非標準微積分

数学において、非標準微積分とは、非標準解析の意味での無限小の概念を、微積分に現代的に応用したものである。これは、これまで単なる経験則と考えられていた微積分におけるいくつかの議論に、厳密な正当性を与えるものである。

カール・ワイエルシュトラスが1870年代から極限の(ε, δ)定義に置き換えようとするまで、無限小を用いた厳密でない計算が広く用いられていた。その後約100年間、リチャード・クーラントなどの数学者は無限小を素朴で曖昧、あるいは無意味なものとみなしていた。^{[ 1 ]}

こうした見解とは対照的に、アブラハム・ロビンソンは1960年に、エドウィン・ヒューイットとイェジー・ウォシュの研究に基づいて、無限小は正確で明快かつ意味のあるものであることを示した。ハワード・キースラーによれば、「ロビンソンは、無限小を正確に扱うことで300年来の問題を解決した。ロビンソンの業績は、おそらく20世紀の主要な数学的進歩の1つとして数えられるだろう。」^{[ 2 ]}

非標準微積分の歴史は、微積分で無限小と呼ばれる無限小量の使用から始まった。無限小の使用は、 1660年代からゴットフリート・ライプニッツとアイザック・ニュートンによって独立に開発された微積分の基礎に見出すことができる。ジョン・ウォリスは、カヴァリエリらの不可分量の初期の手法を、彼が記した無限小量を利用して改良した。${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}}$面積計算において、積分計算の基礎を築いた。^{[ 3 ]}彼らはピエール・ド・フェルマー、アイザック・バロー、ルネ・デカルトなどの数学者の業績を参考にした。

初期の微積分学では、微小量の使用は多くの著者によって批判され、中でもミシェル・ロールと、著書『解析学者』の中でバークレー司教が批判した。

マクローリンやダランベールをはじめとする数人の数学者は、極限の利用を提唱した。オーギュスタン・ルイ・コーシーは、無限小を用いた連続性の定義や、微分を扱う際のε、δ引数の（やや不正確な）原型など、多岐にわたる基礎的アプローチを開発した。カール・ワイエルシュトラスは、無限小を用いない（実）数体系において極限の概念を形式化した。ワイエルシュトラスの研究に続いて、微積分学の基礎を無限小ではなくε、δ引数にすることが次第に一般的になった。

ワイエルシュトラスによって形式化されたこのアプローチは、標準微積分として知られるようになった。微積分への無限小アプローチは、入門的な教育ツールとして以外では長年使われなくなっていたが、1960年代にアブラハム・ロビンソンによってようやく無限小量の使用に厳密な基礎が与えられた。ロビンソンのアプローチは、標準的な極限の使用と区別するために非標準解析と呼ばれている。このアプローチは、数学論理の技術的な仕組みを用いて、無限小をライプニッツのような方法で解釈し、通常の微積分の規則を展開できるような超実数の理論を作り出した。エドワード・ネルソンによって開発された別のアプローチでは、無限小を通常の実数直線自体に見出し、新しい単項述語「標準」を導入することによってZFCを拡張し、基礎設定を修正している。

導関数を計算するには${\displaystyle f'}$関数の${\displaystyle y=f(x)=x^{2}}$xにおいて、両方のアプローチは代数的な操作に関して一致している。

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x\approx 2x}$

これは、超実数を用いた導関数の計算となる。${\displaystyle \Delta x}$は無限小として解釈され、記号「${\displaystyle \approx }$「は無限に近い」という関係です。

f ' を実数値関数にするために、最後の項${\displaystyle \Delta x}$は不要になります。実数のみを使用する標準的なアプローチでは、極限を取ることでそれが実現されます。${\displaystyle \Delta x}$ゼロに近づく。超現実アプローチでは、その量は${\displaystyle \Delta x}$は無限小、つまりゼロでない実数よりもゼロに近い非ゼロ数とみなされる。上記の操作は、次のことを示している。${\displaystyle \デルタ y/\デルタ x}$は 2 xに限りなく近いので、 xにおけるfの導関数は 2 xになります。

「誤差項」を除外するには、標準部分関数を適用すればよい。微小誤差項を除外することは、歴史的に一部の著述家、特にジョージ・バークレーによって逆説的だと考えられていた。

超実数システム（無限小で強化された連続体）が確立されると、基礎レベルで技術的な困難の大部分をうまく取り込むことができる。したがって、解析の本質であると考える人もいるイプシロン、デルタの手法は、基礎レベルで一度きりで実装でき、最近の研究[4]を引用すると、学生は「無限小の微積分を教えられているふりをして、多重量化子の論理的スタントを行うように着飾る^」必要はない。より具体的には、連続性、微分、積分などの微積分の基本概念は^{、イプシロン、デルタを参照することなく、}無限小を使用して定義できる。

Keisler著『初等微積分：無限小アプローチ』では、125ページで連続性を無限小を用いて定義しており、イプシロン・デルタ法は使用していません。導関数は45ページでイプシロン・デルタ法ではなく無限小を用いて定義されています。積分は183ページで無限小を用いて定義されています。イプシロン・デルタ法による定義は282ページで紹介されています。

超実数は、数学の他の分野でも用いられている集合論の標準的な公理化であるツェルメロ＝フレンケル集合論の枠組みの中で構築することができる。超実数アプローチを直感的に理解するために、素朴に言えば、非標準解析は無限に小さい正の数εの存在を仮定していることに注意すべきである。つまり、εは任意の標準的な正の実数よりも小さく、かつゼロより大きい。すべての実数xは、それに無限に近づく超実数の無限小の「雲」に囲まれている。このアプローチでは、標準的な実数xにおけるfの導関数を定義するために、標準的な微積分のように無限の極限操作はもはや必要ない。代わりに、次のように設定する。

${\displaystyle f'(x)=\mathrm {st} \left({\frac {f^{*}(x+\varepsilon )-f^{*}(x)}{\varepsilon }}\right),}$

ここで、stは標準部分関数であり、 stの超実数引数に無限に近づく実数を生成する。${\displaystyle f^{*}}$は自然な延長です${\displaystyle f}$超現実の世界へ。

実関数fが標準実数xにおいて連続であるとは、 xに無限に近づく任意の超実数x'に対して、 f ( x' ) の値もf ( x )に無限に近づくことをいう。これは、コーシーが1821 年に著した教科書『解析学講義』 34ページで提示した連続性の定義を捉えている。 

正確に言うと、f は通常f ^*で表されるその自然な超実数拡張に置き換えられる必要がある。

表記法を用いて${\displaystyle \approx }$上記のように無限に近い関係については、定義を任意の（標準または非標準の）点に以下のように拡張することができる。

関数fは、次の場合にxでマイクロ連続である。${\displaystyle x'\approx x}$1つは${\displaystyle f^{*}(x')\approx f^{*}(x)}$

ここでは、点 x' はf (の自然な拡張) の定義域内にあると仮定します。

上記は、標準的な初等微積分でよく知られている（ε、δ）定義よりも少ない量化子で済む。 

fがxで連続であるとは、任意のε  >  0 に対して、任意の x' に対して、| x − x' | < δ のとき、| f ( x ) − f ( x ' ) | < εとなるよう なδ > 0 が存在することである。         

区間I上の関数fは、 I *におけるその自然な拡張f *が次の性質を持つ場合、一様連続である。 ^{[ 5 ]}

I *の任意の超実数xとyのペアについて、もし${\displaystyle x\approx y}$それから${\displaystyle f^{*}(x)\approx f^{*}(y)}$。

前節で定義したミクロ連続性の観点から言えば、これは次のように述べることができます。実関数f*は、その自然拡張f*がf*の定義域のすべての点でミクロ連続である場合に、一様連続であると言えます。

この定義は、標準的な(ε,  δ) 定義と比較して、量化子の複雑さが軽減されています。具体的には、一様連続性のイプシロン-デルタ定義では 4 つの量化子が必要ですが、無限小定義では 2 つの量化子しか必要ありません。これは、標準的な微積分における数列を用いた一様連続性の定義と同じ量化子の複雑さを持ちますが、実数の一次言語では表現できません。

超現実の定義は、以下の3つの例で説明できる。

例 1: 関数fが半開区間 (0,1] 上で一様連続であるのは、その自然拡張 f* が、区間の標準点における連続性に加えて、すべての正の無限小においてマイクロ連続 (上記の式の意味で) である場合に限る。

例2：関数fが半開区間[0,∞)上で一様連続であるのは、その区間の標準点で連続であり、さらに自然拡張f *がすべての正の無限超実数点で微視的に連続である場合に限る。

例３：同様に、二乗関数の一様連続性の破綻

${\displaystyle x^{2}}$

これは、単一の無限超実数点における微視的連続性の欠如に起因する。

量化子の複雑さに関して、ケビン・ヒューストンは次のように述べている。^{[ 6 ]}

数学的記述における量化子の数は、その記述の複雑さを大まかに示す指標となる。3つ以上の量化子を含む記述は理解しにくい場合がある。解析学における極限、収束、連続性、微分可能性の厳密な定義が理解しにくい主な理由は、これらの定義に多くの量化子が含まれているためである。実際、それは、${\displaystyle \forall }$そして${\displaystyle \exists }$それが複雑さの原因となる。

アンドレアス・ブラスは次のように書いている。

多くの場合、概念の非標準的な定義は標準的な定義よりも単純である（直感的にも技術的にも単純であり、例えば、より低い型に対する量化子や量化子の交替が少ないなど）。^{[ 7 ]}

集合 A がコンパクトであるのは、その自然拡張 A* が次の性質を持つ場合に限る。すなわち、A* のすべての点が A の点に無限に近づく。したがって、開区間 (0,1) はコンパクトではない。なぜなら、その自然拡張には、正の実数に無限に近づかない正の無限小が含まれるからである。

コンパクト区間I上の連続関数は必ず一様連続であるという事実（ハイネ・カントール定理）は、簡潔な超実数証明を可能にする。xとyをIの自然な拡張I*内の超実数とする。Iはコンパクトであるため、st( x ) と st( y ) はともにIに属する。x と y が無限に近ければ、三角不等式により、それらは同じ標準部分を持つことになる。

${\displaystyle c=\operatorname {st} (x)=\operatorname {st} (y).}$

関数はcで連続であると仮定されるため、

${\displaystyle f(x)\approx f(c)\approx f(y),}$

したがって、f ( x )とf ( y )は無限に近く、fの一様連続性が証明される。

f ( x ) = x²は^、${\displaystyle \mathbb {R} }$。 させて$\displaystyle N\in \mathbb {R} ^{*}}$無限超実数である。超実数${\displaystyle N+{\tfrac {1}{N}}}$はNに限りなく近い。一方、その差は

${\displaystyle f(N+{\tfrac {1}{N}})-f(N)=N^{2}+2+{\tfrac {1}{N^{2}}}-N^{2}=2+{\tfrac {1}{N^{2}}}}$

は無限小ではない。したがって、f* は超実数点Nにおいて微視的に連続ではない。ゆえに、上記の一様連続性の定義によれば、二乗関数は一様連続ではない。

同様の証明は標準的な設定でも与えることができる（Fitzpatrick 2006 、例3.15）。

ディリクレ関数を考えてみましょう

${\displaystyle I_{Q}(x):={\begin{cases}1&{\text{xが有理数の場合}},\\0&{\text{xが無理数の場合}}.\end{cases}}}$

連続性の標準的な定義の下では、関数はすべての点で不連続であることはよく知られています。これを上記の超実数的な連続性の定義で確認してみましょう。たとえば、ディリクレ関数が π で連続ではないことを示してみましょう。π の連分数近似 a _{n を}考えます。ここで、指数 n を無限の超自然数とします。転送原理により、ディリクレ関数の自然拡張は a _nで値 1 をとります。超有理数点 a _nは π に無限に近接していることに注意してください。したがって、ディリクレ関数の自然拡張は、これら 2 つの無限に近接した点で異なる値 (0 と 1) をとり、したがってディリクレ関数はπで連続ではありません。 

ロビンソンのアプローチの要点は、複数の量化子を使用するアプローチを省略できるということだが、極限の概念は、標準部分関数stの観点から容易に再現できる。

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

差x − aが無限小である場合、差f ( x ) − Lも無限小である場合に限り、または式で表すと次のようになる。    

st( x ) = a  ならば st( f ( x )) = L、

参照。(ε, δ)-極限の定義。

実数列が与えられた${\displaystyle \{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$、 もし${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$Lは数列の極限であり、

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

すべての無限超自然数nに対して、st( x _n )= Lが成り立つ場合（ここでは、すべての超整数nに対してx _nを定義するために拡張原理が使用されています）。

この定義には量化子の交替はありません。一方、標準的な(ε, δ)形式の定義には量化子の交替があります。

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} \;,\forall n\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow |x_{n}-L|<\varepsilon .}$

区間 [0,1] 上の実連続関数fが最大値を持つことを示すために、N を無限超整数とする。区間 [0,  1] は自然な超実拡張を持つ。関数fも自然に 0 から 1 の間の超実数に拡張される。超実数区間 [0,1] を、等しい無限小の長さ 1/ NのN個の部分区間に分割し、 iが 0 からNまで「走る」ときの分割点x _i = i / Nを考える。標準的な設定 ( Nが有限の場合) では、帰納法により、 fの最大値を持つ点は常にN +1 個の点x _iの中から選択できる。したがって、転送原理により、0 ≤ i ₀ ≤ Nとなる超整数i ₀が存在し、    ${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$すべてのi  =  0,  …, Nについて（別の説明としては、すべての超有限集合は最大値を持つということである）。実数点を考える 

${\displaystyle c={\rm {st}}(x_{i_{0}})}$

ここでstは標準部分関数です。任意の実数点xは、分割の適切な部分区間、すなわち、${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$、したがってst ( x _i )  = xとなります。不等式にstを適用すると${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$、${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))\geq {\rm {st}}(f(x_{i}))}$fの連続性により、

${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))=f({\rm {st}}(x_{i_{0}}))=f(c)}$。

したがって、すべてのxに対してf ( c )  ≥ f ( x ) となり、 c が実関数fの最大値であることが証明される。^{[ 8 ]}

ロビンソンのアプローチの有効性を示すもう一つの例として、中間値の定理（ボルツァーノの定理）を無限小を用いて簡潔に証明する方法を以下に示します。

[ a , b ]上でf が連続関数であり、 f ( a )<0 かつf ( b )>0 であるとする。このとき、 [ a , b ] 内にf ( c )=0となる点cが存在する。

証明は次のように進む。Nを無限超整数とする。[ a , b ]をN 個の等しい長さの区間に分割し、 i が0 からNまで変化するときの分割点をx _iとする。f ( x _i )>0となるインデックスの集合Iを考える。i 0_をIの最小要素とする（ Iは超有限集合であるため、転送原理によりそのような要素が存在する）。すると実数 $${\displaystyle c=\mathrm {st} (x_{i_{0}})}$$はf の望ましい零点である。このような証明は、IVT の標準的な証明における量化子の複雑さを軽減する。

f が区間 [ a , b ] 上で定義された実数値関数である場合、 fに適用される転送演算子 ( *fと表記) は、超実数値区間 [* a , * b ] 上で定義された内部超実数値関数です。

定理：区間 [ a , b ]上で定義された実数値関数fを考える。このとき、fがa < x < bで微分可能であるのは、すべての非ゼロの無限小hに対して、値が

${\displaystyle \Delta _{h}f:=\operatorname {st} {\frac {[{}^{*}\!f](x+h)-[{}^{*}\!f](x)}{h}}}$

hに依存しない。その場合、共通の値はxにおけるfの導関数である。

この事実は、非標準分析とオーバーフローの伝達原理から導かれる。

なお、微小量hの符号が適切に制限されていれば、端点a、bにおける微分可能性についても同様の結果が得られることに注意されたい。

第２の定理では、リーマン積分は、ある有向リーマン和族の極限（存在する場合）として定義される。これらの和は次の形式である。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

どこ

${\displaystyle a=x_{0}\leq \xi _{0}\leq x_{1}\leq \ldots x_{n-1}\leq \xi _{n-1}\leq x_{n}=b.}$

このような値のシーケンスはパーティションまたはメッシュと呼ばれ、

${\displaystyle \sup _{k}(x_{k+1}-x_{k})}$

メッシュの幅。リーマン積分の定義では、メッシュの幅が0に近づくときのリーマン和の極限が取られます。

定理：区間 [ a , b ]上で定義された実数値関数fを考える。このとき、fが [ a , b ]上でリーマン積分可能であるのは、無限小幅の任意の内部メッシュに対して、量

${\displaystyle S_{M}=\operatorname {st} \sum _{k=0}^{n-1}[*f](\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

メッシュに依存しない。この場合、共通の値は[ a , b ] 上のfのリーマン積分である。

直接的な応用例の一つとして、微分と積分の標準的な定義を、超実数の区間における内部関数に拡張することが挙げられる。

[ a, b ]上の内部超実数値関数fは、以下の条件を満たす場合、xにおいてS微分可能である。

${\displaystyle \Delta _{h}f=\operatorname {st} {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

は存在し、微小量hに依存しない。その値は、xにおけるS微分である。

定理：fが [ a, b ]のすべての点でS微分可能であると仮定する。ただし、 b − aは有界超実数である。さらに、

${\displaystyle |f'(x)|\leq M\quad a\leq x\leq b.}$

そして、ある微小なεに対して

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(ba)+\epsilon .}$

これを証明するために、N を非標準の自然数とする。区間 [ a , b ]を、 N − 1 個の等間隔の中間点を配置することによって、 N個の小区間に分割する。

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$

それから

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|\leq \sum _{k=1}^{N-1}\left\{|f'(x_{k})|+\epsilon _{k}\right\}|x_{k+1}-x_{k}|.}$

さて、任意の内部無限小集合の最大値は無限小です。したがって、すべての ε _kは無限小 ε によって支配されます。したがって、

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}(M+\epsilon )(x_{k+1}-x_{k})=M(ba)+\epsilon (ba)}$

そこから結果が導き出される。

• 不平等
• アルキメデスによる無限小の利用
• 非標準分析に対する批判
• 微分（数学）
• 初等微積分：無限小アプローチ
• 非古典的分析
• 微積分学の歴史

• フィッツパトリック、パトリック（2006）、『高等微積分』、ブルックス/コール
• H. ジェローム・ケイスラー著：『初等微積分：無限小を用いたアプローチ』。初版1976年、第2版1986年。（本書は現在絶版です。出版社は著作権を著者に返還しており、著者は第2版をPDF形式で公開し、https://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.htmlからダウンロードできるようにしています。）
• H. ジェローム・ケイスラー著『微積分学の基礎』は、 https://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.htmlからダウンロードできます（2007年1月10日）。
• Blass, Andreas (1978)、「書評：Martin Davis著『応用非標準解析』、KD StroyanおよびWAJ Luxemburg著『無限小理論入門』、H. Jerome Keisler著『無限小微積分学の基礎』」、Bull. Amer. Math. Soc.、84 (1): 34–41、doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2
• バロン、マーガレット・E .：微積分学の起源。パーガモン・プレス、オックスフォード・エジンバラ・ニューヨーク、1969年。ドーバー出版、ニューヨーク、1987年。（バロンの著書の新版は2004年に出版された）
• 「微積分」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]

• Keisler, H. Jerome (2007).初等微積分：無限小アプローチ. Dover Publications. ISBN 978-0-48-648452-5。オンライン版（2022年）

• ヘンレ、ジェームス M.クラインバーグ、ユージン M. (1979)。無限微積分。ドーバー出版。ISBN 978-0-48-642886-4。インターネットアーカイブにある微積分学

• ベンジャミン・クロウェル著『Brief Calculus』（2005年、2015年改訂）。この短いテキストは、教室での使用よりも、自習や復習を目的としています。必要に応じて無限小が使用され、トンプソンの『Calculus Made Easy』のような古い書籍よりも厳密に扱われていますが、ケイスラーの『Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals』ほど詳細ではありません。