標rと座標時間 tによってイベントを定義し、粒子が座標速度v = d r / dtを持つように測定します。対照的に、粒子とともに移動する観測者は異なる時間、つまり固有時間 τ を記録します。べき級数で展開すると、最初の項は粒子の静止エネルギー、その非相対論的運動エネルギー、および高次の相対論的補正になります。

${\displaystyle E=m_{0}c^{2}{\frac {dt}{d\tau }}={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)}{c^{2}}}}}}=m_{0}c^{2}+{1 \over 2}m_{0}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)+{3 \over 8}m_{0}{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{4}(t)}{c^{2}}}+\cdots \,,}$

ここでcは真空中の光速である。tとτの微分はローレンツ因子γによって関係付けられる。^[注1]

${\displaystyle dt=\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})d\tau \,,\quad \gamma ({\dot {\mathbf {r} }})={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\,,\quad {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad {\dot {\mathbf {r} }}^{2}(t)={\dot {\mathbf {r} }}(t)\cdot {\dot {\mathbf {r} }}(t)\,.}$

ここで、·はドット積です。静止質量 m ₀の非荷電粒子の相対論的運動エネルギーは

${\displaystyle T=(\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})-1)m_{0}c^{2}}$

そして、粒子の相対論的ラグランジアンはこの相対論的運動エネルギーから位置エネルギーを引いたものであると単純に推測できます。しかし、V = 0 の自由粒子の場合でも、これは誤りです。非相対論的アプローチに従うと、この一見正しいラグランジアンの速度に関する微分は相対論的運動量であると予想されますが、実際はそうではありません。

一般化された運動量の定義は保持され、循環座標と保存量との有利な関係は引き続き適用されます。運動量はラグランジアンを「リバースエンジニアリング」するために使用できます。自由質量粒子の場合、直交座標では、相対論的運動量のx成分は

${\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})m_{0}{\dot {x}}\,,\quad }$

yとz成分についても同様である。この式をdx / dtについて積分すると、

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}+X({\dot {y}},{\dot {z}})\,,}$

ここで、Xは積分から得たdy / dtとdz / dtの任意の関数である。同様にp _yとp _zを積分すると次のようになる。

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}+Y({\dot {x}},{\dot {z}})\,,\quad L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}+Z({\dot {x}},{\dot {y}})\,,}$

ここで、YとZはそれぞれ指定された変数の任意の関数である。関数X、Y、Zは任意なので、一般性を失うことなく、これらの積分の共通解、すなわち相対論的運動量のすべての成分を正しく生成する可能性のあるラグランジアンを結論付けることができる。

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}\,,}$

ここで、X = Y = Z = 0です。

あるいは、相対論的に不変な量からラグランジアンを構築したいので、作用を時空におけるローレンツ不変な 線要素の積分、すなわち固有時間τ ₁とτ ₂の間の粒子の世界線の長さに比例するものとみなす。^[注1]

${\displaystyle S=\varepsilon \int _{\tau _{1}}^{\tau _{2}}d\tau =\varepsilon \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dt}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}\,,\quad L={\frac {\varepsilon }{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}=\varepsilon {\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}}}\,,}$

ここでεは定数であり、粒子の固有時間を実験室系で測定された座標時間に変換した後、積分関数は定義によりラグランジアンとなる。運動量は相対論的運動量でなければならない。

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=\left({\frac {-\varepsilon }{c^{2}}}\right)\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }}=m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }}\,,}$

これはε = − m ₀ c ²を必要とし、これは以前に得られたラグランジアンと一致する。

いずれにせよ、位置ベクトルrはラグランジアンには存在せず、したがって循環的であるため、オイラー・ラグランジュ方程式は相対論的運動量の不変性と整合している。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d}{dt}}(m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }})=0\,,}$

これは自由粒子の場合に必ず当てはまる。また、相対論的自由粒子ラグランジアンを( v / c ) ²の 1 次冪級数に展開すると、

${\displaystyle L=-m_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {{\dot {\mathbf {r} }}^{2}}{c^{2}}}\right)+\cdots \right]\approx -m_{0}c^{2}+{\frac {m_{0}}{2}}{\dot {\mathbf {r} }}^{2}\,,}$

vが小さいときの非相対論的極限では、示されていない高次の項は無視でき、ラグランジアンはその通りの非相対論的運動エネルギーになります。残りの項は粒子の静止エネルギーの負数で、ラグランジアンでは無視できる定数項です。

非保存的である可能性のあるポテンシャルVの影響を受ける相互作用粒子の場合、多くの興味深いケースでは、このポテンシャルを自由粒子のラグランジアンから単純に差し引くことが可能です。

${\displaystyle L=-{\frac {m_{0}c^{2}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})}}-V(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)\,.}$

そしてオイラー・ラグランジュ方程式はニュートンの運動の第二法則の相対論的バージョンを導く。相対論的運動量の時間座標に関する微分は粒子に作用する力に等しい。

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} }}={\frac {d}{dt}}(m_{0}\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}){\dot {\mathbf {r} }})\,,}$

ポテンシャルV がこのように対応する力F を生成できると仮定します。ポテンシャルが図のように力を得ることができない場合は、正しい運動方程式を得るためにラグランジアンを修正する必要があります。

これは直交座標を取ることで示されているが、オイラー・ラグランジュ方程式の不変性により、任意の座標系でも満たされる。これは、物理的には作用最小化が、それを記述するために使用される座標系に依存しないことに対応しているからである。同様に、ラグランジアン力学におけるいくつかの特性は、ラグランジアンの特定の形式や粒子を支配する運動の法則に依存しない場合は常に保持される。例えば、ラグランジアンが明示的に時間と独立であり、ポテンシャルV ( r ) が速度と独立である場合、相対論的エネルギー全体は

${\displaystyle E={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-L=\gamma ({\dot {\mathbf {r} }})m_{0}c^{2}+V(\mathbf {r} )}$

は保存されますが、最初の項は粒子の相対論的エネルギーであり、相対論的運動エネルギーだけではなく、粒子の静止質量も含むため、その同一視はそれほど明白ではありません。また、同次関数の議論は相対論的ラグランジアンには適用されません。

N 個の粒子への拡張は簡単で、相対論的ラグランジアンとは単に「自由粒子」項の合計からそれらの相互作用の潜在エネルギーを差し引いたものになります。

${\displaystyle L=-c^{2}\sum _{k=1}^{N}{\frac {m_{0k}}{\gamma ({\dot {\mathbf {r} }}_{k})}}-V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)\,,}$

時間を含め、すべての位置と速度が同じ実験フレーム内で測定されます。

この座標定式化の利点は、多粒子系を含むさまざまなシステムに適用できることです。欠点は、いくつかの実験フレームが優先フレームとして選択されており、方程式のいずれもが明らかに共変ではないことです(言い換えると、すべての参照フレームで同じ形式をとらない)。実験フレームに対して移動する観測者の場合、位置r、運動量p、総エネルギーE、位置エネルギーなど、すべてを再計算する必要があります。特に、この他の観測者が一定の相対速度で移動する場合は、ローレンツ変換を使用する必要があります。ただし、動作は構造上ローレンツ不変であるため、同じままです。

^{一見異なるが、完全に等価な形の自由質量粒子に対するラグランジアンは、以下に示すように一般相対論に容易に拡張でき、 [nb 1]}を挿入することで得られる。

${\displaystyle d\tau ={\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}dt\,,}$

ローレンツ不変作用に

${\displaystyle S=\varepsilon \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {1}{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}dt\quad \Rightarrow \quad L={\frac {\varepsilon }{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}}$

ここで、ε = − m ₀ c ²は簡単のため保持される。線要素と作用はローレンツ不変であるが、ラグランジアンは実験室座標時間に明示的に依存するため、不変ではない。それでも、運動方程式はハミルトンの原理に従う。

${\displaystyle \delta S=0\,.}$

作用は粒子の世界線の長さ（つまり、時空における軌道）に比例するため、この経路は、定常作用を見つけることは時空における最短または最長の軌道を見つけることを求めていることを示しています。それに応じて、粒子の運動方程式は、時空における最短または最長の軌道、測地線を記述する方程式に似ています。

ポテンシャルV内の相互作用粒子の場合、ラグランジアンは依然として

${\displaystyle L={\frac {\varepsilon }{c}}{\sqrt {\eta _{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\beta }}{dt}}}}-V,}$

これは、上に示したように多くの粒子に拡張することもできますが、各粒子には、その位置を定義するための独自の位置座標のセットがあります。

共変定式化では、時間は空間と同等の立場に置かれ、あるフレームで測定された座標時間は、空間座標（およびその他の一般化座標）とともに配置空間の一部となります。^[3]質量がないか質量があるかにかかわらず、粒子のローレンツ不変作用は（表記法を乱用して）^[4]

${\displaystyle S=\int _{\sigma _{1}}^{\sigma _{2}}\Lambda (x^{\nu }(\sigma ),u^{\nu }(\sigma ),\sigma )d\sigma ,}$

ここで、下限と上限のインデックスはベクトルの共変性と反変性に応じて使用され、σはアフィンパラメータ、u ^μ = dx ^μ / dσは粒子の 4元速度です。

質量を持つ粒子の場合、σは粒子の世界線に沿った 弧の長さs、または固有時間τとなり、

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }.}$

質量のない粒子の場合、それは不可能です。なぜなら、質量のない粒子の固有時間は常にゼロだからです。

${\displaystyle g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }=0\,.}$

自由粒子の場合、ラグランジアンは^{[1] [2]の形をとる。}

${\displaystyle \Lambda =g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\sigma }}}$

ここで、無関係な係数 1/2 はラグランジアンのスケーリング特性によってスケールアウトできます。これは質量のない粒子にも適用されるため、質量を含める必要はありません。時空座標におけるオイラー・ラグランジュ方程式は、

${\displaystyle {\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial \Lambda }{\partial u^{\alpha }}}-{\frac {\partial \Lambda }{\partial x^{\alpha }}}={\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\sigma ^{2}}}+\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }{\frac {dx^{\beta }}{d\sigma }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\sigma }}=0\,,}$

これは、時空におけるアフィンパラメータ化された測地線に対する測地線方程式です。言い換えれば、自由粒子は測地線に従います。質量のない粒子の測地線は、時空の「光円錐」または「ヌル円錐」にあるため「ヌル測地線」と呼ばれます (ヌルは、メトリックによる内積が 0 に等しいために発生します)。質量のある粒子は「時間的測地線」に従い、光よりも速く移動する仮想粒子であるタキオンは「空間的測地線」に従います。

この明らかに共変な定式化はN粒子系には拡張されません。なぜなら、その場合、任意の 1 つの粒子のアフィン パラメータを他のすべての粒子の共通パラメータとして定義できないためです。

1次元の相対論的自由粒子の場合、ラグランジアンは^[5]

${\displaystyle L=-m_{0}c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}(t)}{c^{2}}}}}\,.}$

この結果、次の運動方程式が得られます。

${\displaystyle m_{0}{\ddot {x}}\,{\frac {1}{\left(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}}}=0\,.}$

1次元の相対論的単純調和振動子の場合、ラグランジアンは^{[6] [7]}

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}(t)}{c^{2}}}}}-{\frac {k}{2}}x^{2}\,.}$

ここでkはバネ定数です。

一定の力を受ける粒子の場合、ラグランジアンは^[8]

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {x}}^{2}(t)}{c^{2}}}}}-mgx\,,}$

ここで、g は単位質量あたりの力です。

この結果、次の運動方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {1}{(1-{\frac {{\dot {x}}^{2}}{c^{2}}})^{\frac {3}{2}}}}{\ddot {x}}=-g\,.}$

初期条件が与えられれば、

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t=0)&=x_{0}\\{\dot {x}}(t=0)&=v_{0}\end{aligned}}}$

粒子の位置は時間の関数として表される。

${\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac {c^{2}}{g}}\left[{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}-{\sqrt {{\frac {1}{1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}+{\frac {g^{2}t^{2}}{c^{2}}}-{\frac {2v_{0}gt}{c^{2}{\sqrt {1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}}}}}}}\right]\,.}$

特殊相対論では、電磁場中の質量のある荷電粒子のラグランジアンは次のように変化する^{[9] [10]}

${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}-q\phi +q{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} \,.}$

rのラグランジアン方程式は、相対論的運動量の観点から、ローレンツ力の法則につながる。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right)=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \,.}$

4ベクトルとテンソルのインデックス表記法では、ラグランジアンは次の形式をとる。

${\displaystyle L(\tau )={\frac {1}{2}}mu^{\mu }(\tau )u_{\mu }(\tau )+qu^{\mu }(\tau )A_{\mu }(x),}$

ここで、u ^μ = dx ^μ / dτは試験粒子の4元速度、 A ^{μ は}電磁4元ポテンシャルです。

オイラー・ラグランジュ方程式は（座標時間ではなく固有時間に関する全微分に注意）

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {d}{d\tau }}{\frac {\partial L}{\partial u^{\nu }}}=0}$

取得する

${\displaystyle qu^{\mu }{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}={\frac {d}{d\tau }}(mu_{\nu }+qA_{\nu })\,.}$

固有時間に関する 全微分では、第1項は相対論的運動量、第2項は

${\displaystyle {\frac {dA_{\nu }}{d\tau }}={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}u^{\mu }\,,}$

これを整理し、反対称電磁テンソルの定義を用いると、より馴染みのある形でローレンツ力の法則の共変形が得られる。

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}(mu_{\nu })=qu^{\mu }F_{\nu \mu }\,,\quad F_{\nu \mu }={\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}-{\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}\,.}$

ラグランジアンは、単一粒子と相互作用項L _{I を加えたものである。}

${\displaystyle L=-mc^{2}{\frac {d\tau }{dt}}+L_{\text{I}}\,.}$

これを粒子の位置xαに応じて時間tの関数として変化させる と^、

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta L&=m{\frac {dt}{2d\tau }}\delta \left(g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}\right)+\delta L_{\text{I}}\\&=m{\frac {dt}{2d\tau }}\left(g_{\mu \nu ,\alpha }\delta x^{\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}+2g_{\alpha \nu }{\frac {d\delta x^{\alpha }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}\right)+{\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial x^{\alpha }}}\delta x^{\alpha }+{\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}}}{\frac {d\delta x^{\alpha }}{dt}}\\&={\frac {1}{2}}mg_{\mu \nu ,\alpha }\delta x^{\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}-{\frac {d}{dt}}\left(mg_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\delta x^{\alpha }+{\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial x^{\alpha }}}\delta x^{\alpha }-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}}}\right)\delta x^{\alpha }+{\frac {d(\cdots )}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

これにより運動方程式が得られる。

${\displaystyle 0={\frac {1}{2}}mg_{\mu \nu ,\alpha }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}-{\frac {d}{dt}}\left(mg_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)+f_{\alpha }}$

どこ

${\displaystyle f_{\alpha }={\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L_{\text{I}}}{\partial {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}}}\right)}$

は粒子に働く非重力の力です。（m が時間に依存しないためには、 f _α dx ^α / dt = 0でなければなりません。）

並べ替えると力の方程式が得られる

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(m{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)=-m\Gamma _{\mu \sigma }^{\nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}+g^{\nu \alpha }f_{\alpha }}$

ここで、Γ は重力場を表す クリストッフェル記号です。

もし私たちが

${\displaystyle p^{\nu }=m{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}}$

質量を持つ粒子の（運動）線形運動量とすると、

${\displaystyle {\frac {dp^{\nu }}{dt}}=-\Gamma _{\mu \sigma }^{\nu }p^{\mu }{\frac {dx^{\sigma }}{dt}}+g^{\nu \alpha }f_{\alpha }}$

そして

${\displaystyle {\frac {dx^{\nu }}{dt}}={\frac {p^{\nu }}{p^{0}}}}$

質量のない粒子の場合にも当てはまります。

一般相対論では、最初の項は古典的な運動エネルギーと重力場との相互作用の両方を一般化（包含）する。電磁場中の荷電粒子の場合、ラグランジアンは次のように与えられる。

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})=-mc^{2}{\sqrt {-c^{-2}g_{\mu \nu }(x(\tau )){\frac {dx^{\mu }(\tau )}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }(\tau )}{d\tau }}}}+q{\frac {dx^{\mu }(\tau )}{d\tau }}A_{\mu }(x(\tau ))\,.}$

4つの時空座標x ^{μ が}任意の単位（つまり単位なし）で与えられた場合、g _{μν は}階数2の対称計量テンソルであり、重力ポテンシャルでもあります。また、A _μは電磁4ベクトルポテンシャルです。

相対論的ラグランジアンには同等の定式化が存在し、これには 2 つの利点があります。

• 質量のない粒子やタキオンへの一般化を可能にする。
• これは長さ関数ではなくエネルギー関数に基づいているため、平方根は含まれません。

この代替定式化では、ラグランジアンは次のように与えられる。

${\displaystyle L(x,{\dot {x}},e)={\frac {1}{2\,e(\lambda )}}g_{\mu \nu }(x(\lambda ))\,{\frac {dx^{\mu }(\lambda )}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }(\lambda )}{d\lambda }}-{\frac {e(\lambda )\,m^{2}\,c^{2}}{2}}+q\,A_{\mu }(x(\lambda )){\frac {dx^{\mu }(\lambda )}{d\lambda }}}$、

ここで、 は任意のアフィンパラメータであり、 は世界線に沿ったアインバイン場として見ることができる補助パラメータです。平方根を持つ元のラグランジアンでは、エネルギー運動量関係は、第一級の制約でもある主要な制約として現れます。この再定式化では、これは当てはまりません。代わりに、エネルギー運動量関係は補助場 の運動方程式として現れます。したがって、制約は、アフィンパラメータ の再パラメータ化による作用の不変性を反映して、依然として第一級の制約である二次制約になります。運動方程式が導出された後、補助場 をゲージ固定する必要があります。標準ゲージの選択は次のとおりです。 ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle e}$

• の場合、 を固定します。この選択により が自動的に固定されます。つまり、アフィンパラメータが適切な時間に固定されます。${\displaystyle m^{2}>0}$${\displaystyle e=|m|^{-1}}$${\displaystyle \lambda =\tau }$
• の場合、 を固定します。この選択により が自動的に固定されます。つまり、アフィン パラメータが適切な長さに固定されます。${\displaystyle m^{2}<0}$${\displaystyle e=|m\,c|^{-1}}$${\displaystyle \lambda =s}$
• の場合、アフィンパラメータを物理パラメータに固定する選択肢はありません。したがって、補助フィールドを固定する際にはある程度の自由があります。一般的な選択肢は次の 2 つです。 ${\displaystyle m=0}$${\displaystyle \lambda }$
  • を修正します。この場合、はアフィンパラメータ に依存しませんが、アフィンパラメータは質量単位あたりの時間単位で測定されます。つまり、 です。${\displaystyle e=1}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle [\lambda ]=T/M}$
  • を固定します。ここで は粒子のエネルギーです。この場合、アフィンパラメータは時間の単位で測定されます。つまり、 ですが、アフィンパラメータ への依存性は保持されます。${\displaystyle e=c^{2}E(\lambda )}$${\displaystyle E}$${\displaystyle [\lambda ]=T}$${\displaystyle e}$${\displaystyle \lambda }$

• 相対論的力学
• 変分法の基本補題
• 標準座標
• 機能的派生
• 一般化座標
• ハミルトン力学
• ハミルトン光学
• ラグランジアン解析（ラグランジアン力学の応用）
• ラグランジアン点
• ラグランジアンシステム
• 非自律的なメカニクス
• 制限三体問題
• プラトーの問題

• ペンローズ、ロジャー（2007）。『現実への道』。ヴィンテージ本。ISBN 978-0-679-77631-4。
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1976年1月15日)。力学(第3版)。Butterworth Heinemann。p. 134。ISBN 978-0-7506-2896-9。
• ランダウ、レフ、リフシッツ、エフゲニー(1975)。『場の古典理論』エルゼビア社ISBN 978-0-7506-2768-9。
• Hand, LN; Finch, JD (1998年11月13日).解析力学(第2版). Cambridge University Press . p. 23. ISBN 978-0-521-57572-0。
• ルイス・N・ハンド、ジャネット・D・フィンチ（1998年）。解析力学。ケンブリッジ大学出版局。pp. 140–141。ISBN 0-521-57572-9。
• ゴールドスタイン、ハーバート(1980)。古典力学(第 2 版)。サンフランシスコ、カリフォルニア州: アディソン ウェスレー。pp. 352–353。ISBN 0-201-02918-9。
• ゴールドスタイン、ハーバート、プール、チャールズ P. Jr.、サフコ、ジョン L. (2002)。古典力学 (第 3 版)。サンフランシスコ、カリフォルニア州: アディソン ウェスレー。pp. 347–349。ISBN 0-201-65702-3。
• ランチョス、コーネリアス (1986)。「II §5 補助条件: ラグランジュ λ 法」。力学の変分原理(トロント大学 1970 年第 4 版の再版)。Courier Dover。p. 43。ISBN 0-486-65067-7。
• ファインマン, RP ;レイトン, RB ;サンズ, M. (1964). ファインマン物理学講義第2巻. アディソン・ウェスレー. ISBN 0-201-02117-X。
• フォスター、J; ナイチンゲール、JD (1995)。一般相対性理論短期講座（第2版）。シュプリンガー。ISBN 0-03-063366-4。
• ホブソン, MP; エフスタティウ, GP; ラセンビー, AN (2006). 一般相対性理論: 物理学者のための入門. ケンブリッジ大学出版局. pp. 79–80. ISBN 978-0-521-82951-9。