逆関数

fが定義域Xと値域Yを持つ可逆関数である場合、

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$、すべての${\displaystyle x\in X}$そして${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$すべての${\displaystyle y\in Y}$。

関数の合成を用いると、この式は関数間の以下の等式に書き換えることができる。

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$そして${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

ここで、 id _Xは集合X上の恒等関数、つまり引数をそのまま保持する関数です。圏論では、この記述は逆射の定義として用いられます。

関数の合成を考慮すると、表記f ⁻¹を理解するのに役立ちます。関数f : X → Xをそれ自身と繰り返し合成することを反復と呼びます。値xから始めてf を ^{n 回適用すると、これは f n ( x ) と書かれます。したがって、f 2 ( x ) = f ( f ( x )) などとなります。f −1} ( f ( ^x ) ) = xなので、 ^f −1とf nを合成するとf n −1が得られ、fを1回 ^適用した^効果を^{「取り消す}」ことになります。

表記f ⁻¹ ( x )は誤解される可能性があるが、^{[ 1 ]} ( f ( x )) ^{−1 は確かに}f ( x )の乗法逆元を表し、 fの逆関数とは何の関係もない。^{[ 6 ]}表記${\displaystyle f^{\langle -1\rangle }}$乗法逆関数との曖昧さを避けるために、逆関数に使用される可能性がある。^{[ 7 ]}

一般的な表記法に従って、英語の著者の中には、sin ⁻¹ ( x )のような表現を使って、 xに適用された正弦関数の逆関数(実際には部分逆関数です。下記参照) を表す人もいます。^{[ 8 ] [ 6 ]}他の著者は、これはsin ( x )の乗法逆関数の表記法(sin ( x )) ⁻¹と表記できる) と混同される可能性があると考えています。^{[ 6 ]}混乱を避けるために、逆三角関数は、ラテン語のarcusに由来する接頭辞「arc」で示されることがよくあります。^{[ 9 ] [ 10 ]}例えば、正弦関数の逆関数は通常、 arcsin ( x )と書かれる逆正弦関数と呼ばれます。^{[ 9 ] [ 10 ]}同様に、双曲線関数の逆関数は、ラテン語のāreaに由来する接頭辞「 ar 」で示されます。^{[ 10 ]}例えば、双曲線正弦関数の逆関数は通常、arsinh ( x )と表記されます。^{[ 10 ]} sin ⁻¹ ( x )のような表現は、多価逆関数と部分逆関数を区別するのに役立ちます。${\displaystyle \sin ^{-1}(x)=\{(-1)^{n}\arcsin(x)+\pi n:n\in \mathbb {Z} \}}$。f −1表記の曖昧さ ^を避ける必要がある場合は、他の逆特殊関数に「inv」という接頭辞が付けられることがあります。 ^{[ 11 ] [ 10 ]}

f ( x ) = x²で与えられる関数f : R → [0,∞)^は単射ではない。${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$すべての人々のために${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$したがって、fは逆関数を持たない。

関数の定義域が非負の実数に限定されている場合、つまり、関数${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$以前と同じ規則を用いると、関数は全単射であり、したがって可逆である。^{[ 12 ]}ここでの逆関数は（正の）平方根関数と呼ばれ、次のように表される。${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$。

以下の表は、いくつかの標準的な関数とその逆関数を示しています。

代数式で表される多くの関数は、その逆関数の式を持っています。これは、逆関数が${\displaystyle f^{-1}}$可逆関数の${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$明確な説明があります

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{the unique element }}x\in \mathbb {R} {\text{ such that }}f(x)=y)}$。

これにより、代数式で与えられる多くの関数の逆関数を簡単に求めることができます。たとえば、f が次の関数である場合

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

そして決定する${\displaystyle f^{-1}(y)}$実数yに対して、 ( 2x + 8) ³ = yとなる唯一の実数xを見つける必要がある。この方程式は次のように解くことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

したがって、逆関数f ⁻¹は次の式で与えられる。

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

関数の逆関数は、閉じた形式の式で表せない場合がある。たとえば、f が次の関数である場合。

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

するとfは全単射となり、したがって逆関数f ⁻¹を持つ。この逆関数の公式は無限和として表される。

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

与えられた関数fに対して逆関数が存在する場合、それは一意である。^{[ 13 ]}これは、逆関数はfによって完全に決定される逆関係でなければならないことから導かれる。

関数とその逆関数には対称性があります。具体的には、fが定義域Xと値域Yを持つ可逆関数である場合、その逆関数f ⁻¹は定義域Yと像Xを持ち、 f ⁻¹の逆関数は元の関数fになります。記号で表すと、関数f : X → Y とf ⁻¹ : Y → Xに対して、^{[ 13 ]}

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$そして${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

この記述は、 f が可逆であるためには全単射でなければならないという含意の結果である。逆関数の対合性は、 ^{[ 14 ]}で簡潔に表現できる。

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

関数の合成の逆関数は^{[ 15 ]で与えられる。}

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

gとfの順序が逆になっていることに注意してください。fの後にgが続く操作を元に戻すには、まずgを元に戻し、次にfを元に戻す必要があります。

例えば、f ( x ) = 3x 、 g ( x ) = x + 5とします。すると、合成関数g ∘ fは、最初に 3 を掛けてから 5 を加える関数です。

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

このプロセスを逆にするには、まず5を引いて、次に3で割る必要があります。

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

これは合成 ( f ⁻¹ ∘ g ⁻¹ )( x )です。

Xが集合である場合、 X上の恒等関数はそれ自身の逆関数である。

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

より一般的に言えば、関数f : X → Xは、合成関数f ∘ fがid _Xに等しい場合に限り、自身の逆関数と等しい。このような関数は対合と呼ばれる。 

fが可逆関数である場合 、関数のグラフは

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

は方程式のグラフと同じです

${\displaystyle x=f(y).}$

これは、 fのグラフを定義する方程式y = f ( x )と同一ですが、 xとyの役割が逆になっています。したがって、 fのグラフからx 軸とy軸の位置を入れ替えることで、f ⁻¹のグラフが得られます。これは、グラフを直線 y = xに関して対称移動することと同じです。^{[ 16 ] [ 1 ]}

逆関数定理により、1変数の連続関数は${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$（どこ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }$関数 ) は、その値域 (像) 上で逆関数を持つのは、それが厳密に増加または減少(局所的な最大値または最小値を持たない)である場合に限る。例えば、関数 ) は、

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

導関数f ′ ( x ) = 3 x ² + 1は常に正であるため、可逆です。

関数fが区間Iで微分可能であり、各x ∈ Iに対してf ′ ( x ) ≠ 0 である場合、逆関数f ^−1はf ( I )で微分可能です。^{[ 17 ]} y = f ( x ) の場合、逆関数の導関数は逆関数定理によって与えられます。

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

ライプニッツの記法を用いると、上記の式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

この結果は連鎖律から導かれる（逆関数と微分に関する記事を参照）。

逆関数定理は、多変数関数にも一般化できます。具体的には、連続微分可能な多変数関数f : R ⁿ → R ⁿは、点pにおけるfのヤコビ行列が可逆である限り、点pの近傍で可逆です。この場合、点 f ( p )におけるf ⁻¹のヤコビ行列は、点pにおけるfのヤコビ行列の逆行列になります。

関数fが単射でない場合でも、定義域を制限することでfの部分逆関数を定義できる場合があります。例えば、関数

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

x ² = (− x ) ²なので、1 対 1 ではありません。しかし、定義域をx ≥ 0に制限すると、関数は 1 対 1 になります。

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

（代わりに、定義域をx ≤ 0に限定すると、逆関数はyの平方根の負の値になります。）

あるいは、逆関数が多値関数であることに問題がなければ、定義域を制限する必要はありません。

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

多価逆関数は、 fの完全逆関数と呼ばれることもあり、その部分 (√xや−√xなど)は枝と呼ばれます。多価関数の最も重要な枝 (例えば正の平方根) は主枝と呼ばれ、yにおけるその値はf ⁻¹ ( y )の主値と呼ばれます。

実数直線上の連続関数では、局所極値の各ペアの間に1つの分岐が必要です。例えば、局所最大値と局所最小値を持つ3次関数の逆関数は3つの分岐を持ちます（隣の図を参照）。

上記の考察は、三角関数の逆関数を定義する上で特に重要です。例えば、正弦関数は1対1ではありません。

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

すべての実数xに対して(より一般的には、すべての整数nに対してsin( x + 2 π n ) = sin( x )です)。ただし、正弦関数は区間 [ − ⁠ π / 2 ⁠ , ⁠ π / 2 ⁠ ]で 1 対 1 であり、対応する部分逆関数は逆正弦と呼ばれます。これは逆正弦関数の主枝とみなされるため、逆正弦関数の主値は常に − ⁠ π / 2 ⁠と⁠ π / 2 ⁠の間にあります。次の表は、各逆三角関数の主枝を示しています。^{[ 19 ]}

左辺と右辺の関数合成は必ずしも一致する必要はない。一般に、条件は

1. 「 g ( f ( x ))= xとなるgが存在する」
2. 「 f ( g ( x ))= xとなるようなgが存在する」

fの異なる性質を暗示します。たとえば、f : R → [ 0, ∞)を二乗写像とし、すべてのx ∈ Rに対してf ( x ) = x ²とします。また、 g : [ 0, ∞) → Rを平方根写像とし、すべてのx ≥ 0に対してg ( x ) = √ xとします。すると、すべての x ∈ [ 0, ∞)に対してf ( g ( x )) = xとなります。つまり、gはfの右逆写像です。しかし、gはfの左逆写像ではありません。たとえば、g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 です。

右逆

fの右逆関数(またはfのセクション) は、次の条件を満たす関数h : Y → Xです。

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

つまり、関数hは次の規則を満たす。

もし${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$、 それから${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

したがって、h ( y )はfの下でyに写像されるXの要素のいずれかである可能性がある。

関数fが右逆関数を持つのは、fが全射である場合に限る（この同値性は、選択公理が成り立つ場合に限る）。

h がfの右逆関数である場合、fは全射である。すべての${\displaystyle y\in Y}$、 がある${\displaystyle x=h(y)}$そのため${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$。

fが全射である場合、f は右逆関数hを持ち、それは次のように構成できます。すべての に対して${\displaystyle y\in Y}$少なくとも1つあります${\displaystyle x\in X}$そのため${\displaystyle f(x)=y}$( fは全射であるため)、 h ( y )の値として 1 つを選択します。^{[ 23 ]}

f : X → Y が任意の関数 (必ずしも可逆である必要はない) である場合、要素y ∈ Yの逆像(または逆像) は、 yに写像されるXのすべての要素の集合として定義されます。

${\displaystyle f^{-1}(y)=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

yの逆像は、関数fの (多価) 完全逆関数によるyの像と考えることができます。

この概念は、範囲の部分集合に一般化できます。具体的には、SがYの任意の部分集合である場合、 Sの逆像は、${\displaystyle f^{-1}(S)}$は、 SにマッピングされるXのすべての要素の集合です。

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

例えば、関数f : R → R ; x ↦ x ²を考えてみましょう。この関数は全単射ではないため可逆ではありませんが、値域の部分集合に対して逆像を定義することができます。

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$。

元の概念とその一般化は、次の同一性によって関連付けられている。${\displaystyle f^{-1}(y)=f^{-1}(\{y\}),}$Yの単一要素y ∈ Yの逆像、つまり単一要素集合{ y } は、 yのファイバーと呼ばれることがあります。Yが実数の集合である場合、 f ⁻¹ ({ y })をレベル集合と呼ぶのが一般的です。