理論（数理論理学）

数理論理学において、理論（形式理論とも呼ばれる）とは、形式言語で記述された文の集合である。ほとんどの場合、演繹体系はまず文脈から理解され、言語と演繹規則を組み合わせた形式体系が構築される。 $\phi \in T$ 演繹的に閉じた理論の $T$ これは理論の定理と呼ばれる。多くの演繹体系では、通常、部分集合が存在する。 $\Sigma \subseteq T$ それは理論の「公理の集合」と呼ばれる。 $T$ この場合、演繹体系は「公理系」とも呼ばれます。定義上、すべての公理は自動的に定理となります。一階述語論理とは、公理の集合に体系の推論規則を適用して再帰的に得られる一階述語論理の文（定理）の集合です。

一般理論（形式言語で表現されたもの）

基礎的な目的で理論を定義する際には、通常の集合論的な用語が適切でない場合もあるため、より一層の注意が必要である。

理論の構築は、明確な空でない概念クラスを指定することから始まる。 ${\mathcal {E}}$ 、その要素はステートメントと呼ばれます。これらの最初のステートメントは、そこから派生する可能性のある他のステートメントと区別するために、理論の原始要素または基本ステートメントと呼ばれることがよくあります。 ^{[ 1 ]}

理論 $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ は、これらの基本命題のいくつかから構成される概念クラスです。 $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ は、 $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ そして、それらは真実であると言われている。このように、理論は、のサブセットを指定する方法と見なすことができる。 ${\mathcal {E}}$ 真実の記述のみを含むもの。^{[ 1 ]}

この理論の一般的な指定方法は、その基本的な命題の真偽は、 $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ したがって、同じ基本的な命題が、ある理論においては真であっても、別の理論においては偽となる場合がある。これは、日常言語における「彼は正直な人だ」という命題が、「彼」が誰であるか、そしてそもそもこの理論において「正直な人」とは何であるかを解釈しなければ真偽を判断できない状況に似ている。^{[ 1 ]}

サブ理論と拡張

理論 $\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 理論のサブ理論である $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ もし $\displaystyle {\mathcal {S}}}$ は、 $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 。もし $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ は、 $\displaystyle {\mathcal {S}}}$ それから $\displaystyle {\mathcal {S}}}$ これは拡張または超理論と呼ばれます $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 。

演繹理論

理論が演繹的理論であるとは、 $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ は帰納クラスであり、その内容は形式的な演繹体系に基づいており、その基本命題のいくつかは公理として扱われます。演繹理論では、 1つ以上の公理の論理的帰結である文は、その理論の文でもあります。^{[ 1 ]}より厳密に言えば、 $\vdash$ がタルスキ型の帰結関係である場合、 $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 閉鎖中 $\vdash$ （したがって、その各定理は、その公理の論理的帰結である）すべての文について、 $\phi$ 理論の言葉で言えば $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 、もし ${\mathcal {T}}\vdash \phi$ 、それから $\displaystyle \phi \in \mathcal {T}}$ または、同等に、 $\displaystyle {\mathcal {T}}'}$ は有限部分集合である $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ （おそらく公理の集合） $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ （有限公理化可能な理論の場合） ${\mathcal {T}}'\vdash \phi$ 、それから $\phi \in {\mathcal {T}}'$ したがって $\displaystyle \phi \in \mathcal {T}}$ 。

一貫性と完全性

構文的に一貫性のある理論とは、基礎となる言語のすべての文を証明できるわけではない理論のことである（通常、文脈から明らかになる何らかの演繹体系に関して）。爆発原理を満たす演繹体系（例えば一階述語論理）においては、これは、φとその否定の両方をその理論から証明できるような文φが存在しないことを要求することと同等である。

充足可能な理論とは、モデルを持つ理論のことである。これは、その理論に含まれるすべての文を満たす構造Mが存在することを意味する。充足可能な理論は構文的に一貫している。なぜなら、その理論を満たす構造は、各文φに対して、φとφの否定のうちのどちらか一方だけを満たすからである。

一貫性のある理論は、構文的に一貫性のある理論として定義される場合もあれば、充足可能な理論として定義される場合もある。最も重要なケースである一階述語論理では、完全性定理から、この2つの意味が一致することが導かれる。^{[ 2 ]}二階述語論理などの他の論理では、ω-矛盾理論のように、充足不可能な構文的に一貫性のある理論が存在する。

完全無矛盾理論（または単に完全理論）は無矛盾理論である。 $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ その言語のすべての文φについて、φは証明可能である。 $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ または $\displaystyle {\mathcal {T}}}$ $\cup$ {φ} は矛盾している。論理的帰結に関して閉じている理論の場合、これは、すべての文 φ に対して、φ またはその否定のいずれかが理論に含まれていることを意味する。^{[ 3 ]}不完全な理論とは、完全ではない一貫性のある理論のことである。

（より厳密な意味での一貫性については、 ω整合理論も参照のこと。）

理論の解釈

理論の解釈とは、理論の特定の基本命題と対象に関する特定の命題との間に多対一の対応関係が存在する場合の、理論と対象との関係のことである。理論のすべての基本命題に対応する命題が存在する場合、それは完全な解釈と呼ばれ、そうでない場合は部分的な解釈と呼ばれる。^{[ 4 ]}

構造に関連する理論

各構造には、関連する理論がいくつか存在する。構造Aの完全理論は、 Aのシグネチャ上のすべての一階述語論理式のうち、Aによって満たされる式の集合である。これは Th( A ) と表記される。より一般的には、 σ 構造のクラスであるKの理論は、 K内のすべての構造によって満たされるすべての一階σ 文の集合であり、Th( K )と表記される。明らかに Th( A ) = Th({ A }) である。これらの概念は、他の論理体系に関しても定義することができる。

各σ構造Aに対して、 Aのドメインの各要素に新しい定数記号を1つ追加することでσを拡張する、より大きなシグネチャσ'には、いくつかの関連理論が存在する。（新しい定数記号が、それらが表すAの要素と同一視される場合、σ'はσとみなすことができる。） $\cup$ A) σ' の濃度は、σ の濃度とAの濃度のうち大きい方です。

Aの図式は、Aによって満たされるすべての原子 σ' 文または否定原子 σ' 文からなり、 diag _Aと表記されます。Aの正の図式は、 Aが満たすすべての原子 σ' 文の集合です。これは diag ⁺_Aと表記されます。Aの基本図式は、 Aによって満たされるすべての一階σ ' 文の集合 eldiag _A 、または同等に、 Aの自然展開のシグネチャ σ' の完全な (一階) 理論です。

一次理論

一次理論 ${\mathcal {QS}}$ は、一階述語論理の形式言語における文の集合である。 ${\mathcal {Q}}$ 。

一次理論における導出

一階述語論理には、多くの形式的な導出（「証明」）体系が存在する。これらには、ヒルベルト型の演繹体系、自然演繹、シーケント計算、タブロー法、分解法などが含まれる。

一階理論における統語的帰結

式Aは一階理論の構文的帰結である ${\mathcal {QS}}$ Aの導出が式のみを使用して行われる場合 ${\mathcal {QS}}$ 非論理的な公理として。このような式Aは、次の定理とも呼ばれます。 ${\mathcal {QS}}$ 表記「 ${\mathcal {QS}}\vdash A$ 「」は、 Aが定理であることを示しています。 ${\mathcal {QS}}$ 。

一次理論の解釈

一階理論の解釈は、その理論の式に意味論を与える。解釈が式を満たすとは、その解釈によれば式が真である場合をいう。一階理論のモデル ${\mathcal {QS}}$ は、すべての公式が ${\mathcal {QS}}$ 満足している。

同一性を持つ一階理論

一次理論 ${\mathcal {QS}}$ は、もし一階理論で、恒等式を持つならば ${\mathcal {QS}}$ これには、同一性関係記号 "=" と、この記号に対する反射律および置換律の公理体系が含まれます。

一次理論に関連するトピック

理論仕様

理論を直接的に定義する方法の一つは、形式言語で公理系を定義することである。そうすると、その理論にはこれらの公理と、それらが証明可能な帰結が含まれる。このようにして得られる理論には、ZFCやペアノ算術などがある。

理論を指定する2つ目の方法は、構造から始めて、その構造によって満たされる文の集合を理論とすることです。これは意味論的経路を通じて完全な理論を生成する方法であり、例として、自然数の集合Nにおける構造( N , +, ×, 0, 1, =)の下での真の文の集合、および実数の集合Rにおける構造( R , +, ×, 0, 1, =)の下での真の文の集合が挙げられます。これらのうち最初のものは、真の算術の理論と呼ばれ、任意の列挙可能な公理の集合の論理的帰結の集合として記述することはできません。( R , +, ×, 0, 1, =)の理論はタルスキによって決定可能であることが示されました。これは実閉体の理論です（詳細については、「実数の1階理論の決定可能性」を参照）。

参考文献

1 2 3 4 Haskell Curry、『数理論理学の基礎』、2010年。
↑ Weiss, William; D'Mello, Cherie (2015). "Fundamentals of Model Theory" (PDF) .トロント大学 - 数学科.
↑ 「完全性（論理学） - 数学百科事典」。www.encyclopediaofmath.org。2019年11月1日取得。
↑ハスケル・カリー（1963）。数理論理学の基礎。マグロウヒル。ここ：48ページ

さらに読む

ホッジス、ウィルフリッド（1997）。より簡潔なモデル理論。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-58713-1。

[curry-1] 1 2 3 4 Haskell Curry、『数理論理学の基礎』、2010年。

[2] Weiss, William; D'Mello, Cherie (2015). "Fundamentals of Model Theory" (PDF) .トロント大学 - 数学科.

[3] 「完全性（論理学） - 数学百科事典」。www.encyclopediaofmath.org。2019年11月1日取得。

[4] ハスケル・カリー（1963）。数理論理学の基礎。マグロウヒル。ここ：48ページ

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