ジョンソンのSU分布

ジョンソンSU_​

確率密度関数
累積分布関数
パラメータ	${\displaystyle \gamma ,\xi ,\delta >0,\lambda >0}$（本物）
サポート	${\displaystyle -\infty {\text{ から }}+\infty }$
PDF	${\displaystyle {\frac {\delta }{\lambda {\sqrt {2\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)^{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left(\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)^{2}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle \Phi \left(\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)\right)}$
平均	${\displaystyle \xi -\lambda \exp {\frac {\delta ^{-2}}{2}}\sinh \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)}$
中央値	${\displaystyle \xi +\lambda \sinh \left(-{\frac {\gamma }{\delta }}\right)}$
分散	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{2}}{2}}(\exp(\delta ^{-2})-1)\left(\exp(\delta ^{-2})\cosh \left({\frac {2\gamma }{\delta }}\right)+1\right)}$
歪度	${\displaystyle -{\frac {\lambda ^{3}{\sqrt {e^{\delta ^{-2}}}}(e^{\delta ^{-2}}-1)^{2} ((e^{\delta ^{-2}})(e^{\delta ^{-2}}+2)\sinh({\frac {3\gamma }{\delta }})+3\sinh({\frac {2\gamma }{\delta }}))}{4(\operatorname {分散} X)^{1.5}}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{4}(e^{\delta ^{-2}}-1)^{2}(K_{1}+K_{2}+K_{3})}{ 8(\演算子名 {分散} X)^{2}}}}$ ${\displaystyle K_{1}=\left(e^{\delta ^{-2}}\right)^{2}\left(\left(e^{\delta ^{-2}}\right)^{4}+2\left(e^{\delta ^{-2}}\right)^{3}+3\left(e^{\delta ^{-2}}\right)^{2}-3\right)\cosh \left({\frac {4\gamma }{\delta }}\right)}$ ${\displaystyle K_{2}=4\left(e^{\delta ^{-2}}\right)^{2}\left(\left(e^{\delta ^{-2}}\right)+2\right)\cosh \left({\frac {3\gamma }{\delta }}\right)}$ ${\displaystyle K_{3}=3\left(2\left(e^{\delta ^{-2}}\right)+1\right)}$

ジョンソンのSU分布は、 1949年にNLジョンソンによって初めて研究された4パラメータの確率分布族である_。 ^{[1] [2]ジョンソンはこれを}正規分布の変換として提案した。^[1]

${\displaystyle z=\gamma +\delta \sinh ^{-1}\left({\frac {x-\xi }{\lambda }}\right)}$

どこ。 ${\displaystyle z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$

Uを単位区間[0, 1]に均一に分布するランダム変数とする。ジョンソンのS _Uランダム変数は次のようにUから生成できる。

${\displaystyle x=\lambda \sinh \left({\frac {\Phi ^{-1}(U)-\gamma }{\delta }}\right)+\xi }$

ここでΦは正規分布の累積分布関数です。

NLジョンソン^[1]はまず次のような変換を提案した。

${\displaystyle z=\gamma +\delta \log \left({\frac {x-\xi }{\xi +\lambda -x}}\right)}$

どこ。 ${\displaystyle z\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$

ジョンソンのS _Bランダム変数は、次のようにUから生成できます。

${\displaystyle y={\left(1+{e}^{-\left(z-\gamma \right)/\delta }\right)}^{-1}}$

${\displaystyle x=\lambda y+\xi }$

S _B分布は、尖度分布に便利です。S _{U を}シミュレートするには、密度と累積分布関数のサンプルコードがここにあります。

ジョンソン分布は、ポートフォリオ管理の資産収益をモデル化するために効果的に使用されてきた。[ ^{3]これは、}正規分布を使用して資産収益をモデル化する ための優れた代替手段です。RパッケージJSUparametersは、特定のデータセットに最適なジョンソン分布のパラメータの推定を支援するために2021年に開発されました。ジョンソン分布は、観測されたボラティリティスマイルに対応するためにオプションの価格設定で使用されることもあります。ジョンソン二項木を参照してください。 ${\displaystyle S_{U}}$${\displaystyle S_{U}}$

ジョンソン分布システムの代替として、分位パラメータ化分布(QPD) があります。QPD はジョンソン システムよりも形状の柔軟性が高くなります。QPD はモーメントをフィッティングする代わりに、通常、線形最小二乗法を使用して経験的 CDF データにフィッティングされます。

ジョンソン分布はB物理学の分野でいくつかの重い中間子の不変質量のモデル化にも使われている。^[4]${\displaystyle S_{U}}$

• Hill, ID; Hill, R.; Holder, RL ( 1976)。「アルゴリズム AS 99: モーメントによるジョンソン曲線のフィッティング」。英国王立統計学会誌。シリーズ C (応用統計)。25 (2)。
• Jones, MC; Pewsey, A. (2009). 「Sinh-arcsinh分布」(PDF) . Biometrika . 96 (4): 761. doi :10.1093/biomet/asp053.（プレプリント）
• Tuenter, Hans JH (2001年11 月)。「モーメント マッチングによるジョンソン確率分布システムのS _U曲線のパラメータ を決定するアルゴリズム」。統計計算およびシミュレーションのジャーナル。70 (4): 325–347。doi : 10.1080 /00949650108812126。MR 1872992。Zbl 1098.62523  。