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抽象代数学では、巡回群のすべての部分群は巡回群である。さらに、位数nの有限巡回群の場合、すべての部分群の位数はnの約数であり、各約数に対してちょうど 1 つの部分群が存在する。[ 1 ] [ 2 ]この結果は巡回群の基本定理と呼ばれている。[ 3 ] [ 4 ]
位数nの任意の有限群Gに対して、以下の命題は同値である。
どちらか一方（したがって両方）が真であれば、 nの任意の約数に対して、位数dの部分群がちょうど 1 つ存在することがわかる。この命題は、部分群による特徴付けなど、さまざまな名称で知られている。[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]（特徴付けについては、巡回群も参照のこと。）
巡回群以外の有限群で、すべての真部分群が巡回群であるという性質を持つものが存在する。クライン群はその一例である。しかし、クライン群は位数2の部分群を複数持つため、特徴付けの条件を満たさない。
無限巡回群は、整数の加法部分群Zと同型である。各整数dに対して、部分群d Zが 1 つ存在する ( dの倍数からなる)。自明群( d = 0 で生成される)を除いて、そのような部分群はすべてそれ自体が無限巡回群である。無限巡回群は1 つの生成元を持つ自由群であり (自明群は生成元を持たない自由群である)、この結果は、自由群のすべての部分群がそれ自体自由であるというNielsen–Schreier の定理の特殊な場合と見なすことができる。[ 8 ]
有限巡回群の基本定理は、各有限巡回群を無限巡回群の商群とみなすことにより、無限巡回群に関する同じ定理から確立することができる。[ 8 ]
有限の場合と無限の場合の両方において、巡回群の部分群の束は、可除性束の双対と同型である。有限の場合、位数nの巡回群の部分群の束は、 nの約数の束の双対と同型であり、各約数dに対して位数n / dの部分群が存在する。位数n / dの部分群は、 eがdの約数である場合に限り、位数n / eの部分群の部分群となる。無限巡回群の部分群の束も同様に、すべての正の整数の可除性束の双対として記述できる。無限巡回群が整数の加法群として表される場合、dによって生成される部分群は、 eがdの約数である場合に限り、eによって生成される部分群の部分群となる。[ 8 ]
可除性束は分配束であり、したがって巡回群の部分群の束も分配束である。これにより、有限巡回群の別の代替的な特徴付けが得られる。すなわち、有限巡回群は、部分群の束が分配束である有限群である。より一般的には、有限生成群は、その部分群の束が分配束である場合に限り巡回群であり、任意の群は、その部分群の束が分配束である場合に限り局所的に巡回群である。[ 9 ]有理数の加法群は、局所的に巡回群であり、部分群の分配束を持つが、それ自体は巡回群ではない群の例を提供する。