多重極展開は、 角度 に依存する関数 を表す数学的級数 です。通常、 3次元ユークリッド空間では 球面座標系 で使用される2つの角度（極角 と方位 角）が使用されます。R 3 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 多重極展開は、テイラー級数 と同様に、多くの場合、最初の数項だけで元の関数の良い近似が得られるため有用です。展開される関数は実 数値または複素数 値であり、 で定義されます。R 3 \displaystyle \mathbb {R} ^{3}} R n \displaystyle \mathbb {R} ^{n}} n {\displaystyle n}
多重極展開は、電磁場 や重力場 の研究で頻繁に用いられ、遠方の点における場は、小さな領域内の発生源によって表されます。角度による多重極展開は、半径 による展開と組み合わされることがよくあります。このような組み合わせにより、3次元空間全体にわたる関数を表す展開が得られます。[ 1 ]
多重極展開は、より細かい角度特性（モーメント ）を持つ項の和として表されます。最初の項（0次）は単極 モーメント、2番目の項（1次）は双極 モーメント、3番目の項（2次）は四極 モーメント、4番目の項（3次）は八極モーメント、5番目の項（4次）は十六極モーメントなどと呼ばれます。ギリシャ数字の接頭辞 の制限により、高次の項は慣習的に極の数に「-極」を付けて命名されます。例えば、32極（まれにdotriacontapoleまたはtriacontadipole）、64極（まれにtetrahexacontapoleまたはhexacontatetrapole）などです。[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] べき乗（または逆べき乗）と、ある程度の角度依存性を含みます。
原理的には、多重極展開は電位を正確に記述し、一般的に次の2つの条件で収束します 。(1) 源（電荷など）が原点の近くに局在し、電位が観測される点が原点から遠い場合、または(2) その逆、つまり源が原点から遠く、電位が原点の近くで観測される場合。最初の（より一般的な）ケースでは、級数展開の係数は外部多重極モーメント または単に多重極モーメントと呼ばれ、2番目のケースでは、 内部多重極モーメント と呼ばれます。
球面調和関数による展開 最も一般的には、この級数は球面調和関数 の和として表されます。したがって、関数は次のように表すことができます。f （ θ 、 φ ） {\displaystyle f(\theta ,\varphi )} f （ θ 、 φ ） = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ C ℓ m Y ℓ m （ θ 、 φ ） {\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }\,C_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )} Y ℓ m （ θ 、 φ ） {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )} C ℓ m {\displaystyle C_{\ell }^{m}} C 0 0 {\displaystyle C_{0}^{0}} C 1 − 1 、 C 1 0 、 C 1 1 {\displaystyle C_{1}^{-1},C_{1}^{0},C_{1}^{1}} [ 6 ] f （ θ 、 φ ） = C + C 私 n 私 + C 私 j n 私 n j + C 私 j k n 私 n j n k + C 私 j k ℓ n 私 n j n k n ℓ + ⋯ {\displaystyle f(\theta ,\varphi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\cdots } n 私 {\displaystyle n^{i}} 単位ベクトル の成分を表すθ {\displaystyle \theta } φ {\displaystyle \varphi } 暗黙的に合計され ます。ここで、項C {\displaystyle C} C 私 {\displaystyle C_{i}}
上記の展開では、係数は実数 または複素数 となる可能性があります。ただし、多重極展開として表される関数が実数である場合、係数は特定の性質を満たす必要があります。球面調和展開では、次の条件を満たす必要があります。 C ℓ − m = （ − 1 ） m C ℓ m * 。 {\displaystyle C_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}C_{\ell }^{m\ast }\,.} C = C * ; C 私 = C 私 * ; C 私 j = C 私 j * ; C 私 j k = C 私 j k * ; … {\displaystyle C=C^{\ast };\ C_{i}=C_{i}^{\ast };\ C_{ij}=C_{ij}^{\ast };\ C_{ijk}=C_{ijk}^{\ast };\ \ldots }
スカラー 関数の展開は多重極展開の最も一般的な応用例ですが、任意のランクのテンソルを記述するように一般化することもできます。 [ 7 ] これは、電磁気学におけるベクトルポテンシャルの多重極展開や、 重力波 の記述における計量摂動などに利用されています。
座標原点から離れた3次元関数を記述する場合、多重極展開の係数は原点からの距離の関数として記述できます。r {\displaystyle r} ローラン 級数のべき乗としてr {\displaystyle r} 電磁ポテンシャル を記述するには、V {\displaystyle V} V （ r 、 θ 、 φ ） = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ C ℓ m （ r ） Y ℓ m （ θ 、 φ ） = ∑ j = 1 ∞ ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ D ℓ 、 j m r j Y ℓ m （ θ 、 φ ） 。 {\displaystyle V(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell }^{m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}
アプリケーション 多重極展開は、質量 系の重力場 、電荷 および電流分布の電場と磁場、 電磁波 の伝播などに関する問題で広く用いられています。古典的な例としては、原子核の電子軌道の内部 多重極との相互作用エネルギーから原子核の 外部 多重極モーメントを計算することが挙げられます。原子核の多重極モーメントは、原子核内の電荷分布、ひいては原子核の形状を示します。多重極展開を最初の非ゼロ項で打ち切ることは、理論計算においてしばしば有用です。
多重極展開は数値シミュレーションでも有用であり、相互作用する粒子 系のエネルギーと力を効率的に計算するための一般的な手法である、グリーングラード とロクリン による高速多重極法 の基礎を形成している。基本的な考え方は、粒子をグループに分解することである。グループ内の粒子は通常通り（すなわち、完全なポテンシャルによって）相互作用するが、粒子グループ間のエネルギーと力は、それらの多重極モーメントから計算される。高速多重極法の効率は一般的にエバルト和法 と同程度であるが、粒子がクラスター状になっている場合、すなわち系に大きな密度変動がある場合は、より優れている。
静電荷分布の外側における電位の多重極展開 位置ベクトルr i を持つN 個の点電荷q i i < r max 、 ここ r max | R | > r max の R V ( R )は、 1/ R デカルト座標 x y z テイラー級数展開で、2 つ目は 球面極座標 に依存する球面調和関数 によるものです。デカルト座標によるアプローチの利点は、ルジャンドル関数、球面調和関数などの事前知識が不要であることです。その欠点は、導出がかなり面倒なことである（実際、その大部分は、1780年代にルジャンドル が一度きりで完成させた1 / | r − R | 、 通常は最初の数項だけが示され、その後は省略される。
デカルト座標系での展開 便宜上、v ( r ) = v (−r ) とr = 0の周りでの v ( r − R ) のテイラー展開は 次のように書ける。 v （ r − R ） = v （ − R ） + ∑ α = x 、 y 、 z r α v α （ − R ） + 1 2 ∑ α = x 、 y 、 z ∑ β = x 、 y 、 z r α r β v α β （ − R ） + ⋯ + ⋯ = v （ R ） − ∑ α = x 、 y 、 z r α v α （ R ） + 1 2 ∑ α = x 、 y 、 z ∑ β = x 、 y 、 z r α r β v α β （ R ） − ⋯ + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )&=v(\mathbf {-R} )+\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {-R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {-R} )+\cdots +\cdots \\&=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\cdots +\cdots \end{aligned}}} v α （ R ） ≡ （ ∂ v （ r − R ） ∂ r α ） r = 0 そして v α β （ R ） ≡ （ ∂ 2 v （ r − R ） ∂ r α ∂ r β ） r = 0 。 \displaystyle v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\text{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }.} v ( r − R )がラプラス方程式 を満たす 場合、上記の展開により次の式が得られます。 （ ∇ 2 v （ r − R ） ） r = 0 = ∑ α = x 、 y 、 z v α α （ R ） = 0 、 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }=\sum _{\alpha =x,y,z}v_{\alpha \alpha }(\mathbf {R} )=0,} そして、この展開はトレースレスなデカルト座標系2階テンソル の成分を用いて書き直すことができる。 ∑ α = x 、 y 、 z ∑ β = x 、 y 、 z r α r β v α β （ R ） = 1 3 ∑ α = x 、 y 、 z ∑ β = x 、 y 、 z （ 3 r α r β − δ α β r 2 ） v α β （ R ） 、 {\displaystyle \sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}\left(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2}\right)v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} ),} δ αβ はクロネッカーのデルタ であり、r 2 ≡ | r | 2 r 2
例 ここで、 v ( r − R )v （ r − R ） ≡ 1 | r − R | 。 {\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.} 微分 により、 v （ R ） = 1 R 、 v α （ R ） = − R α R 3 、 そして v α β （ R ） = 3 R α R β − δ α β R 2 R 5 。 {\displaystyle v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}},\quad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}},\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.} q t o t ≡ ∑ 私 = 1 N q 私 、 P α ≡ ∑ 私 = 1 N q 私 r 私 α 、 そして Q α β ≡ ∑ 私 = 1 N q 私 （ 3 r 私 α r 私 β − δ α β r 私 2 ） 、 {\displaystyle q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad {\text{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),} そして最終的に、全ポテンシャルの多重極展開 の最初の数項が得られます。これは、個々の電荷のクーロンポテンシャルの合計です。[ 8 ] ： 4 π ε 0 V （ R ） ≡ ∑ 私 = 1 N q 私 v （ r 私 − R ） = q t o t R + 1 R 3 ∑ α = x 、 y 、 z P α R α + 1 2 R 5 ∑ α 、 β = x 、 y 、 z Q α β R α R β + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )&\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\alpha ,\beta =x,y,z}Q_{\alpha \beta }R_{\alpha }R_{\beta }+\cdots \end{aligned}}}
離散電荷分布のポテンシャルのこの展開は、以下に示す実固体調和関数の展開と非常によく似ている。主な違いは、現在の展開が線形従属量で表されている点である。 ∑ α v α α = 0 そして ∑ α Q α α = 0. {\displaystyle \sum _{\alpha }v_{\alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha }Q_{\alpha \alpha }=0.}
注： 電荷分布が、微小 距離dだけ離れた反対符号の 2 つの電荷で構成されている場合、 d / R ≫ ( d / R ) 2 V （ R ） = 1 4 π ε 0 R 3 （ P ⋅ R ） 、 {\displaystyle V(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(\mathbf {P} \cdot \mathbf {R} ),} 双極子ポテンシャル場 。
電荷分布の外側、すなわち| R | > r maxの R V ( R )は、ラプラス展開 によって次のように表すことができる。 V （ R ） ≡ ∑ 私 = 1 N q 私 4 π ε 0 | r 私 − R | = 1 4 π ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ （ − 1 ） m 私 ℓ − m （ R ） ∑ 私 = 1 N q 私 R ℓ m （ r 私 ） 、 {\displaystyle V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),} 私 ℓ − m （ R ） {\displaystyle I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )} 固体調和関数 （以下、球面調和 関数をで割ったものとして定義される）である。R ℓ + 1 {\displaystyle R^{\ell +1}} R ℓ m （ r ） {\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )} × rℓ ）である。電荷分布の 球面多重極モーメント を次のように定義する。Q ℓ m ≡ ∑ 私 = 1 N q 私 R ℓ m （ r 私 ） 、 − ℓ ≤ m ≤ ℓ 。 {\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),\quad \ -\ell \leq m\leq \ell .} 多重極モーメントは、電荷分布（ N 個の電荷 の位置と大きさ）のみによって決定されることに注意してください。
球面調和関数 は単位ベクトルに依存するR ^ {\displaystyle {\hat {R}}} 私 ℓ m （ R ） ≡ 4 π 2 ℓ + 1 Y ℓ m （ R ^ ） R ℓ + 1 {\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {R} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {Y_{\ell }^{m}({\hat {R}})}{R^{\ell +1}}}} R V ( R )の 多重極展開は次のように与えられる。
V （ R ） = 1 4 π ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ （ − 1 ） m 私 ℓ − m （ R ） Q ℓ m = 1 4 π ε 0 ∑ ℓ = 0 ∞ [ 4 π 2 ℓ + 1 ] 1 / 2 1 R ℓ + 1 ∑ m = − ℓ ℓ （ − 1 ） m Y ℓ − m （ R ^ ） Q ℓ m 、 R > r m 1 x {\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}}
この展開は、最初の数項だけでなく、すべての項に対して閉じた形式を与えるという点で、完全に一般的である。この展開は、球面多重極モーメントが ポテンシャルの1/ R 展開の係数として現れることを示している。
学部教科書でよく見られる最初の数項を実数形式で考察することは興味深い。m の総和の項は両方の因子を同時にユニタリ変換しても不変であり、複素球面調和関数を実数形式に変換するにはユニタリ変換が必要であるため、 実数 の不規則固体調和関数と実数の多重極モーメントを単純に代入することができる。ℓ = 0 の 項 V ℓ = 0 （ R ） = q t o t 4 π ε 0 R と q t o t ≡ ∑ 私 = 1 N q 私 。 {\displaystyle V_{\ell =0}(\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.} クーロンの法則 です。ℓ = 1 の 項 では、 R = （ R x 、 R y 、 R z ） 、 P = （ P x 、 P y 、 P z ） と P α ≡ ∑ 私 = 1 N q 私 r 私 α 、 α = x 、 y 、 z 。 {\displaystyle \mathbf {R} =(R_{x},R_{y},R_{z}),\quad \mathbf {P} =(P_{x},P_{y},P_{z})\quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y,z.} V ℓ = 1 （ R ） = 1 4 π ε 0 R 3 （ R x P x + R y P y + R z P z ） = R ⋅ P 4 π ε 0 R 3 = R ^ ⋅ P 4 π ε 0 R 2 。 {\displaystyle V_{\ell =1}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x}+R_{y}P_{y}+R_{z}P_{z})={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}={\frac {{\hat {\mathbf {R} }}\cdot \mathbf {P} }{4\pi \varepsilon _{0}R^{2}}}.}
ℓ = Q z 2 ≡ ∑ 私 = 1 N q 私 1 2 （ 3 z 私 2 − r 私 2 ） 、 {\displaystyle Q_{z^{2}}\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}\;{\frac {1}{2}}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}),}
重なり合わない2つの電荷分布の相互作用 2つの点電荷の集合を考えます。1つは点Aの周りに集まった集合 { q i 、もう1つは点Bの周りに集まった集合 { q j } です。例えば2つの分子 を考えてみましょう。分子は定義上、電子 （負の点電荷）と原子核 （正の点電荷）から構成されていることを思い出してください。2つの分布間の 全静電相互作用エネルギーU ABは次のようになります。 U A B = ∑ 私 ∈ A ∑ j ∈ B q 私 q j 4 π ε 0 r 私 j 。 {\displaystyle U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\in B}{\frac {q_{i}q_{j}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}.} このエネルギーは、 A とB の逆距離に関するべき級数に展開することができる。この展開は、U AB 多重極展開 として知られている。
この多重極展開を導出するために、r XY = r Y r X と書きます。これはXから Y に向かうベクトルです。 R A B + r B j + r j 私 + r 私 A = 0 ⟺ r 私 j = R A B − r A 私 + r B j 。 {\displaystyle \mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.} | R A B | > | r B j − r A 私 | すべての人々のために 私 、 j 。 {\displaystyle |\mathbf {R} _{AB}|>|\mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai}|{\text{ for all }}i,j.} ラプラス展開を 次の形式で 適用することができます。1 | r j − r 私 | = 1 | R A B − （ r A 私 − r B j ） | = ∑ L = 0 ∞ ∑ M = − L L （ − 1 ） M 私 L − M （ R A B ） R L M （ r A 私 − r B j ） 、 {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|}}={\frac {1}{|\mathbf {R} _{AB}-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})|}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^{L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB})\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),} 私 L M {\displaystyle I_{L}^{M}} R L M {\displaystyle R_{L}^{M}} ソリッドハーモニック である。規則的なソリッドハーモニックの平行移動は 有限の展開を与える。 R L M （ r A 私 − r B j ） = ∑ ℓ A = 0 L （ − 1 ） L − ℓ A （ 2 L 2 ℓ A ） 1 / 2 × ∑ m A = − ℓ A ℓ A R ℓ A m A （ r A 私 ） R L − ℓ A M − m A （ r B j ） ⟨ ℓ A 、 m A ; L − ℓ A 、 M − m A ∣ L M ⟩ 、 {\displaystyle R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L}(-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}R_{\ell _{A}}^{m_{A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{A}}^{M-m_{A}}(\mathbf {r} _{Bj})\;\langle \ell _{A},m_{A};L-\ell _{A},M-m_{A}\mid LM\rangle ,} クレブシュ・ゴルダン係数 である。さらに、我々は R ℓ m （ − r ） = （ − 1 ） ℓ R ℓ m （ r ） 。 {\displaystyle R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).} 球面多重極 Q m ℓ L の無限範囲でのみ許容される）と、最終的に
U A B = 1 4 π ε 0 ∑ ℓ A = 0 ∞ ∑ ℓ B = 0 ∞ （ − 1 ） ℓ B （ 2 ℓ A + 2 ℓ B 2 ℓ A ） 1 / 2 × ∑ m A = − ℓ A ℓ A ∑ m B = − ℓ B ℓ B （ − 1 ） m A + m B 私 ℓ A + ℓ B − m A − m B （ R A B ） Q ℓ A m A Q ℓ B m B ⟨ ℓ A 、 m A ; ℓ B 、 m B ∣ ℓ A + ℓ B 、 m A + m B ⟩ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}}
これは、距離R AB 多重極展開 です。 私 ℓ A + ℓ B − （ m A + m B ） （ R A B ） ≡ [ 4 π 2 ℓ A + 2 ℓ B + 1 ] 1 / 2 Y ℓ A + ℓ B − （ m A + m B ） （ R ^ A B ） R A B ℓ A + ℓ B + 1 、 {\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},} この展開は明らかに1 / R AB のべき乗で表されます。関数Y m l は正規化された球面調和関数 です。
分子モーメント すべての原子および分子（S 状態の
電荷eZ i を持つN 個の粒子 (電子と原子核)からなる分子を考えます。(電子のZ 値は -1 であり、原子核のZ 値は原子番号 です)。粒子i は球面極座標r i θ i i x i y i z i Q ℓ m ≡ ∑ 私 = 1 N e Z 私 R ℓ m （ r 私 ） 、 {\displaystyle Q_{\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),} R ℓ m （ r 私 ） {\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})} ラカーの正規化 （シュミットの半正規化とも呼ばれる）では、これは正則な固体調和 関数です。分子が全正規化波動関数 Ψ（電子と原子核の座標に依存）を持つ場合、次数 の多重極モーメントはℓ {\displaystyle \ell } 、期待値 によって表されます。 M ℓ m ≡ ⟨ Ψ ∣ Q ℓ m ∣ Ψ ⟩ 。 {\displaystyle M_{\ell }^{m}\equiv \langle \Psi \mid Q_{\ell }^{m}\mid \Psi \rangle .} 点群対称性 を持つ場合、これは波動関数に反映されます。Ψ は、群の特定の既 約表現 λに従って変換します（「Ψ は λ 型の対称性を持つ」）。この結果、多重極演算子の期待値に対して選択則が 成り立ちます。言い換えれば、対称性のために期待値がゼロになることがあります。このよく知られた例として、反転中心を持つ分子は双極子モーメントを持たない（期待値はゼロ）という事実があります。Q 1 m {\displaystyle Q_{1}^{m}} m = −1, 0, 1
正則な固体高調波（コンドン・ショートリー位相 を含む） の最も低い明示的な形式は次のようになる。M 0 0 = ∑ 私 = 1 N e Z 私 、 {\displaystyle M_{0}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i},} M 1 1 = − 1 2 ∑ 私 = 1 N e Z 私 ⟨ Ψ | x 私 + 私 y 私 | Ψ ⟩ そして M 1 − 1 = 1 2 ∑ 私 = 1 N e Z 私 ⟨ Ψ | x 私 − 私 y 私 | Ψ ⟩ 。 {\displaystyle M_{1}^{1}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}+iy_{i}|\Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |x_{i}-iy_{i}|\Psi \rangle .} M 1 0 = ∑ 私 = 1 N e Z 私 ⟨ Ψ | z 私 | Ψ ⟩ 。 {\displaystyle M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi |z_{i}|\Psi \rangle .}
単純な線形結合 によって、複素多重極演算子を実数多重極演算子に変換できることに注意してください。実数多重極演算子はコサイン型です。 C ℓ m {\displaystyle C_{\ell }^{m}} S ℓ m {\displaystyle S_{\ell }^{m}} C 1 0 = ∑ 私 = 1 N e Z 私 z 私 、 C 1 1 = ∑ 私 = 1 N e Z 私 x 私 、 S 1 1 = ∑ 私 = 1 N e Z 私 y 私 、 C 2 0 = 1 2 ∑ 私 = 1 N e Z 私 （ 3 z 私 2 − r 私 2 ） 、 C 2 1 = 3 ∑ 私 = 1 N e Z 私 z 私 x 私 、 S 2 1 = 3 ∑ 私 = 1 N e Z 私 z 私 y 私 、 C 2 2 = 1 3 3 ∑ 私 = 1 N e Z 私 （ x 私 2 − y 私 2 ） 、 S 2 2 = 2 3 3 ∑ 私 = 1 N e Z 私 x 私 y 私 、 {\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}^{0}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i},\\C_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i},&S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;y_{i},\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}\right),\\C_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}x_{i},&S_{2}^{1}&={\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}y_{i},\\C_{2}^{2}&={\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;\left(x_{i}^{2}-y_{i}^{2}\right),&S_{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;x_{i}y_{i},\end{aligned}}}
慣例に関する注記 上記の複素分子多重極モーメントの定義は、本稿 で定義した複素共役 であり、ジャクソン[ 8 ] : 137 による古典電気力学 の標準教科書の定義に準拠しているが、正規化は例外である。さらに、ジャクソンの古典的な定義では、N 粒子量子力学的 期待値に相当するものは、1粒子電荷分布の積分 である。1粒子量子力学系の場合、期待値は電荷分布（波動関数の絶対値の2乗）の積分に他ならないことを思い出してほしい。したがって、本稿の定義は、ジャクソンの定義の量子力学的N 粒子への一般化である。
本稿における定義は、とりわけFanoとRacah [ 9 ] [ 10 ]の定義と一致する。
一般的な数学的性質 数学 および数理物理学 における多重極モーメントは、互いに無限に接近した点源に対する場 の応答に基づいて、関数の分解のための直交基底 を形成します。これらは、さまざまな幾何学的形状に配置されたもの、あるいは分布理論の意味では 方向微分 として考えることができます。
多重極展開は、物理法則とその関連する微分方程式 の根底にある回転対称性に関係しています。質量、電荷、電流などのソース項が対称でなくても、回転対称群の 既約表現 を用いて展開することができ、その結果、球面調和関数と関連する直交関数群が得られます。 変数分離 法を用いて、動径依存性に対応する解を抽出します。
実際には、多くの場は有限個の多重極モーメントで十分に近似できます（ただし、場を正確に再現するには無限個の多重極モーメントが必要になる場合があります）。典型的な応用例としては、局所的な電荷分布の場を、その単極子項 と双極子 項で近似することが挙げられます。与えられた多重極モーメントの次数に対して一度解かれた問題は、線形結合する ことで、特定の発生源に対する最終的な近似解を作成できます。
参考文献 ↑ エドモンズ、AR（1960）。量子力学における角運動量 。ISBN 9780691079127 。 ↑ Auzinsh, Marcis; Budker, Dmitry; Rochester, Simon (2010). 光学的に偏光した原子 ：光と原子の相互作用の理解 . オックスフォード：ニューヨーク. p. 100. ISBN 9780199565122 。↑ 奥村美智夫、チャン・マンチョル、岡武（1989年1月2日） 「固体水素の高分解能赤外分光法：テトラヘキサコンタポール誘起遷移」 （PDF） . Physical Review Letters . 62 （1）： 32–35 . Bibcode ： 1989PhRvL..62...32O . doi ： 10.1103/PhysRevLett.62.32 . PMID 10039541 . ↑ 池田弘明;鈴木道人；アリタ・リョウタロウ；滝本哲也;芝内高貞；松田裕司（2012年6月3日）。 「URu2Si2 におけるランク 5 のネマティック秩序の出現」。 自然物理学 。 8 (7 ) : 528–533.arXiv : 1204.4016 。 Bibcode : 2012NatPh...8..528I 。 土井 ： 10.1038/nphys2330 。 S2CID 119108102 。 ↑ https://doi.org/10.1088/0953-8984/15/26/301 ↑ トンプソン、ウィリアム J. 角運動量 。ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社。 ↑ Thorne, Kip S. (1980年4月). "重力放射の多重極展開" (PDF) . Reviews of Modern Physics . 52 (2): 299– 339. Bibcode : 1980RvMP...52..299T . doi : 10.1103/RevModPhys.52.299 . 1 2 ジャクソン、ジョン・デイビッド (1975)。 古典電磁気学 （第2 版）。ニューヨーク：ワイリー 。ISBN 047143132X 。↑ U. Fano および G. Racah、『既約テンソル集合』 、Academic Press、ニューヨーク (1959)、p. 31 ↑ DM Brink および GR Satchler、『角運動量』 第 2 版、Clarendon Press、オックスフォード、英国 (1968 年)、p. 64。p. 90 の脚注も参照。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max} }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fc86928edfb0cce0c5210cffb7eb2696acb2d46)
![{\displaystyle {\begin{aligned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}}^{\ell _{A}}\sum _{m_{B}=-\ell _{B}}^{\ell _{B}}(-1)^{m_{A}+m_{B}}I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}}^{m_{A}}Q_{\ell _{B}}^{m_{B}}\;\langle \ell _{A},m_{A};\ell _{B},m_{B}\mid \ell _{A}+\ell _{B},m_{A}+m_{B}\rangle .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180807d8fcbb0f680715447883c57d13343fee1b)
![{\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\right)}{R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6247b34906e4b567ebe1f4cfff4f8c71fb6a7b)
