ループスペース

数学の一分野である位相幾何学において、点付き位相空間Xのループ空間Ω Xは、 X内の（基底付き）ループの空間、すなわち、点付き円S ^1からXへの連続点付き写像であり、コンパクト開位相を備えている。2 つのループは連結によって乗算することができる。この操作により、ループ空間はA _∞空間となる。つまり、乗算はホモトピー的に結合的である。

Ω Xのパス成分の集合、すなわちXの基底ループの基底ホモトピー同値類の集合は群であり、基本群π ₁ ( X )である。

Xの反復ループ空間は、Ωを複数回適用することによって形成される。

基点を持たない位相空間にも同様の構成要素がある。位相空間Xの自由ループ空間は、コンパクト開位相を持つ円S ^1からXへの写像の空間である。 Xの自由ループ空間はしばしば次のように表される。$\displaystyle {\mathcal {L}}X}$。

ファンクターとして、自由ループ空間構成は円との直積に右随伴し、ループ空間構成は縮約サスペンションに右随伴する。この随伴性は、安定ホモトピー理論におけるループ空間の重要性の大部分を説明する。（コンピュータ科学における関連現象として、直積がホモトピーファンクターに随伴するカリー化がある。）非公式には、これはエックマン・ヒルトン双対性と呼ばれる。

ループ空間は、同じ空間のサスペンションと双対である。この双対性は、エックマン・ヒルトン双対性と呼ばれることもある。基本的な観察は次のとおりである。

${\displaystyle [\Sigma Z,X]\approxeq [Z,\Omega X]}$

どこ${\displaystyle [A,B]}$は写像のホモトピー類の集合である。${\displaystyle A\rightarrow B}$、 そして${\displaystyle \Sigma A}$Aの懸垂であり、${\displaystyle \approxeq }$は自然同相写像を表します。この同相写像は、本質的にはカリー化の同相写像であり、生成物を簡約生成物に変換するために必要な商を除いたものです。

一般的に、${\displaystyle [A,B]}$任意の空間に対して群構造を持たない${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$しかし、次のことが示せる。${\displaystyle [\Sigma Z,X]}$そして${\displaystyle [Z,\Omega X]}$自然なグループ構造を持つ${\displaystyle Z}$そして${\displaystyle X}$は点付きであり、前述の同型写像はそれらの群のものである。^{[ 1 ]} したがって、と設定すると${\displaystyle Z=S^{k-1}}$（${\displaystyle k-1}$球体）は関係性を与える

$\displaystyle \pi _{k}(X)\approxeq \pi _{k-1}(\Omega X)$。

これは、ホモトピー群が次のように定義されることから導かれる。${\displaystyle \pi _{k}(X)=[S^{k},X]}$そして球体は互いに懸濁させることで得られる。${\displaystyle S^{k}=\Sigma S^{k-1}}$[ ^{2 ]​}

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• アダムス、ジョン・フランク（1978）「無限ループ空間」、数学研究年報、第 90巻、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-08207-3MR 0505692​ 
• May, J. Peter (1972)、「反復ループ空間の幾何学」、Lecture Notes in Mathematics、第 271巻、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi：10.1007/BFb0067491、ISBN 978-3-540-05904-2MR 0420610​