中心的瞬間

確率論と統計学において、中心モーメントとは、ランダム変数の確率分布の、ランダム変数の平均に関するモーメントです。つまり、ランダム変数の平均からの偏差の指定された整数乗の期待値です。さまざまなモーメントが 1 つの値セットを形成し、それによって確率分布の特性を効果的に特徴付けることができます。中心モーメントは、ゼロからではなく平均からの偏差で計算される通常のモーメントよりも優先して使用されます。これは、高次中心モーメントが分布の広がりと形状のみに関連し、分布の位置には関連しないためです。

中心モーメントのセットは、単変量分布と多変量分布の両方に対して定義できます。

実数値ランダム変数Xの平均（またはn次中心モーメント）に関するn次モーメントは_、量μn  :=E[( X  −E[ X ]) ⁿ ]である。ここで、Eは期待値演算子である。確率密度関数f ( x )を持つ連続一変量確率分布の場合、平均μに関するn次モーメントは、

${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x.}$^[1]

コーシー分布などの平均を持たないランダム変数の場合、中心モーメントは定義されません。

最初のいくつかの中心的な瞬間には直感的な解釈があります。

• 「ゼロ次」中心モーメントμ ₀は 1 です。
• 最初の中心モーメントμ _{1は 0 です (最初の}生のモーメントまたは期待値 μと混同しないでください)。
• 2番目の中心モーメントμ _{2 は}分散と呼ばれ、通常はσ ²と表記されます。ここで σ は標準偏差を表します。
• 3 番目と 4 番目の中心モーメントは、それぞれ歪度と尖度を定義するために使用される標準化モーメントを定義するために使用されます。

すべてのnに対して、n次中心モーメントはn次同次である。

${\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,}$

nが1、2、または3に等しい場合にのみ、独立したランダム変数XとYの加法性があります。

${\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\,}$ただしn∈ {1, 2, 3}とする。

n次中心モーメントと平行移動不変性と同次性の特性を共有し、 n  ≥ 4の場合でもこの加法性特性を持ち続ける関連関数がn次キュムラントκ _n ( X )です 。n = 1 の場合、n次キュムラントは期待値にすぎず、n  = 2 または 3 の場合、n次キュムラントはn次中心モーメントにすぎず、 n  ≥ 4 の場合、n次キュムラントは最初のnモーメント (約 0) におけるn次モニック多項式であり、最初のn中心モーメントにおける(より単純な) n次多項式でもあります。

原点周りのモーメントを平均周りのモーメントに変換すると便利な場合があります。原点周りのn次モーメントを平均周りのモーメントに変換する一般的な式は次のとおりです。

${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} [X]\right)^{n}\right]=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{nj}\mu '_{j}\mu ^{nj},}$

ここでμは分布の平均であり、原点周りのモーメントは次のように与えられる。

${\displaystyle \mu '_{m}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{m}f(x)\,dx=\operatorname {E} [X^{m}]=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\mu _{j}\mu ^{mj}.}$

n = 2、3、4の場合（それぞれ分散、歪度、尖度との関係で最も興味深い）この式は次のようになります（および に注意してください）。 ${\displaystyle \mu =\mu '_{1}}$${\displaystyle \mu '_{0}=1}$

${\displaystyle \mu _{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}\,}$一般的には${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-\left(\operatorname {E} [X]\right)^{2}}$

${\displaystyle \mu _{3}=\mu '_{3}-3\mu \mu '_{2}+2\mu ^{3}\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=\mu '_{4}-4\mu \mu '_{3}+6\mu ^{2}\mu '_{2}-3\mu ^{4}.\,}$

...など^[2]パスカルの三角形に従って、すなわち

${\displaystyle \mu _{5}=\mu '_{5}-5\mu \mu '_{4}+10\mu ^{2}\mu '_{3}-10\mu ^{3}\mu '_{2}+4\mu ^{5}.\,}$

なぜなら${\displaystyle 5\mu ^{4}\mu '_{1}-\mu ^{5}\mu '_{0}=5\mu ^{4}\mu -\mu ^{5}=5\mu ^{5}-\mu ^{5}=4\mu ^{5}}$

次の合計は複合分布を持つ確率変数である

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{M}Y_{i},}$

ここで、 は同じ共通分布を共有する互いに独立したランダム変数であり、 はとは独立で独自の分布を持つランダム整数変数である。 のモーメントは次のように得られる。 ${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle Y_{k}}$${\displaystyle W}$

${\displaystyle \operatorname {E} [W^{n}]=\sum _{i=0}^{n}\operatorname {E} \left[{M \choose i}\right]\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{i-j}\operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right],}$

ここで、 はに対してゼロとして定義されます。 ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right]}$${\displaystyle j=0}$

平均に関して対称な分布（平均について反射される影響を受けない分布）では、奇数中心モーメントは存在する場合は常にすべてゼロになります。これは、 n番目のモーメントの式で、平均より一定量小さいXの値を含む各項が、平均より同じ量大きい Xの値を含む項を正確に打ち消すためです。

確率密度関数f ( x , y )を持つ連続 2変量 確率分布の場合、_{平均μ=(μX,μY} )の 周りの(  j , k )モーメント_は

${\displaystyle \mu _{j,k}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{j}(Y-\operatorname {E} [Y])^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{j}(y-\mu _{Y})^{k}f(x,y)\,dx\,dy.}$

複素確率変数Xのn次中心モーメントは次のように定義される[ ^3]

Xの絶対n次中心モーメントは次のように定義される。

2次中心モーメントβ _2はXの分散と呼ばれ、2次中心モーメントα _{2 は}Xの擬似分散と呼ばれます。

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