スーパータスク

哲学において、スーパータスクとは、有限の時間間隔内に連続して発生する可算無限の操作シーケンスです。 ^[1]操作の数が非可算無限になると、スーパータスクはハイパータスクと呼ばれます。各序数に対して 1 つのタスクを含むハイパータスクは、ウルトラタスクと呼ばれます。^{[2] 「スーパータスク」という用語は、}トムソンのランプを考案した哲学者ジェームズ F. トムソンによって造られました。「ハイパータスク」という用語は、クラークとリードによる同名の論文に由来しています。^[3]

スーパータスクへの関心の起源は、通常、エレアのゼノンに帰せられます。ゼノンは、運動は不可能であると主張しました。彼は次のように論じました。私たちの成長しつつある「移動者」、つまりアキレスが、A から B に移動したいとします。これを達成するには、A から B までの距離の半分を移動する必要があります。AB の中点から B に到達するには、アキレスはこの距離の半分を移動する必要があります。以下同様に続きます。彼がこれらの「移動」タスクの 1 つを何度実行しても、B に到着する前に実行する必要があるタスクがもう 1 つ残っています。したがって、ゼノンによれば、運動 (有限時間内にゼロ以外の距離を移動すること) はスーパータスクになります。ゼノンはさらに、スーパータスクは不可能である (移動ごとに別のタスクがある場合、このシーケンスをどのように完了できるでしょうか) と主張します。したがって、運動は不可能です。

ゼノンの議論は次の形式をとる:

1. 運動はスーパータスクである。なぜなら、任意の距離を移動するのに無限のステップが必要となるからである。
2. スーパータスクは不可能
3. したがって、動きは不可能である

その後の哲学者のほとんどは、常識を支持してゼノンの大胆な結論を拒否した。代わりに、彼らは議論を逆転させ、運動の可能性を当然のこととして背理法による証明として受け止めた。彼らは運動の可能性を受け入れ、ゼノンの議論にmodus tollens (逆説) を適用して、運動は超タスクではないか、すべての超タスクが不可能ではないという結論に達した。^{[引用が必要]}

ゼノン自身も、「アキレスと亀」という概念について論じています。アキレスが最速のランナーで、1 メートル/秒の速度で動いているとします。アキレスは、0.1 メートル/秒で動くことで有名な亀を追いかけます。しかし、亀は 0.9 メートル先からスタートします。常識的に考えると、アキレスはちょうど 1 秒後に亀に追いつくと思われますが、ゼノンはそうではないと主張します。ゼノンは、アキレスは必然的に亀がスタートした地点まで来なければならないが、それが達成される頃には、亀は既に別の地点に移動しているだろうと示唆しています。これが続き、アキレスが亀がいた地点に到達するたびに、亀はアキレスが追いつかなければならない新しい地点に到達していることになります。最初は0.9メートルだったものが、さらに0.09メートル、0.009メートルと無限に続く。これらの距離は非常に小さくなるが、有限のままであり、アキレスが亀を追いかけるのは終わりのない超大仕事となる。このパラドックスについては多くの論評がなされており、多くの人がこれは常識の抜け穴だと主張している。^[4]

ジェームズ・F・トムソンは、動作はスーパータスクではないと考え、スーパータスクはあり得ないということを断固として否定した。彼は、オンかオフのどちらかであるランプを考えた。時刻t = 0ではランプはオフで、t = 1/2でスイッチがオンになる。その後、スイッチは前回の半分の時間待ってからオンになる。トムソンは、スイッチが無限にオンになったt = 1での状態はどのようなものかと問う。彼は、その後オフにならなかった時間は決してなかったため、スイッチがオンになることはあり得ず、その逆もまた同様であると推論し、矛盾に至った。彼は、スーパータスクは不可能であると結論付けた。^[5]

ポール・ベナセラフは、トムソンの明らかな矛盾にもかかわらず、スーパータスクは少なくとも論理的には可能であると考えている。ベナセラフは、トムソンが概説した実験が t = 1 でのランプの状態を決定するものではないという点ではトムソンに同意している。しかし、t = 1 でのランプの状態は、それ以前の状態によって論理的に決定できないため、トムソンがこれから矛盾を導き出せるという点では同意していない。^{[引用が必要]}

現代の文献のほとんどは、超タスクの可能性を暗黙のうちに受け入れているベナセラフの子孫によるものである。超タスクの可能性を否定する哲学者は、トムソンのような理由で超タスクを否定するのではなく、無限の概念自体に不安を抱いていることが多い。もちろん例外もある。例えば、マクラフリンは、トムソンのランプは、実解析の変形である内部集合論で解析すると矛盾すると主張している。

もしスーパータスクが可能であるならば、ゴールドバッハ予想のような数論の未知の命題、あるいは決定不可能な命題の真偽は、すべての自然数の集合を力ずくで探すことによって有限の時間内に決定できるだろう。しかしながら、これはチャーチ＝チューリングのテーゼと矛盾する。直観主義にとってこれは問題であると主張する者もいる。なぜなら、直観主義者は、実際には証明できないもの（長すぎるか複雑すぎるため。例えば、ブーロスの「奇妙な推論」^[6]）だがそれでも「証明可能」であると考えられるものと、上記の意味で無限の力ずくで証明可能なものとを区別しなければならないからである 。

トムソンのランプは、光速よりも速い速度で動く部品（ランプのスイッチなど）が必要なため、物理的に不可能であると主張する人もいます。アドルフ・グリュンバウムは、ランプにワイヤーのストリップを付けて、持ち上げると回路が遮断され、ランプが消えるようにすれば、ランプを消すたびにこのストリップを少しずつ持ち上げて、一定の速度を維持できるのではないかと提案しています。

しかし、このような設計は最終的には失敗するでしょう。なぜなら、最終的には接点間の距離が小さくなりすぎて、電子がギャップを飛び越えてしまい、回路がまったく壊れなくなるからです。それでも、人間やデバイスがランプの状態を認識したり、それに応じて行動したりするには、何らかの測定を行う必要があります。たとえば、ランプからの光が目やセンサーに届く必要があります。

このような測定は、どんなに短い時間であっても一定の時間枠を要し、したがって、ある時点で状態の測定は不可能になります。t = 1 の状態は原理的にも決定できないため、ランプがオンかオフかを言うことは意味がありません。

物理的に可能な他のスーパータスクも提案されています。1 つの提案では、1 人の人物 (またはエンティティ) が 1 から数えて無限の時間をかけ、もう 1 人の人物が有限の時間空間でこれが発生するという参照フレームからこれを観察します。カウンターにとってはこれはスーパータスクではありませんが、観察者にとってはスーパータスクです。(これは理論的には時間の遅れによって発生する可能性があります。たとえば、特異点に対して位置が固定されているカウンターを観察しながら観察者がブラックホールに落ち込んでいる場合などです。)

グスタボ・E・ロメロは論文「スーパータスクの崩壊」^[7]の中で、スーパータスクを実行しようとするとブラックホールが形成され、スーパータスクは物理的に不可能になると主張している。

スーパータスクが理論計算機科学に与えた影響は、ハムキンスとルイスの「無限時間チューリングマシン」など、いくつかの新しく興味深い研究を引き起こした。^[8]

無限個のビー玉を入れることができる瓶と、1、2、3、…とラベルが付けられたビー玉の無限のコレクションがあるとします。t = 0 の時点で、1 から 10 までのビー玉が瓶に入れられ、ビー玉 1 が取り出されます。t = 0.5 の時点で、11 から 20 までのビー玉が瓶に入れられ、ビー玉 2 が取り出されます。t = 0.75 の時点で、21 から 30 までのビー玉が瓶に入れられ、ビー玉 3 が取り出されます。一般に、t = 1 − 0.5 ⁿの時点で、10 n + 1 から 10 n + 10 までのビー玉が瓶に入れられ、ビー玉n + 1 が取り出されます。 t = 1 の時点で、瓶の中にはビー玉がいくつありますか。

1 つの議論では、 t = 1より前の各ステップでビー玉の数が前のステップから無制限に増加するため、瓶の中には無限のビー玉があるはずだとしています。しかし、 2 番目の議論では、瓶は空であることを示しています。次の議論を考えてみましょう。瓶が空でない場合は、瓶の中にビー玉があるはずです。そのビー玉に番号nのラベルが付いているとします。しかし、時間t = 1 − 0.5 ^{n - 1}では、n番目のビー玉が取り出されているため、ビー玉n は瓶の中にあるはずがありません。これは矛盾であるため、瓶は空でなければなりません。ロス–リトルウッドのパラドックスは、ここでは一見完全に正しい 2 つの議論がまったく反対の結論に達していることです。

JAベナルデテの「神々のパラドックス」には大きな関心が寄せられている。 ^[9]

ある人がα地点から1マイル歩く。しかし、他の神々には知られずに、彼の邪魔をしようとする無数の神々がいる。そのうちの1人は、彼が半マイルの地点に到達したら、彼の前進を止める障壁を立てるだろう。2人目は1/4マイルの地点に到達したら、3人目は1/8マイル進んだら、というように、無限に続く。そのため、彼は出発することさえできない。なぜなら、彼がどれだけ短い距離を歩いたとしても、すでに障壁に阻まれているからだ。しかし、その場合、障壁は立たないので、彼が出発するのを妨げるものは何もない。彼は、神々の意図が果たされなかったために、今いる場所に留まらざるを得ないのだ。^[10]

—  M. クラーク『パラドックス A から Z まで』

無限の暗殺者に関するJAベナルデテのパラドックス^[11] に触発されて、デイヴィッド・チ​​ャーマーズはそのパラドックスを次のように説明しています。

死神は数え切れないほど多く、正の整数ごとに 1 人ずつ存在します。死神 1 は、あなたがまだ生きている場合に限り、午後 1 時に鎌であなたを殺そうとします (そうでなければ、死神 1 の鎌はずっと動かないままです)。それには 30 分かかります。死神 2 は、あなたがまだ生きている場合に限り、午後 12 時 30 分に鎌であなたを殺そうとします。それには 15 分かかります。死神 3 は、午後 12 時 15 分に鎌であなたを殺そうとします、というように続きます。あなたは午後 12 時直前まで生きており、死神の鎌の動きによってのみ死ぬことができ、一度死んだら死んだままです。一見すると、この状況は考えられそうです。つまり、それぞれの死神は個別に、本質的に考えられ、異なる本質的特性を持つ異なる個人を 1 つの状況に組み合わせることは合理的であるように思われます。しかし、少し考えてみると、説明されている状況は矛盾していることがわかります。私は午後12時を過ぎると生き残ることはできません（死神が先に私を捕まえるでしょう）が、私は殺されることはありません（死神nが私を殺すには、私は死神n +1を生き延びていなければなりませんが、それは不可能です）。^[12]

これは哲学において有限の過去を主張する際に用いられることで重要性を増し、カラム宇宙論的論証と関連性を持つようになった。^{[13] [14] [15] [16]}

E.ブライアン・デイヴィス[ ^17]が提案したこのマシンは、30分以内に自分自身の半分のサイズで複製速度が2倍の正確なレプリカを作成できる。このレプリカは、同じ仕様でさらに高速なバージョンを作成し、1時間後に終了するスーパータスクを実現します。さらに、マシンが親マシンと子マシンの間に通信リンクを作成して帯域幅を連続的に高速化し、マシンが簡単な算術演算を実行できる場合、マシンを使用して未知の推測のブルートフォース証明を実行できます。ただし、デイヴィスは、量子力学、熱雑音、情報理論などの現実の宇宙の基本的な特性により 、彼のマシンを実際に構築することはできないとも指摘しています。

• 実在の無限 – 数学の哲学における概念
• NP（複雑度）  – 意思決定問題を分類するために使用される複雑度クラス
• 集合論のパラドックス
• トランスコンピュテーショナル問題 – 計算問題のクラス
• 超限数 – すべての有限数より大きい数
• ゼノマシン – 仮説的計算モデル

• トムソン、ジェームズ F. (1954年10 月)。「タスクとスーパータスク」。分析。15 (1): 1–13。doi : 10.2307/3326643。JSTOR 3326643  。

• スタンフォード哲学百科事典のスーパータスクに関する記事
• Cooke, Martin C. (2003). 「無限シーケンス: 有限主義的帰結」. Br. J. Philos. Sci . 54 (4): 591–599. doi :10.1093/bjps/54.4.591.
• スーパータスク - Vsauce (YouTube)
• インフィニティマシン