外部自己同型群

数学において、群 $G$ の外部自己同型群は商Aut $($ $G$ $) / Inn($ $G$ $)$ です。ここで、 $Aut($ $G$ $)$ は $G$ の自己同型群、 $Inn($ $G$ ) は内部自己同型からなる部分群です。外部自己同型群は通常 $Out($ $G$ $)$ と表記されます。 $Out($ $G$ $)$ が自明で、 $G の$ 中心が自明な場合、 $G は$ 完全であると言われます。

内部ではない群の自己同型は外部自己同型と呼ばれる。^[1]外部自己同型に関する $Inn($ $G$ $)$ の剰余類は $Out($ $G$ $)$ の元である。これは、群の商は一般に部分群（と同型）ではないという事実の一例である。内部自己同型群が自明であれば（群がアーベル群の場合）、自己同型群と外部自己同型群は自然に同一視される。つまり、外部自己同型群は群に作用する。

たとえば、交代群 $A n$ の場合、外部自己同型群は通常、次数 2 の群ですが、以下に説明する例外もあります。 $A n を$ 対称群 $S n$ のサブグループと見なすと、任意の奇順列による共役は $A n$ の外部自己同型であり、より正確には「 $A n$ の (非自明な) 外部自己同型のクラスを表す」ことになりますが、外部自己同型は特定の奇元による共役には対応せず、奇元による共役はすべて、偶元による共役を除いて同値です。

構造

シュライアー予想は、 $G が$ 有限単純群であるとき、 $Out(G)$ は常に可解群であると主張する。この結果は現在、有限単純群の分類の系として真であることがわかっているが、より簡単な証明は知られていない。

中心の二重として

外部自己同型群は、次の意味で中心と双対である。G $の$ 元による共役は自己同型であり、写像 $σ : G \to Aut(G)$ を生成する。共役写像の核は中心であり、余核は外部自己同型群である（そして像は内部自己同型群である）。これは、正確なシーケンスで要約できる。

$Z(G)\hookrightarrow G\,{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}\,\mathrm {Aut} (G)\twoheadrightarrow \mathrm {Out} (G)$

アプリケーション

群の外部自己同型群は共役類に作用し、それに応じて特性表に作用します。詳細については特性表: 外部自己同型を参照してください。

表面のトポロジー

外部自己同型群は、デーン・ニールセンの定理によって提供される接続があるため、曲面の位相において重要です。つまり、曲面の拡張写像類群はその基本群の外部自己同型群です。

有限群では

すべての有限単純群の外部自己同型群については、有限単純群の一覧を参照。散在単純群および交代群（交代群 $A 6$ 以外、下記参照）はすべて、位数 1 または 2 の外部自己同型群を持つ。リー型の有限単純群の外部自己同型群は、「対角自己同型」群（位数4 の $D n (q)$ 以外は巡回）、「体自己同型」群（常に巡回）、「グラフ自己同型」群（位数 1 または 2 の $D 4 (q)以外は 3 点の対称群）の拡張である。これらの拡張は、交代群$ $A$ $6$ の場合が示すように、常に半直積であるとは限らない。これが起こる正確な基準は 2003 年に与えられた。^[2]

^[要出典]

対称グループと交互グループ

有限単純群の無限族における有限単純群の外部自己同型群は、族のすべての元に当てはまる一様な公式でほぼ常に与えられる。これには1つの例外がある: ^[3]交代群 $A 6$ は、他の単純交代群 (奇順列による共役で与えられる) のように順序が 2 ではなく、順序が 4 の外部自己同型群を持つ。同様に、対称群 $S 6$ は、非自明な外部自己同型群を持つ唯一の対称群である。

{\begin{aligned}n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})&=\mathrm {C} _{1}\\n\geq 3,\ n \neq 6:\演算子名 {Out} (\mathrm {A} _{n})&=\mathrm {C} _{2}\\\演算子名 {Out} (\mathrm {S} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\\\演算子名 {Out} (\mathrm {A} _{6})&=\mathrm {C} _{2 }\times \mathrm {C} _{2}\end{整列}}

$G = A 6 = PSL(2, 9)$ の場合、 $1 ⟶ G ⟶ Aut(G) ⟶ Out(G) ⟶ 1$ というシーケンスは分割されないことに注意してください。同様の結果は、 $qが奇数の任意の$ $PSL(2, q 2)$ にも当てはまります。

簡約代数群では

ディンキン図の対称性 $D4 は$ 、三元性における $スピン(8)$ の外部自己同型に対応する。

$ここで、 G を$ 代数的に閉じた体上の連結簡約群とする。すると、任意の 2 つのボレル部分群は内部自己同型によって共役となるので、外部自己同型を調べるには、与えられたボレル部分群を固定する自己同型を考えれば十分である。ボレル部分群には単純ルートの集合が関連付けられており、外部自己同型は、関連付けられたディンキン図の構造を保存しながら、それらを入れ替えることができる。このようにして、 $Gのディンキン図の自己同型群を$ $Out($ $G$ $)$ の部分群と同一視することができる。

$D 4 は$ 非常に対称的なディンキン図を持ち、 $Spin(8)$ の大きな外部自己同型群、つまり $Out(Spin(8)) = S 3を$ 生成します。これはトライアリティと呼ばれます。

複素リー代数と実単純リー代数では

外部自己同型をディンキン図の対称性として解釈する前述の解釈は、複素または実単純リー代数 $𝔤$ に対して、自己同型群 $Aut(𝔤)が$ $Inn($ $𝔤$ $)$ と $Out($ $𝔤$ $)$ の半直積である、つまり短完全列である、という一般的な事実から導かれる。

1 ⟶ イン(𝔤) ⟶ オート(𝔤) ⟶ アウト(𝔤) ⟶ 1

分裂。複素単純リー代数の場合、これは古典的な結果であるが^[4]、実単純リー代数の場合、この事実は2010年に証明されたばかりである^[5]。

言葉遊び

外部自己同型という用語は言葉遊びに適しています。外部自己同型という用語は外部自己同型に使用されることもあり、 $Out($ $F$ $n$ $)$ が作用する特定の幾何学は外部空間と呼ばれます。

参照

参考文献

^ 名前にもかかわらず、これらは外部自己同型群の要素を形成しません。このため、非内部自己同型という用語が好まれる場合があります。
^ A. Lucchini、F. Menegazzo、M. Morigi (2003)、「自己同型群における有限単純群の補集合の存在について」、Illinois J. Math. 47、395–418。
^ アトラス p. xvi
^ (フルトン＆ハリス 1991、提案D.40)
^ JLT20035

外部リンク

$有限群表現の ATLAS-V3 には、リストされている各グループのOut(G)$ の順序など、さまざまなクラスの有限群 (特に散在単純群) に関する多くの情報が含まれています。

[1] 名前にもかかわらず、これらは外部自己同型群の要素を形成しません。このため、非内部自己同型という用語が好まれる場合があります。

[2] A. Lucchini、F. Menegazzo、M. Morigi (2003)、「自己同型群における有限単純群の補集合の存在について」、Illinois J. Math. 47、395–418。

[3] アトラス p. xvi

[4] (フルトン＆ハリス 1991、提案D.40)

[JOLT-5] JLT20035